复变函数与积分变换第二章简版z

任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。

科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。

学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.----华罗庚第二章解析函数§2.1复变函数的概念、极限与连续性§2.2解析函数的概念§2.3函数可导与解析的充要条件§2.4初等函数§2.1复变函数的概念、极限与连续1复变函数的概念2复变函数的极限3复变函数的连续性定义2.1.1

复变函数的概念数,而例如,w=|z|是以复平面C为定义域的单值函E称为该函数的定义域.是定义在C\{0}上的多值函数.以后不特别申明时，所指的复变函数都是单值函数.因为z=x+iy和w都是复数,若把w记为u+iv时,

u与v也是z的函数,因此也是x和y的函数.于是,可以写成其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数.例如:w=z2是一个复变函数.令因为于是函数w=z2对应于两个二元实函数令于是反之,如果于是，复变函数的极限、连续、一致连续等概念就是映射

的相应概念.有关映射的各种性质也对复变函数成立.

重要注记：由于，，故一般将理解为以为自变量的函数，即。以后将看到，这样做会带来很多方便，并且具有“复风格”.o

x

y

(z)

G

o

uv(w)

G

G*

w=f(z)

在几何上，

w=f(z)可以看作：

定义域函数值集合复变函数的几何意义z

w=f(z)

w

以下不再区分函数与映射（变换）.

对于复变函数，它反映的是两对变量u，v和x，y之间的对应关系，因而无法用一个平面或一个三维空间的图形来表示。故在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）思考题：为什么在复变函数中用两个平面来表示其图形？例1解—关于实轴对称的一个映射且是全同图形.反函数的定义设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集D,称复平面上的点集为函数w=f(z)的值域.对于任意的w

G,必有D中一个或几个复数与之对应.于是,确定了G上一个单值或多值函数z=j(w),称之为函数w=f(z)的反函数.

定义

设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e>0,存在d>0,使得对一切满足0<|z-z0|<d的z,都有成立,则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限，并记做或2.1.2复变函数的极限u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中.复变函数的几何意义:即形式和一元相同，本质和二元相同.“人面兽心”就是此意.

注2：A是复数.极限计算的定理定理2.1注3：若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.注1:定义中z

z0的方式是任意的.说明定理2.2

若，那么与实变函数的极限运算法则类似.例2

试求方法一由定理1，得方法二由于，由定理2（3）得例3证(一)根据定理一可知,证(二)思考题：试着收集整理复极限的计算方法以及判别复极限不存在的方法，并用例子说明.

定义

设f(z)在z0的邻域内有定义,且则称f(z)在z0处连续.若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.关于函数f(z)在连续曲线C上的连续性和闭区域上的连续性,只要把上述定义中的z限制在C或上即可.2.1.3函数的连续性定理2.3设则f(x)在处连续的充分必要条件是都在点连续.注：这个定理说明复变函数的连续性等价两个二元实函数的连续性.定理2.4设都在点连续,则都在

点连续，而

当时，也在点连续.

定理2.5设在处连续，

而在点连续，则

复合函数在

点连续.

应用或仿证明实函数类似结论的方法可以证明上述两个定理.由前面的结论可知,多项式在复平面内处处连续.有理分式在复平面内除分母为零的点之外,处处连续.都是复常数.例4

证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.证明x

y

(z)

ozz

定理2.6设f(z)在有界闭区域(或有限长的连续曲线C)上连续，则f(z)在(或C)上有界,即存在M>0,当或z

C时，有为了后面的需要,给出下面一个关于函数有界性的定理.§2.2解析函数的概念1复变函数的导数2解析函数的概念2.2.1复变函数的导数在定义中应注意:例1

解可导与连续的关系

函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.例2

解

(1)f(z)=

z的连续性显然求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:定义z0记作：f(z)

A(D)DG2.2.2解析函数的概念根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求高得多.即函数在z0点解析函数在一点处解析与在一点处可导不等价函数在z0点可导函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价即函数在闭区域上解析函数在闭区域上可导说明注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解：奇点定义例如:以z=0为奇点:通常泛指的解析函数是容许有奇点的:例3解例4解课堂练习答案处处不可导,处处不解析.四则运算法则复合函数求导法则反函数求导法则利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同.注解：根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.寻求研究解析性的更好的方法任务！！！用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.

注意:

复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.定义对于二元实函数，方程§2.3函数可导与解析的充要条件称为柯西—黎曼方程（简记为C—R方程）.定理2.7(可导的充要条件)定理2.8（函数在一点可导的充分条件）定理2.9(函数在区域D内解析的充要条件)定理2.10（函数在区域D内解析的充分条件）例5

判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,四个偏导数均连续指数函数四个偏导数均连续例6

解例7证小结与思考在本节中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.思考题1、2、§2.4初等函数2.4.1指数函数2.4.2对数函数2.4.3幂函数2.4.4三角函数与反三角函数2.4.5双曲函数与反双曲函数这里的ex是实指数函数2.4.1指数函数1.指数函数的定义:定义2.1

对于任何复数z=x+iy,规定实的正余弦函数2.指数函数的性质复指数函数与实指数函数保持一致.(4)加法定理(6)ez是以2i为基本周期的周期函数指数函数的图形因为：当z沿实轴趋于+∞时ez+∞;

当z沿实轴趋于-∞时,ez0.2i是ez的周期2i是ez的基本周期几点说明：例1

解例2

解求出下列复数的辐角主值:2.3.2对数函数1.定义说明：w=Lnz是指数函数ew=z的反函数Lnz一般不能写成lnz2.计算公式及多值性说明：由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：为对数函数Lnz的主值特殊地,于是：三种对数函数的联系与区别：对数函数Lnz的图形例3

解注意:

在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.例4解例5解2.性质但是：不再成立，其中n为大于1的正整数.2.3.3幂函数1.一般幂函数称为z的一般幂函数注意:2.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,的图形3.乘幂注意:例6解答案课堂练习1的任何次幂均为1吗？2.4.4三角函数与反三角函数1.三角正弦与余弦函数将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.定义

对任意的复数z,规定z的

性质:(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.遵循通常的三角恒等式，如sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=n

cosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2)

n=0,1,2,···,n,···(5)(注意：这是与实变函数完全不同的)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数2.其他复变数三角函数的定义sinz

的图形cosz

的图形tanz

的图形例7解3.反三角函数的定义两端取对数得同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:反三角函数Arctanz的图形1.双曲函数的定义2.4.5双曲函数与反双曲函数2.双曲函数的性质它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,双曲函数sinhz（或shz）3.反双曲函数的定义小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:

1.指数函数具有周期性2.三角正弦与余弦不再具有有界性3.双曲正弦与余弦都是周期函数思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义；

2）利用充（分）要条件3、复变初等函数复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂函数本章内容总结AugustinLouisCauchy

(1789.8.21-1857.5.23)法国数学家,历史上有数的大分析学家.1805年入理工科大