北师大版九年级数学上册 专题3.20 圆内接正多边形（知识讲解）

专题3.20圆内接正多边形（知识讲解）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

特别说明：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

知识点二、正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.特别说明：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

知识点三、正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

特别说明：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。

②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。

特别说明：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、已知正多边形求角度【变式1】如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠ADC=120°，

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB=60°，

∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，

∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．

∴∠AMD=90°

∵∠ADC=120°，

∴∠ADM=60°，

∴∠DAM=30°，

∴DM=AD=1，AM=，∵CD=3，

∴CM=CD+DE=1+3=4，

∴S△ACD=CD-AM=×3×=，在Rt△AMC中，∠AMD=90°，

∴AC=，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=，∴BN=，∴S△ABC=××=，∴四边形ABCD的面积=+=，∵BE∥CD，

∴∠E+∠ADC=180°，

∵∠ADC=120°，

∴∠E=60°，

∴∠E=BDC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠EAB=∠BCD，

在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），

∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．【变式2】如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知．（1）求证：；（2）若是四边形外接圆的直径，求证：．【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝AC；（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．解：（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠B+∠ADE=180°又∵∠EDC+∠ADE=180°∴∠EDC=∠B又∵∠EDC=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（2）连接AE∵AB是圆的直径∴∠AEB=90°又∵AB=AC∴AE平分∠BAC∴∠BAE=∠EAD∴【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质．【变式3】如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．【答案】（1）详见解析；（2）110°．【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，由（1）得：∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．【点拨】此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对的圆周角相等；（2）内接四边形的性质.类型二、求四边形外接圆的直径2．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM=ND【分析】（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∴A、E、C、F四点共圆；（2）由（1）可知，圆的直径是AC，连接AC交BD于O，∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心，OB=OD，∴OM=ON，∴BM=ND.【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.．【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°.求⊙O半径的长.【答案】.【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ADB=45°，∴∠ACB=∠ADB=45°，∴BC=AB=2，∴AC=，

∴⊙O半径的长为：.【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式2】如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．(1)求AC与BD的长；(2)求四边形ADBC的面积．【答案】(1)5cm；(2)49cm2．【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可；（2）根据三角形的面积公式计算．解：(1)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC==6（cm），∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=（cm）；四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积=×6×8+××=49（cm2）．【点拨】本题考查的知识点是圆周角定理以及勾股定理．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．类型三、求正多边形的中心角3．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度数；（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；解：（1）如图，连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，∴．【变式1】如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON（1）求图1中∠MON的度数（2）图2中∠MON的度数是，图3中∠MON的度数是（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．解：（1）如图，连接OB、OC，则，是内接正三角形，中心角，∵点O是内接正三角形ABC的内心，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）如图1，连接OB、OC，四边形ABCD是内接正方形，中心角，同（1）的方法可证：；如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是内接正五边形，中心角，同（1）的方法可证：，故答案为：，；（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，的度数与正方形边数的关系是，的度数与正五边形边数的关系是，归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，故答案为：．【点拨】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键．【变式2】如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．（1）求的度数；（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．【答案】（1）45°；（2）8【分析】(1)连接，，由正方形内接于，可求中心角．．(2)连接，，由正方形内接于，可求．由点为的中点，可求,可得，利用周角除以一个中心角即可求解解：（1）连接，，∵正方形内接于，∴．∴；（2）连接，，∵正方形内接于，∴．∵点为的中点，∴，∴∠COP=∠BOP，∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，∴，∴．【点拨】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形的中心角求边数是解题关键．类型四、由正多边形中心角求边数4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．(1)求∠AED的度数；(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1)120°；（2）；（3）12【解析】试题分析：（1）连接AC,由AB=AD可得到∠ACB=∠ACD=60°,在四边形ACBE中由对角互补可求得∠AEB,(2)因为∠AOD=2∠ABD=120°,半斤为2,根据弧长公式即可求解.连接OA,求出∠AOE的度数即可求出正n边形的边数.连接BD,∵四边形ABCD是O的内接四边形,∴∠BAD+∠C=180°,∵∠C=120°,∴∠BAD=60°,∵AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°,∵四边形ABDE是O的内接四边形,∴∠AED+∠ABD=180°,∴∠AED=120°,(2)∵∠AOD=2∠ABD=120°,∴弧AD的长=,(3)连接OA,∵∠ABD=60°,∴∠AOD=2∠ABD=120°,∵∠DOE=90°,∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,∴n=.【变式1】（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6【分析】类比探究：通过证明可得，则．拓展应用：通过证明可得，则．解：解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．【点拨】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．类型五、正多边形和圆5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）32【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=CD，从而有，进一步得到，从而得到结论；（2）连接OM，OB，OC．由,得到∠BOM=∠COM，由正方形ABCD内接于⊙O，得到∠BOC=90，进而得到∠BOM=135°，由弧长公式即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴，∵M为中点，∴，∴,∴BM＝CM；（2）连接OM，OB，OC．∵，∴∠BOM=∠COM，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC=360°÷4=90°，∴∠BOM=135°，∴lBM=135×π×2180考点：圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；圆内接四边形的性质；正方形的性质．【变式1】如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．【答案】2cm【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴==，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．【点拨】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．类型六、尺规作图-正多边形6．已如：⊙O与⊙O上的一点A（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=B