2022届云南省红河州云南市蒙自一中高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设“为两个平面，则a〃/?的充要条件是

A.a内有无数条直线与/?平行

B.a内有两条相交直线与//平行

C.a,//平行于同一条直线

D.a,“垂直于同一平面

2.已知平面向量£,b，z满足：£%=0,忖=1,小一鼻=|"3=5,则卜4的最小值为()

A.5B.6C.7D.8

3.已知集合A={x|/og2X＜l}，集合B={y|y=,27卜则A[J8=()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,4-co)

4.以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量x与丫的随机

变量卜的观测值攵来说，女越小，判断“x与y有关系”的把握越大；其中真命题的个数为()

A.3B.2C.1D.0

5.已知双曲线C:4-与=1(。＞0力＞0)的一条渐近线的倾斜角为。，且cos6=好，则该双曲线的离心率为()

a-b-5

A.J5B.且C.2D.4

2

6.设数列{《,}(〃eN*)的各项均为正数，前”项和为S“，log2a„+l=l+log2«„,且4=4,则§6=()

A.128B.65C.64D.63

TTTT

7.函数/■(%)=4411(。*+2)(。＞0)的图象与.1轴交点的横坐标构成一个公差为：的等差数列，要得到函数

43

g(x)=Acostyx的图象，只需将/(x)的图象()

A.向左平移三个单位B.向右平移；个单位

124

7T

C.向左平移四个单位D.向右平移一个单位

44

8.在直角坐标系中，已知4（1,0）,B（40）,若直线X+7町-1=0上存在点P,使得以|=2|P8|,则正实数机的最

小值是（）

1

A.-B.3C.—D.V3

33

9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的。的值为（）

10.如图，在矩形Q45C中的曲线分别是y

机取一点，若此点取自阴影部分的概率为匕取自非阴影部分的概率为6，则（）

A.《<鸟B.Px>P2C.耳=2D.大小关系不能确定

CIDi兀

11.“cos2a-——“是“a=k"——,ZeZ”的（）

23

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

12.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）

甲班乙班

7958

7311013

23

A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定

C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班

D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/（x）=sin[s+）（。＞0）在区间[%,2"）上的值小于。恒成立，则。的取值范围是.

14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为人.

22

15.已知双曲线C:二-二=l（a乃＞0）的左右焦点为白，鸟，过鸟作》轴的垂线与C相交于A,8两点,耳8与＞轴

a~b"

相交于。.若囚。，68,则双曲线C的离心率为.

J3,

16.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是I

正视图P

俯视图~

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）（某工厂生产零件4,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为,，!，!，工人

424

乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A

给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.

（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；

（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一

件零件A,如果一方生产的零件4品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分」分，如果两人生产的

零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜.4G=-4,-3,-2........4）表

示甲总分为i时，最终甲获胜的概率.

①写出尸0,尸8的值；

②求决赛甲获胜的概率.

,、c“112

18.(12分)已知在等比数列｛为｝中，4>0,q=4,------=—.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

]

(2)若勿,求数列也｝前〃项的和.

log2a„-log2«„+1

19.(12分)已知函数/(工)=。函一炉.

(1)若曲线/(X)存在与丁轴垂直的切线，求。的取值范围.

3,

(2)当aNl时，证明：./(x)..l+x—耳厂.

20.(12分)如图所示，四棱锥P-48co中，PC_L底面ABC。，PC=CD=2,E为A8的中点，底面四边形45CD

满足NAQC=N&C5=90。，AD=1,BC=1.

(I)求证：平面PZ)EJ_平面PAC；

(U)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

(HI)求二面角D-PE-B的余弦值.

21.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD为菱形，AB4D为正三角形，平面RV)_L平面ABC。,E,E

分别是A。,CD的中点.

(1)证明:平面尸

(2)若N84O=6Cf，求二面角3-尸。一4的余弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=e'-x2+2a+b(xeR)的图象在％=0处的切线为y=灰(。为自然对数的底数)

(1)求a,b的值;

(2)若ZeZ,且/(x)+；(3x2—5x—2QNO对任意xeR恒成立，求k的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质

定理即可作出判断.

