考点23 图形的相似-中考数学考点一遍过

考点23图形的相似一、比例的相关概念及性质1．线段的比两条线段的比是两条线段的长度之比．2．比例中项如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．3．比例的性质性质内容性质1=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．性质2如果=，那么．性质3如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．4.黄金分割如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．二、相似三角形的判定及性质1．定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2．性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．判定（1）有两角对应相等，两三角形相似；学_科网（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．三、相似多边形1．定义2．性质（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．四、位似图形1．定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性质（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．4．画位似图形的步骤（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．考向一比例线段及其性质1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．典例1已知，那么下列等式中，不成立的是A． B．C． D．4x=3y【答案】B典例2四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=8cm，d=12cm，则a=A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A【解析】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴=，∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴=，解得：a=2cm．故选A．1．已知线段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是A．a+b=7 B．5a=2b C．= D．=12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是A． B． C． D．考向二相似三角形1．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．典例3要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6cm，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm【答案】A【解析】设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：=，解得x=6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选A．典例4下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．【答案】D【解析】A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．3．如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶94．如图，已知∠CAE=∠BAD，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C．= D．=考向三相似多边形1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．2．相似多边形对应边的比叫做相似比．3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．典例5下列各组图形中一定是相似形的是A．两个直角三角形 B．两个等边三角形C．两个菱形 D．两个矩形【答案】B5．已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为A．24.8cm B．26.7cm C．29.7cm D．无法确定6．如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．考向四位似1．如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．典例6在平面直角坐标系中，已知点E（–4，2），F（–2，–2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是A．（–2，1） B．（–8，4）C．（–2，1）或（2，–1） D．（–8，4）或（8，–4）【答案】D【解析】∵点E（–4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，∴点E的对应点E′的坐标是：（–8，4）或（8，–4）．故选D．7．如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，EP，FP，并取它们的中点A，B，C，连接AB，BC，CA，得到△ABC，则下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比是1∶2；④△ABC与△DEF的面积比是1∶2.其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．在下列图形中，不是位似图形的是A． B． C． D．2．若，则下列等式不一定正确的是A． B． C． D．3．两个相似三角形的最短边分别是和，它们的周长之差为，那么小三角形的周长为A． B． C． D．4．两个相似三角形的对应边上的中线比为1∶，则它们面积比的为A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ D．∶15．如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是A． B．C． D．6．如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4，2)、B(8，0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(–4，0)，则A1的坐标为A．(2，1) B．(–2，–1)C．(–1，2) D．(–4，–2)7．在比例尺为1：6000000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘米，则海口与三亚的实际距离约为__________千米．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明△ABC为直角三角形；学_科网（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，DF与AB的延长线交于点G.（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 11．作四边形，使它和已知的四边形位似比等于1∶2，位似中心为O使两个图形在点O同侧．（不写作法）12．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE=60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．（1）求证：∠FAE=∠ABE；（2）求证：AH=BE；（3）若AE=3，BH=5，求线段FG的长．1．（2018·陇南）已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b2．（2018·乐山）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC3．（2018·梧州）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：54．（2018·重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元5．（2018·玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是A．： B．2：3 C．4：9 D．8：276．（2018·临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是A． B． C． D．7．（2018·毕节市）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：258．（2018·长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺9．（2018·临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m，则建筑物CD的高是A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m10．（2018·邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是A．2 B．1 C．4 D．211．（2018·潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（–2m，–2n） C．（m，n） D．（m，n）或（–m，–n）12．（2018·宁夏）已知：=，则的值是__________．