2023-2024学年北京昌平区一中高一（上）期中数学试题及答案

2023北京昌平一中高一（上）期中数学一、选择题（每题4分）=−1,0,2,3A==−B{x2kk}，那么A1.已知集合，（）−−0,3−3D.1,01,2A.B.，则下列不等关系正确的是（C.a1b02.若）A.2aB.2aC.abaab2D.aabab23.下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）1()=A.fx()=−()=−fxx2()=−D.fxfx2xxB.C.x4.下列各不等式，其中正确的是（）1+2(xR,x0)A.C.a2+12a(aR)B.xxa+b12(ab0)+xR)D.x2abx+12()=−+(+)+在区间()上单调递增，则的取值范围是（x2）fx2a2x2,4a5.函数A.a3B.a3C.C.a1D.D.a1x()=6.函数fx表示的图象可能是下图中的（）x2A.B.7.一元二次方程A.充分非必要条件C.充要条件2++c=0有解是一元二次不等式ax+bx+c0有解的（2）B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件的值为f[f(x=4x−则f8.已知f(x)为一次函数，且A.0B.1C.2D.39.函数f(x)=x5+ax3+bx+8f，且(−2)=，则()的值是（10f2）−66D.8A.2B.C.10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解的“孪生函数”共有y=2x−1，值域为1,72析式为A.10个B.9个C.8个D.4个二、填空题（每题5分）1−x2函数f(x)=的定义域为_________．x1x−1：x+),x+a为真命题，则pa可以表示为__________________的取值p12.命题范围是______.()fx()是上的偶函数，且在(−)上是减函数，若()=，则不等式fx0f200的解集是13.设函数Rx________14.正实数、b满足a+b+3=ab，则的最小值是______，a+b的最小值是_______2−2x,x，xf(x)=15.已知函数给出下列四个结论：−x2−2x,x.a①存在实数，使函数f(x)f(x)为奇函数；a②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；a③对任意实数和，函数ky=f(x)+k总存在零点；ma(−m)上单调递减.其中所有正确结论的④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数f(x)在区间序号是______________.三、解答题（16-18每题14分，19-20每题分，21题13分）A=|x−2=+−B，|a1x2a116.集合（1）当a=4时，求AB；（2）若Aa，求实数的取值范围ax+42，且()=f15()=17.函数fxxa（1）求的值；（2）证明：()为奇函数；fx（3）判断函数()在()=−(−)+，定义域为(2上的单调性，并加以证明fxfxx22a1x4318.函数（1）当a2时，求=()的值域；fxx0,3,fx0a恒成立，求实数的取值范围()（2）若+4+2k−2=0(kR)2x3x219.关于的方程（1）当k1时，求方程的根；=（2）若方程有两个不相等的实数根x,x，12①求实数k的取值范围；②用关于k的式子表示x21+2220.某农场要安装一个可使用10年的太阳能供电设备。使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费Cm−4x(),0x105()=（单位：万元）与太阳能电池板面积（单位：平方米）之间的函数关系为Cxxm(),x10xm（5平方米时，每年消耗的电费为12万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x()为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电Fx费之和。（1）求出()()的解析式；()取得最小值？最小值是多少万元？CxFxxFx（2）当为多少平方米时，()的定义域是fx，对于定义域内任意的都有()=()+()，且当1,2fxxf1fx212{xx21.已知x1时，f(x)f(2)1=（1）求证：()是偶函数fx（2）求证：()在上是增函数fx（3）若f(a+1f(a)+1，求实数的取值范围)a参考答案一、选择题（每题4分）1.【答案】D【分析】根据交集的定义可求AB.【详解】因为B={x=2k−k}，故B中的元素为大于或等于1的奇数，=−3，AB故故选：D.2.【答案】A【分析】利用作差法计算即可得出结论.a1b0ab0,0b1，2【详解】因为，所以ab−ab2=ab1−b0()2因为因为，所以，()ab2−a=ab2−10，所以ab2a，所以abab2a，故正确，ABCD错误；故选：A.3.【答案】B【分析】根据函数特征逐一判断即可.1()=fx()()()(+),0单调递减，不是定义域的减函数，故,0和【详解】对于A，在xA错误；对于B，f(x)=2xf(−x)==−()，所以()=−在定义域内是奇函2xfxfx2x定义域R，又因为数，结合一次函数特征可知，f(x)=2x为减函数，故B正确；对于C，f(x)=−x2f(−x)=−=()，所以()=−定义域R，又因为x2fxfxx2在定义域内是偶函数，故C错误；()=−fx)，为非奇非偶函数，故错误xD.