【详解】

由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与月平行是a///的充分条件，由面面平行性质定理知，若二//户，

则a内任意一条直线都与月平行，所以a内两条相交直线都与月平行是a//4的必要条件，故选B.

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

aua,bu/3,al/b,则a//4”此类的错误.

2.B

【解析】

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将r-4的最小值转化为用该关系式表达的算式,

利用基本不等式求得最小值.

【详解】

建立平面直角坐标系如下图所示，设c=（cos，,sin。），OA=a,OB=b,且A（根由于

b一c|=1一c|=5,所以〃7,〃W[4,6].

«-c=（m-cos^,-sin。）,万一0=（一85。,〃-51118）.所以

m2-2mcos0+cos2。+sin?。=25

即m'+n2=48+2/T?cos0+Insin0-

rr-2nsin^+sin2G+cos?6=25

-2(a-c).(^-c)+(b-c)2=j48+2，”cos6+2)sin6

=y]nr+n2>42mn•当且仅当m=n时取得最小值，此时由/+4=48+2mcos夕+2”sin0得

2加2=48+2/M(sine+cose)=48+20，”sin(e+?｝当。=当时，2疗有最小值为48-2a〃2，即

4

1—54rr

2m2=48-2正加，/+V2m-24=0»解得机=3啦・所以当且仅当；〃=〃=3‘2,。=彳时a-b有最小值为

《2x（3也j=6.

【点睛】

本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

3.D

【解析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x|0<x<2},«={y|y>0}；

AUB=[O,”).

故选O.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

4.C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③.

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

近于0;故②为真命题；

③对分类变量x与丫的随机变量K2的观测值攵来说，左越小，“x与y有关系’’的把握程度越小，故③为假命题.

故选：c.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.

5.A

【解析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.

【详解】

解：设双曲线的半个焦距为C,由题意。62,乃)

Xcos6>=—.则sinO=2,tan6»=2,-=2,所以离心率e=£=二#),

55。aV\a)

故选:A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题

6.D

【解析】

根据Iog24+|=l+log24,得到10g2。,用=log22a“，即。,用=24,由等比数列的定义知数列｛4｝是等比数列，然

后再利用前"项和公式求$6.

【详解】

因为log2a“M=l+log2%,

所以1幅/+1=log22a“，

所以a“+i=2%,

所以数列｛4｝是等比数歹!J,

又因为=4,

所以

q(1一力1x0-26)

Ss=一-----------------•

i-q1-2

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前“项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7.A

【解析】

依题意有了（X）的周期为T=券=T，0=3,/(x)=Asin(3x+：).而

g(x)=Asin卜x+5.I7兀1兀..[7兀T]71f-e.tr兀

=xAsino3XH--1—=Asin3x-\---H—,故应左移—•

4，4一।1~2412

8.D

【解析】

设点P（1-初y,y）,由|B4|=2|PB],得关于）'的方程.由题意，该方程有解，则△，（），求出正实数机的取值范围,

即求正实数m的最小值.

【详解】

由题意，设点尸。一冲,y）.

'.■\PA\=2\PB\,:.\P^=4\PBf,

即（1—+y2=4（l-my-4）'+y2,

整理得（加2+1）产+gm）,+12=o,

则△=（所）2-4（病+1）x1220,解得加或,〃K—6.

m>O,：.m>Ji,；.mniin=>/3.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.

9.C

【解析】

根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的”的值，进而求解"的值，得

到答案.

【详解】

3

由题意，a=—,n=\,

2

第1次循环，。=一§,〃=2,满足判断条件；

第2次循环，a=2，〃=3,满足判断条件；

2

3

第3次循环，a=j,"=4,满足判断条件；

可得。的值满足以3项为周期的计算规律，

所以当”=2019时，跳出循环，此时〃和〃=3时的值对应的〃相同，即a=*.

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的

关键，着重考查了推理与计算能力.

10.B

【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.

【详解】

根据题意，阴影部分的面积的一半为：cosx—sinx)tZY=>/2—1，

V2—1

于是此点取自阴影部分的概率为打。

P.=2x—生—

12

又8=l_q<g,故

故选B.

【点睛】

本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.

11.B

【解析】

先求出满足cos2a=-工的a值，然后根据充分必要条件的定义判断.

