中考数学二轮复习二次函数压轴题(平行四边形问题)

类型五平行四边形问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x－1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABP的面积最大时，求此时点P的坐标；(3)在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．第1题图

2.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)，直线l：y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，点P为抛物线上一动点(不与点A，D重合)．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线l上方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求△PMN周长的最大值；(3)F为抛物线对称轴上的一点，以E，A，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．第2题图备用图

3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(2，6)，且与直线y＝eq\f(1,2)x＋1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线AB于点E，设点D(m，0)．①连接BP，当△BPE为直角三角形时，求m的值；②当以P、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．第3题图

类型五平行四边形问题1.解：(1)在直线y＝x－1中，令y＝0，解得x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，∴－1×2－1＝－3，即点C(－3，0)，将A、C两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0,9a－3b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2))，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，－m2－2m＋3)，∵抛物线与直线y＝x－1交于A、B两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2－2x＋3,y＝x－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－4,y1＝－5))，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1,y2＝0))，∴点B(－4，－5)，如解图①，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，则点M(m，m－1)，∴PM＝－m2－2m＋3－m＋1＝－m2－3m＋4，∴S△ABP＝S△PBM＋S△PMA＝eq\f(1,2)(－m2－3m＋4)(m＋4)＋eq\f(1,2)(－m2－3m＋4)(1－m)＝－eq\f(5,2)(m＋eq\f(3,2))2＋eq\f(125,8)(－4<m<1)，∴当m＝－eq\f(3,2)时，S△ABP最大，∴点P(－eq\f(3,2)，eq\f(15,4))；第1题解图①(3)符合条件的点D的坐标分别为：(0，3)，(－6，－3)，(－2，－7)．【解法提示】点E在直线y＝x－1上，当x＝－1时，y＝－1－1＝－2，∴点E(－1，－2)，如解图②，直线BC的解析式为y＝5x＋15，直线BE的解析式为y＝x－1，直线CE的解析式为y＝－x－3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x＋3，直线D1D2的解析式为y＝x＋3，直线D2D3的解析式为y＝－x－9，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝5x＋3,y＝x＋3))得D1(0，3)，同理可得D2(－6，－3)，D3(－2，－7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(－6，－3)，D3(－2，－7)．第1题解图②2.解：(1)∵抛物线经过点B(5，0)，C(0，5)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－25＋5b＋c＝0，,c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝5，))故抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；(2)由题意得A(－1，0)，E(0，eq\f(2,3))，∴OA＝1，OE＝eq\f(2,3)，AE＝eq\f(\r(13),3).∵PN∥y轴，PM∥x轴，∴△PMN∽△OAE.∴eq\f(PM,OA)＝eq\f(PN,OE)＝eq\f(MN,AE).∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(OA,OE)＝eq\f(3,2)，eq\f(MN,PN)＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(\r(13),2).∴PM＝eq\f(3,2)PN，MN＝eq\f(\r(13),2)PN.∴△PMN的周长＝PN＋PM＋MN＝eq\f(5＋\r(13),2)PN.∴当PN的长最大时，△PMN的周长最大．令－x2＋4x＋5＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)，解得x＝－1或eq\f(13,3).设点P的坐标为(m，－m2＋4m＋5)(－1＜m＜eq\f(13,3))，则N(m，eq\f(2,3)m＋eq\f(2,3))，∴PN＝(－m2＋4m＋5)－(eq\f(2,3)m＋eq\f(2,3))＝－m2＋eq\f(10,3)m＋eq\f(13,3)＝－(m－eq\f(5,3))2＋eq\f(64,9)(－1<m<eq\f(13,3))，∴当m＝eq\f(5,3)时，PN最大，最大值为eq\f(64,9).故△PMN周长的最大值为eq\f(5＋\r(13),2)×eq\f(64,9)＝eq\f(160＋32\r(13),9).(3)能．点P的坐标为(－3，－16)，(1，8)或(3，8)．【解法提示】设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，点F的坐标为(2，a)．分三种情况讨论：①当AE是对角线时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xE＝xP＋xF，,yA＋yE＝yP＋yF，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝n＋2，,0＋\f(2,3)＝－n2＋4n＋5＋a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－3，,a＝\f(50,3)，))此时点P的坐标为(－3，－16)；②当AP是对角线时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xP＝xE＋xF，,yA＋yP＝yE＋yF))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋n＝0＋2，,0＋（－n2＋4n＋5）＝\f(2,3)＋a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3，,a＝\f(22,3)，))此时点P的坐标为(3，8)；③AF是对角线时，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xF＝xE＋xP,yA＋yF＝yE＋yP))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝0＋n，,0＋a＝\f(2,3)＋（－n2＋4n＋5），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝1，,a＝\f(26,3)，))此时点P的坐标为(1，8)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(－3，－16)，(1，8)或(3，8)．3.解：(1)∵BC⊥x轴，垂足为点C(4，0)，且点B在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，∴将x＝4代入直线y＝eq\f(1,2)x＋1中，得y＝3，∴点B的坐标为(4，3)，∵抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(2，6)和点B(4，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋1＝6，,16a＋4b＋1＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝\f(9,2)，))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋eq\f(9,2)x＋1；(2)①∵D(m，0)，m＞0，PD⊥x轴交于点D，交直线AB于点E，交抛物线于点P，点B(4，3)，∴∠PEB＜90°，由D(m，0)，得P(m，－m2＋eq\f(9,2)m＋1)，E(m，eq\f(1,2)m＋1)．当∠BPE＝90°时，PB∥x轴，∴点P的纵坐标为3，即－m2＋eq\f(9,2)m＋1＝3，解得m＝eq\f(1,2)或m＝4(舍去)；当∠EBP＝90°时，如解图，PB⊥AB，设直线AB与x轴交于点M，第3题解图则M(－2，0)，过点B作BN⊥PD于点N，则N(m，3)，∵∠PBE＝∠MDE，∠PEB＝∠MED，∴∠EMD＝∠BPE，∴tan∠BPE＝tan∠EMD，∵tan∠EMD＝eq\f(OA,OM)＝eq\f(1,2)，∴tan∠BPE＝eq\f(1,2)，又∵BN＝4－m，PN＝－m2＋eq\f(9,2)m－2，∴tan∠BPE＝eq\f(BN,PN)＝eq\f(4－m,－m2＋\f(9,2)m－2)＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(5,2)或m＝4(舍去)，综上所述，m的值为eq\f(1,2)或eq\f(5,2)；②满足条件的点P坐标分别为(1，eq\f(9,2))，(3，eq\f(11,2))．【解法提示】∵PE∥BC，若以P、E、B、C为顶点的四边形为