对于D，故选：B定义域4.【答案】B【分析】取特殊值可判断ACD；利用基本不等式可判断B.【详解】对A，当a=1时，a2+1=2a，故错误；A1111x+=x+2x=2x=对B，，当且仅当，即x=1时等号成立，故B正确；xxxxa+b=−2对C，当a=b=−1时，，故C错误；ab1对D，当x=0时，x2+=1，故错误.D2x+1故选：B.5.【答案】A【分析】根据二次函数特征直接计算即可.【详解】因为函数f(x)=−x2+2a+2x+2()上单调递增，(),4在区间2a+2所以()对称轴x=−=a+14，所以.a3fx2()故选：A6.【答案】Cx【分析】根据的正负去绝对值，再利用反比例函数的图象判断即可.1()=fx【详解】由题意可知当x0时，，排除BD，x1当x0时，()=−fx，排除A，x故选：C7.【答案】D【分析】根据充要条件、必要条件的定义判断即可；=2−4ac=0b【详解】解：对于方程2++c=0，当，方程有解，此时ax+bx+c0的解集2a0为空集，故充分性不成立；=2−4ac0b若对于2++c0当时不等式的解集为R，此时方程++c=0无解，故必2a0要性也不成立，故一元二次方程故选：D2++c=0有解是一元二次不等式ax+bx+c0有解的既非充分又非必要条件2【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.8.【答案】Bf(x)=+bf(x)=+bf[f(x=4x−得到，计算得到答案.f(x)=2x−1或f(x)=−2x+3【分析】设【详解】设，代入f[f(x=f(+b)=k(+b)+b=k=+b=−32x++b=4x−3则k2k=b=−f(x)=2x−f=1k=−b=f(x)=−2x+f=1或f=1综上：故答案选B【点睛】本题考查了一次函数的计算，待定系数法是常规方法，需要灵活掌握和应用.9.【答案】Cg(x)=f(x)−8，得函数f(−)+()=，令fx16x=2得答案x【分析】令g(x)为奇函数，可得.()()，且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，g(x)5+3++8，令g(x)=x5+ax+bx=fx−8，3【详解】f(x)=xg(−x)=−x5−ax−bx=−gx3其中g(−x)+gx=f−x−8+fx−8=0()()()即，f−x+fx=16可得()()f(−)+()=+()=f210f216，2，令x=2，得解得f(2)=6，故选：C10.【答案】Bx3【分析】由值域可求得所有可能的取值；则定义域中元素分别为2个，个和4个，列举出所有可能的结果即可求得个数.【详解】由2x2−1=1得：x=1；由2x2−1=7得：x=2，−，−，−−，−2，−−，所求“孪生函数”的定义域分别为：2221,22−，−2−，−−22共有9个“孪生函数”故选B【点睛】本题考查新定义的问题，涉及到函数定义域的求解；易错点是将值域误认为是无限集，造成求解错误.二、填空题（每题5分）【答案】[−0)【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.−1x201x1且x0，【详解】由题意得，解得x0所以函数的定义域为[−0)，[−0).故答案为：1x(+)x+,a(,3.12.【答案】①.000−1【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析即可得解；利用均值不等式和恒成a立问题即可求出实数的取值范围.1x−1p：x+),x+a，【详解】解：由题意，命题1p(+)+a.x,0则由含有一个量词的命题的否定规律可得：：0−101x−1p：x+),x+a为真命题因为命题1x−11x−1+)ax+所以ax+当x时恒成立，则，x()，所以x−10，因为1x−11x−11x−1=(−)+x112x1+(−)+1=3，所以x+1x−1x−1=x=2时等号成立，当且仅当即1x−1x+=3(,3.a所以，则a3，即实数的取值范围是1x(+)x+,a(,3.故答案为：；000−1(−−),213.【答案】f2=0【分析】根据奇偶性、单调性和()判断函数正负情况再解不等式即可.【详解】因为函数()在(−)上是减函数，函数()是上的偶函数，0fxRfx所以函数()在()上是增函数，fx因为f(2)=0，所以当＜2时，()，fx0()fx0当2时，，又因为函数()是R上的偶函数，fx所以当0时，()fx0，()fx0当＜−2时，，x00()fx0，即或则，()()fx0fx0x则＜−2或＜2，()fx即不等式(−−),20的解集是.x故答案为：(−,−2)14.【答案】①.9.6【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案.【详解】①正实数、b满足a+b+3=ab，则a+b+3=ab2ab3，+(＞)，则tt−30，令t=abt02−解得t1（舍去）或t3，a=b=3时等号成立，故的最小值是9.即ab32=9，当且仅当+ab2++=②正实数、b满足a+b+3=ab，则ab3ab，2m=a+b0()，则m24m120，−−令则m2（舍去）或m6，即a+b6，当且仅当a=b=3时等号成立，故a+b的最小值是6.故答案为：9；615.