2

【详解】

i27r7i_iJI

由cos2a=——得2。=2攵万土——，即a=左万士一，keZ因此"cos2a=——”是乃+—,ZeZ”的必要

23323

不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.

12.D

【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，。错误，得到

答案.

【详解】

由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.

因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

5U

13.

6'12

【解析】

首先根据X的取值范围，求得8+9的取值范围，由此求得函数“X）的值域，结合“X）区间［肛24）上的值小于。

恒成立列不等式组，解不等式组求得。的取值范围.

【详解】

冗兀兀

由于7T<XV2万,69>0,所以（071H--<（OXH--VH--,

666

由于/（X）区间［肛24）上的值小于0恒成立，

冗

所以2左乃+——<cox-\——<ICOTI——<2%7+2»（左wZ）.

666

co>2k+—

0）714-—>2k兀+716

6

所以=><…11

712攵+—

2co7i+—<2k/i+2〃

6CD<-----

212

2kH—<左H1

由于。>0,所以〈612no

b>012

由于ZeZ,所以令Z=0得*

612

所以”的取值范围是（3,工.

\o12

故答案为:与晟

【点睛】

本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属

于中档题.

14.42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为〃，

45+5+4

则由题意得上=二二一，解得〃=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

15.G

【解析】

由已知可得AK=48=也，结合双曲线的定义可知|4用—|4g|=C=2a,结合02=储+〃，从而可求出离心

率.

【详解】

解：-.-\^0\=\F2O\,OD//F2B,：.\DFt\=\DB\,又•.・AO_Lg,则|A周=恒却=2|A闾.

/2r2/2

v|A/s|=—,AFt-AB=---,:.\AF^\-\AF2\=--2a,即=2/=c?

解得c=/a»即e=yj3"

故答案为：6

【点睛】

h2

本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出.关于圆锥曲线的问题,

\AF2\=—

一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.

3

16.-

2

【解析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解

【详解】

空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,百的直角三角形，高为G的棱柱，所以体积为:X1X百=?

【点睛】

本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)乙的技术更好，见解析(2)①4=0,4=1；②;

【解析】

(1)列出分布列，求出期望，比较大小即可；

(2)①直接根据概率的意义可得尸0,尸8；②设每轮比赛甲得分为X,求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概

率，甲得一1分的概率，可的匕=：匕」+!匕+:々m,〃=，+4,可推出｛月｝是等差数列，根据乙=媪产■可得答

案.

【详解】

(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为x元、丫元，

随机变量x,y的分布列分别为

X1052

111

r

424

Y1052

12

P

333

所以£X=LX10+,X5+LX2=U,=-xl0+-x5+-x2=—,

42423333

所以七X<EY,即乙的技术更好

(2)①凡表示的是甲得-4分时，甲最终获胜的概率，所以4=0,

旦表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以&=1；

②设每轮比赛甲得分为X,则

每轮比赛甲得1分的概率P(X=1)=—xf—+—j+—x—=—,

甲得0分的概率P(X=0)=—x—l—x—I—x—=—，

4323433

甲得—1分的概率P(X=-1)=—X-+—+=—,

//I\Jjj

所以甲得进=-3,-2,…3)时，最终获胜有以下三种情况:

(1)下一轮得1分并最终获胜，概率为3匕4+"

(2)下一轮得0分并最终获胜，概率为：匕4；

(3)下一轮得-1分并最终获胜，概率为1此44；

所以£,=!月1+；8+；月川=2勺=月1+月用,(〃=2,3,4,5,6,7)，

所以｛匕｝是等差数列,

则舄=_兄!+^冗^=1

22

即决赛甲获胜的概率是!.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.

18.(1)a„=2n+l(2)」一

2〃+4

【解析】

(1)由基本量法，求出公比q后可得通项公式；

(2)求出。“，用裂项相消法求和.

【详解】

解：(1)设等比数列的公比为4(4>0)

411212

又因为4=4%々大，所以矿4尸包,3

解得q=-i(舍)或“=2

所以4=4x2"T=2,,+|,即a„=2),+]

据求解知，n+,

(2)(1)an=2,

]

所以勿=

log2a„xlog2«„+l

(〃+1)(〃+2)

〃+1〃+2

所以=bt+b2+b3+...+bn

+.一+，1

VH+1〃+2

2〃+2

n

2〃+4

【点睛】

本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列

的基本方法，务必掌握.