13．（2018·成都）已知==，且a+b–2c=6，则a的值为__________．14．（2018·安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．15．（2018·邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：__________．16．（2018·张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．17．（2018·福建）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．18．（2018·陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）19．（2018·巴中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（–3，–3），点B（–1，–3），点C（–1，–1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：__________；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：__________．20．（2018·安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是__________个平方单位．变式拓展变式拓展2．【答案】D【解析】如图，∵AD=1，BD=3，∴，当时，，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选D．3．【答案】A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶3，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶3．故选A．4．【答案】【解析】∵∠CAE=∠DAB，∴∠DAE=∠BAC，∴当∠C=∠AED，∠B=∠D或=时，△ABC∽△ADE．由=和已知条件不能得出△ABC∽△ADE．故选C．5．【答案】C【解析】设A4纸的高度为xcm，则对折后的矩形的高度为，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴，解得x=21≈29.7（cm），即A4纸的高度约为29.7cm．故选C．6．【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴==，∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∴==，∴DE=8，AE=2，∴AD=AE+DE=2+8=10．7．【答案】C【解析】由题意可知：上述四种说法中，①②③都是正确的，只有④是错误的，因为△ABC与△DEF的面积比是1∶4，即正确的说法有3个．故选C．考点冲关考点冲关1．【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形，故选D．3．【答案】C【解析】由题可得，两个相似三角形的周长比等于相似比，也就是两个最短边的比为，设两三角形周长分别为，，则，解得，所以，即小三角形周长为．故选．4．【答案】B【解析】根据相似三角形的性质，可知其相似比为1∶，然后根据面积比等于相似比的平方，求得面积比为1∶2．故选B．5．【答案】C【解析】∵DF∥BE，∴AE∶AF=AG∶AD，CE∶CF=CB∶CD，GE∶DF=AG∶AD．故A、B、D正确．故选C．6．【答案】B【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A（4，2）、B（8，0），以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为（–4，0），∴对应点在原点的两侧，且位似比为2：1，则A1的坐标为：（–2，–1）．故选B．7．【答案】222【解析】比例尺为1:6000000，图上距离3.7厘米则实际距离为3.7，故答案为222．8．【答案】答案不唯一，如∠A=∠BDF【解析】因为，，，所以，欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF等等．故答案为：答案不唯一，如∠A=∠BDF．9．【解析】（1）根据勾股定理，得：AC=QUOTE5，AB=，BC=5QUOTE5，则QUOTEBC2=AC2+AB利用勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形；（2）根据勾股定理，得：DE=QUOTE42、DF=QUOTE22、EF=QUOTE210，则DF∶DE∶EF=1∶2∶QUOTE5=AC∶AB∶BC，利用三边对应成比例，两三角形相似得：△ABC∽△DEF．10．【解析】（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，∴△CDF∽△BGF．（2）由（1）△CDF∽△BGF，又∵F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF–AB=2×4–6=2，∴CD=BG=2cm．11．【解析】如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．12．【解析】（1）∵∠AFE=∠BAE=60°，∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴∠FAE=∠ABE；（2）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴AB=AD、∠BAE=∠ADB=60°，在△ABE和△DAH中，∵，∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AH=BE；（3）如图，连接AC交BD于点P，则AC⊥BD，且AC平分BD，∵△ABE≌△DAH，∴AE=DH=3，则BD=BH+DH=8，∴BP=PD=4，PH=BH–BP=1，∵AB=BD=8，∴AP==4，则AC=2AP=8，∵CG∥BD，且P为AC中点，∴∠ACG=90°，CG=2PH=2，∴AG==14，BE=AH=AG=7，∵△AEF∽△BEA，∴=，即=，解得AF=，∴FG=AG–AF=14–=．直通中考直通中考1．【答案】B【解析】由=得，3a=2b，A、由等式性质可得：3a=2b，正确；B、2a=3b，显然变形错误；C、由等式性质可得：3a=2b，正确；D、3a=2b，变形正确；故选B．【名师点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．2．【答案】B【解析】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴．故选B．【名师点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．学科-网3．【答案】D【解析】如图，过点D作DF∥CA交BE于F．∵DF∥CE，∴=，而BD：DC=2：3，∴=，则CE=DF，∵DF∥AE，∴=，∵AG：GD=4：1，∴=，则AE=4DF，∴==．故选D．【名师点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．4．【答案】C【解析】3×2=6（m2），∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54（m2），∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080（元），故选C．【名师点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．【答案】C【解析】∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选C．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．7．【答案】C【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC=3：2，∴==，∴=（）2=．故选C．【名师点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．【答案】B【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选B．【名师点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．9．【答案】B【解析】∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，∴CD=10.5（米）．故选B．10．【答案】A【解析】∵点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，∴C（1，2），则CD的长度是2．故选A．【名师点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．11．【答案】B【解析】点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（–2），n×（–2）），即（2m，2n）或（–2m，–2n），故选B．【名师点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k．12．【答案】–【解析】由=，得b=a．==–．故答案为：–．【名师点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=a是解题关键，又利用了分式的性质．13．【答案】12【解析】∵==，∴设a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b–2c=6，∴6x+5x–8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案为：12．【名师点睛】此题主要考查了比例的性质，