【答案】①②④【分析】分别作出a=0，a0和0的函数f(x)的图象，由图象即可判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】如上图分别为a=0，a0和0时函数f(x)的图象，2−x2x,x0对于①：当a=0时，f(x)=，−x2−2x,x0f(x)图象如图1关于原点对称，所以存在a0=使得函数f(x)为奇函数，故①正确；y→−x→时，y→+x→对于②：由三个图知当最小值；故②正确；时，，当，所以函数f(x)既无最大值也无y=−k对于③：如图2和图3中存在实数k使得函数y=f(x)图象与没有交点，此时函数y=f(x)k+没a有零点，所以对任意实数和，函数ky=f(x)+k总存在零点不成立；故③不正确m=+(−m)1即可使函数f(x)在区间上单调递减，故对于④：如图2，对于任意给定的正实数，取am④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论a=0，a0和0即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题（16-18每题14分，19-20每题分，21题13分）16.1）{x|−1x；（2）a3.）解绝对值不等式求集合A，再由并集运算求AB；B=、BBA（2）由题设有，讨论求参数范围即可.【小问1由题设A={x|−1x，B={x|5x，A1x.所以【小问2AB=BBA由，当B=时，a+12a−1a2；a2当B时，综上，a3.a+1−12a3；2a−1517.1）1（2）证明见解析3()在f1=5(2上单调递减，证明见解析fx）根据()直接带入求解；（2）根据奇函数定义证明即可；（3）根据函数单调性的定义判断和证明即可.【小问1ax2+4f1，且()=，5()=因为函数fxx所以f)=a+4=5a=1.，所以【小问2x+42()=由（1）知，fx，定义域()(+)关于原点对称，,0xx2+4x+42()=−(−)，0，即=fx()+(−)=−fx又因为fxfxxx所以()为()(+)上的奇函数.,0fx【小问3函数()在(2上单调递减，证明如下：fx任取(0,2，且，x1,2x＜x12x2+44()=因为fx=x+，xx(−)4xx124444()−()=fx1f2+−−xx=(−)+−=(−)−xxx1x2则1212x12x12x12xx−4=(−)xx12，12x12因为所以(0,2，且x＜x，12x1,2x−xxxxx−0，121212fx−fx0，即所以()()()fxfx1()，122所以函数()在(2上单调递减fx3,718.1）（2）(,3）根据二次函数特征直接求解即可；x0,3进行分类讨论，通过参变分离的方法转化为最值问题求解即可.（2）根据【小问122fxx22x4()=−+，开口向上，对称轴为=x=1，当a2时，函数=又因为函数定义域为，所以()()()，即()f1fxf33fx7，0,3所以()的值域为fx3,7【小问2()x0,3,fx0恒成立，因为所以当x=0时，40成立，aR，当0x3＜时，f(x)=x2−2(a−)x+40，4即2ax因为xx2++2ax++22x4，即，x444++22x+=26，当且仅当x=，即x=2时等号成立，xxx42ax++2=6a3(，所以a，即实数的取值范围为,3所以x4=或x=−19.1）x0.34(k2+（2）①3k−3；②.9）由题设有3x+4x=x(3x+=0，即可求根；2（2）①由0求实数k的取值范围；②应用根与系数关系及x21+22=(x+x)2−21x2求表达式.12【小问142+4x=x(3x+=0，可得x=0或x=−由题设3x.3【小问2①由方程有两个不相等的实数根x,x，则=16k2−12(2k−2)0，212所以k23−3k3，4kx+x=−123②由根与系数关系知：，2(k−2xx=1231694(k2−4(k2+所以x21+22=(x+x)2−2xx=k2−=.12123980−4x()−()1607.5x,0x10,0x105()=Cx()=800Fx20.1），+()0.5x,x1080(),x10xxx平方米时，（2）当为()取得最小值，最小值是万元Fx）根据题意可知x=5时C(x)=12()解析式；根据题意可知Cx，代入即可求得的值可得m()=()+，由此化简可得()的解析式；FxFxCx0.5x（2）分段讨论()的最小值，从而得到()的最小值及x的值FxFx.【小问1根据x=5时，C(x)=12，m−4x而当0x10，m−45Cx()=，5=12=所以，解得m80，580−4x(),0x105()=Cx所以，80(),x10x()=()+FxCx0.5x，−()1607.5x,0x10Fx=所以()800；+()0.5x,x10x【小问2当0x10，F(x)=−7.5x+160，此时()在0,10上单调递减，Fxx所以()=F10)=−7.510+160=85，Fx800()=Fx0.5x+2400=40，当x10，x8000.5x=即x=()Fx=40，当且仅当时等号成立，故x综上所述，(Fx=40，此时x=，平方米时，()取得最小值，最小值是万元.Fxx故当为1a{a−a00a或21.123）．3【分析】f=0，f(=0，然后令x=x=x，可得（1）对自变量x,x赋值，分别求出1212f(−x)=f(−1x)=f(−+f(x)=f(x)，从而可证得结论；（2）利用单调性的定义证明，设xx0，21212121f(x)−f(x)=f(x)−f(x)=f(x)+