2

19.(1)4,-(2)证明见解析

e

【解析】

2V2x

(1)r(x)=a靖-2x=0在xwR上有解，«=—,设g(x)="，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.

371

(2)证明/(X)..l+X--X2,只需证优一X—l+x——X2,记人(%)=，+—/—X—1,求导得到函数的单调性，得

222

到函数的最小值，得到证明.

【详解】

(1)由题可得，/'(彳)=。/-2%=0在％€1<上有解，

r.,...lx.2-2x

则。==，令g(无)==，g(x)=——»

eee

当x<l时，g'(x)>O,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<O,g(x)单调递减.

2

所以x=l是g(x)的最大值点，所以凡，一.

(2)iaexex,所以/(x).."一丁,

要证明/'(%)..1+无一53%2,只需证产一天2..1+1一53%2,即证/+21丁—1一1..0.

记〃(x)=e'一1_],〃，(尤)=ex+x-l,hr(x)在R上单调递增，且"(0)=0,

当x<0时，"(x)<0,/i(x)单调递减；当x>0时，/Za)>0,/2(x)单调递增.

所以x=0是力(幻的最小值点，)..//(0)=0,则靖+—Y—X—L.O,

2

3

故f(%)..1+X---x~.

【点睛】

本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.

20.(I)证明见解析(II)(ni)-生叵.

317

【解析】

(I)由题知OE_LPC,如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为％、八z轴，建立空间直角坐标系，计算

DEAC=Q^证明OE_LAC，从而DEJ_平面RLC,即可得证；

(U)求解平面PDE的一个法向量〃，计算cos(E,而)，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值;

(HI)求解平面PBE的一个法向量加，计算COS(加力，即可得二面角£>-PE-3的余弦值.

【详解】

(I)•/PC_L底面ABCD,DELPC,

如图以点C为原点，直线CD、CB、CP分别为X、八Z轴，建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),0(2,0,0),3(0,3,0),尸(0,0,2),4(2,1,0),£(1,2,0),

.-.DE=(-l,2,0),AC=(-2,-1,0),.-.DEAC=Q,

：.DE±AC,又CPnC4=C,.•.Z)E_L平面P4C,

DEu平面PDE,•1•平面尸。E_L平面PAC；

(II)设〃=(X],y,zJ为平面POE的一个法向量，

又丽=(1,2,-2%诙=(一1,2⑼，丽=(0,0,2),

n-DE=-x.+2y,=0,-、

则一；:，取弘=1,得〃=z2,1,2

n-PE=玉+2y,-2z,=0

2

•••直线PC与平面PDE所成角的正弦值-；

(IH)设〃?=(工2，%，22)为平面尸8£的一个法向量，

又丽=(0,3,-2),丽=(-1,1,0),

m•PB-3y2-2z0一

则2),取＞2=2,得加=(2,2,3),

n・EB--x2+y2

/---\n-m4^17

cos(m,nj=....

17，

二二面角D-PE-B的余弦值-生叵.

17

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的

应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.

21.(1)详见解析；(2)M

5

【解析】

(1)连接AC,由菱形的性质以及中位线，得BDLFE,由平面加0,平面ABCD,且PEL交线AO,得PE上

平面ABCD,故而BDLPE,最后由线面垂直的判定得结论.

(2)以E为原点建平面直角坐标系，求出平面平24。与平面PBD的法向量)=(0,1,0)

,H=(V3,-1,-1),最后求得二面角3—P£)—A的余弦值为手.

【详解】

解：(1)连结AC

VPA^PD,且E是AD的中点，

:.PE±AD

V平面PAD，平面ABCD,

平面PAOD平面ABCD=AD,

APE_L平面A8CZ).

■:BDu平面ABCD,

•••BD2PE

又ABC。为菱形，且瓦产为棱的中点,

EF//AC,BDLAC

:.BD±EF.

又•：BDA.PE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF

二平面PEF.

(2)由题意有，

•.•四边形ABC。为菱形，且NB