复变函数的微积分

复变函数的微积分基本要求：

1.理解解析函数的定义。

2．掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系3.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关键步骤。内容：

复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数，共轭调和函数，平面标量场及多值函数；复变函数的积分，单,复通区域上的科希定理和科希公式。12导数一、

导数的定义：设为单值函数，即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之相对应。如果对于B上的某点z,极限

存在，且与

z0的方式无关，则称 函数

w=f(z)在z

点可导，此极限定义为函数

w=f(z)在z点的导数（或微商），

记为3与实变函数导数的区别：

实变函数：

x0；复变函数：

z0

z0方式图示xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y•4二、求导公式5

必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同．这是因为实变数Δx只能沿着实轴逼近零、复变数Δz却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零．因此，与实变函数的可导相比，复变函数可导的要求要严格得多．6三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程证明：1、实轴方向

,

z=x2、虚轴方向

,

z=i

y

xyo

z02、z=i

y1、z=

x73、f(z)可导，

与

z0的方式无关，因此从而：

C-R方程是可导的必要条件。——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程8例:不满足C-R条件事实上9可导的充要条件：u(x,y)和v(x,y)的偏导数存在、连续，且满足C-R条件,则复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

可导。满足C-R条件。可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件沿实轴或虚轴，10极坐标中的C-R方程：极限是与的方式无关的有限值若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R而联系起来11复变函数求导方法(如果存在）:

一、已知f(z),求导:与实变函数求导类似。 二、已知

u(x,y)+iv(x,y),求导:12例：13解析函数 一、解析函数的

定义：如果单值函数f(z)在点z0及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析。又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称f(z)是区域B上的解析函数

z0点可导与z0

点解析的区别:函数f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0点可导，而在其他点均不可导，故z=0点不解析。

z0z0邻域14可导与解析的关系z0点解析z0

点可导区域上可导区域上解析不一定！15二.解析函数的性质：若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则

1、u(x,y)=C1

与v(x,y)=C2互相正交;将C-R方程两边对应相乘,得

u(x,y)=C1

与v(x,y)=C2互相正交;16

2、

2u=0和2v=0,即u

和v

是调和函数;将前式对x求导,后式对y求导,相加,得同理可得

—共轭调和函数

复变函数的积分复变函数的积分

复平面上的路积分定义:复平面分段光滑曲线L上的连续函数f(z)，作和17••••A••xyo•Bz0znlz1zk-1zk

k18存在且与

k的选取无关,则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记为

即若

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy

参数形式：曲线l

的参数方程{x=x(t),y=y(t)},起始点A

和结束点

B

tA,tB1920几个重要性质1。常数因子可以移到积分号之外2。函数和的积分等于各函数积分的和3。反转积分路径，积分值变号214。全路径上的积分等于各分段上的积分之和即：如果

l=l1+l2+……+ln5。积分不等式1：6。积分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全长。22例计算积分解一般言,复变函数的积分不仅与起点和终点有关,同时还与路径有关.oxyl1l1l2l211+ii柯西（Cauchy）定理

——研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形单连通域在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy定理

：如果函数f(z)在闭单连通区域中单值且解析，则沿中任何一个分段光滑的闭合曲线c(也可以是的边界l),函数的积分为零。2324oxylco证明：由路径积分的定义：因f(z)在上解析，因而在上连续，25对实部虚部分别应用格林公式

将回路积分化成面积分又u、v满足C-R条件故26推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也可以是的边界)，有

（二）复连通域情形如果区域内存在：（1）奇点；（2）不连续线段；（3）无定义区为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3

把它们分隔开来，形成带孔的区域-复连通区域。一般言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复连通域区域边界线的正向当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。27

xy

l1l2l3l0Bo28复连通区域的Cauchy定理：如果f(z)是闭复连通区域中的单值解析函数，则l为外边界线，

li为内边界线，积分沿边界线正向证：作割线连接内外边界线2930即31柯西定理总结：1。若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线C(也可以是的边界)的积分为零；2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分为零；3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；32由Cauchy定理可推出：（与开头呼应！）在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。证明：由图可知其中表示C2的反方向。由积分的基本性质可得：33ADBC2C134最后可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变不定积分单连通区域中解析函数f(z)的积分值与路经无关，令z0固定，终点z

为变点，有单值函数ABl2l1且：F(z)

是f(z)

的原函数还有证略36思考被积函数为解析函数和非解析函数的区别例2：计算积分l

CR（n为整数）解：n0被积函数解析n<0,z=为（z-)n奇点，作小圆C,在C上

l

CR结论：(l不包围

)(l包围

)40n0n=1讨论如下积分的值：柯西积分公式若：f(z)

在闭单通区域上解析，l是闭区域的境界线，

是闭区域内的任一点，则有柯西积分公式柯西公式可表示为f(z)在l区域上有奇点，挖去奇点形成复通区域，柯西公式l为所有境界线，方向为正向物理意义：一个解析函数f(z)在区域B内的值由它在该区域边界上的值f()所确定z

推论：对于复通区域，类推有

zll1l244Cauchy积分公式的重要推论（任意次可导！）：

45n>1讨论如下积分的求解过程：461、计