2022届湖南长沙市岳麓区中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列实数中，在2和3之间的是（）

A.兀B.»-2C.^25D.^28

2.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-x-2a=0的一个解，则a的值为（〉

A.0B.-1C.1D.2

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2,0）,B（0,2）,（DC的圆心为点C（-1,0）,半径为1.若D是。C上

的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（

A.2B.-C.2+三D.2-工

3J/

4.5的算术平方根是（

A.9B.±9C.±3D.3

5.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A中B.国C.艾^口（匕

6.如图，在矩形ABCO中，AB=5,AD=3,动点尸满足矩彩ABCD,则点P到A、B两点距离之和抬+P8

的最小值为（）

A.V29B.V34C.572D.标

7.下列运算正确的是（）

A.a2*a3=a6B.(-)'=-2C.V16=±4D.|-6|=6

2

8.tan60。的值是（)

B也r731

A.百L•---D.-

232

9.如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到VAB'C,连接AA，若4=20°,则D3的度数是（）

A.70°B.65°C.60"D.55"

10.已知点P（-2,4）,与点p关于）'轴对称的点的坐标是（）

A.（-2,-4）B.（2,T）C.（2,4）D.（4,-2）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，点P（3a,a）是反比例函y=七（k>0）与。O的一个交点，图中阴影部分的面积为10n,则反比例函数

13.大连市内与庄河两地之间的距离是160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距

庄河的路程y（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为.

14.如图，点E在正方形ABCD的外部，ZDCE=ZDEC,连接AE交CD于点F,NCDE的平分线交EF于点G,

AE=2DG.若BC=8,贝！IAF=.

15.半径为2的圆中，60。的圆心角所对的弧的弧长为.

16.如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8加，两侧离地面高处各有一盏灯，两灯

间的水平距离为6加，则这个门洞的高度为加.（精确到0.1加）

17.（8分）小马虎做一道数学题，“已知两个多项式4=口/一4x，3=2/+3%—4,试求A+25.”其中多项式A的

二次项系数印刷不清楚.小马虎看答案以后知道A+28=V+2x-8,请你替小马虎求出系数“W”；在（1）的基础上,

小马虎已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C,要求小马虎求出A-C的结果.小马虎在求解时，误把

“A-C”看成“A+C”，结果求出的答案为/—6x—2.请你替小马虎求出“4-C”的正确答案.

18.（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减

少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平

均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

19.（8分）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（玉,y）,点N的坐标为（马,%），且不%，我们

规定：如果存在点P,使&0NP是以线段为直角边的等腰直角三角形，那么称点尸为点M、N的“和谐点”.

（1）已知点4的坐标为（1,3）,

①若点8的坐标为（3,3）,在直线A3的上方，存在点4,8的“和谐点”C,直接写出点C的坐标；

②点C在直线x=5上，且点C为点A,8的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）。。的半径为r,点。（1,4）为点E（l,2）、尸（〃?,〃）的“和谐点”，且OE=2,若使得ADE尸与。。有交点，画

出示意图直接写出半径r的取值范围.

20.（8分）已知关于x的方程x?-6mx+9m2-9=1.

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个根分别为Xi,X2,其中XI>X2,若X1=2X2,求m的值.

21.（8分）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”

的扇形圆心角为120。.转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字,

此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形

的内部为止）转动转盘一次，求转出的数字是一2的概率；转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数

字之积为正数的概率.

22.（10分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方

图的一部分.

请根据图表信息回答下列问题:

视力频数（A）频率

4.0<r<4.3200.1

4.3qV4.6400.2

4.6<x<4.9700.35

4.9Sr<5.2a0.3

5.2<x<5.510b

（1）本次调查的样本为,样本容量为;在频数分布表中，,b=,并将频数分布直

方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？

（每蛆数据含最小值，不含最大值）

23.(12分)如图，AA3c的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直

尺中的直角；②保留作图痕迹.

在图1中画出AB边上的中线8;在图2中画出YABE/L使得

SQABEF=S11ABe•

24.已知，关于X的方程x2-mx+—n?-1=(),

4

(1)不解方程，判断此方程根的情况；

⑵若x=2是该方程的一个根，求m的值.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.

详解：

4、3<乃<4,故本选项不符合题意；

8、l<k2<2,故本选项不符合题意；

C、2<^25<3，故本选项符合题意；

。、3<^28<4,故本选项不符合题意；

故选C.

点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.

2、C

【解析】

试题分析：把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值.

,.，x=2是方程的解，.*.4-2-2a=0,/.a=l.

故本题选C.

【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.

3、C

【解析】

当(DC与AD相切时，△ABE面积最大，

连接CD,

则NCDA=90。，

VA(2,0),B(0,2),OC的圆心为点C(-1,0),半径为1,

.,.CD=1,AC=2+1=3,

.，.AD=\AC：-CD二=2、二，

VZAOE=ZADC=90°,ZEAO=ZCAD,

.,.△AOE^AADC,

.OAOE

,,毋-CDz

即提=华，•••OE=3,

:.BE=OB+OE=2+三

・c1

•・SAABE=-

BE?OA=；x(2+v)*2=2+于

故答案为C.

4、D

【解析】

根据算术平方根的定义求解.

【详解】

■:VsT=9,

又•••(±1)2=9,

二9的平方根是±1,

A9的算术平方根是1.

即商的算术平方根是1.

故选:D.

【点睛】

考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.

5、A

【解析】

根据轴对称图形的概念判断即可.

【详解】

A、是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

6、D

【解析】

1112

解：设△A8尸中A5边上的高是儿,:SAPAB=-S研ABCD，八一AB»h=-AB*AD,：.h=-AD=2,二动点尸在与AS

3233

平行且与A8的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连接8E,则8E就是所求的最短

距离.

在RtAABE中，'：AB=5,AE=2+2=4,:.BE7AB?+AE?=后+不=向,即E4+PB的最小值为历.故选D.

7、D

【解析】

运用正确的运算法则即可得出答案.

【详解】

A、应该为a$,错误；B、为2,错误；C、为4,错误；D、正确，所以答案选择D项.

【点睛】

本题考查了四则运算法则，熟悉掌握是解决本题的关键.

8、A

【解析】

根据特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】

tan60°=百

故选：A.

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

9、B

【解析】

根据旋转的性质可得AC=A，C,然后判断出△ACA，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得NCAA，=45。,

再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出NA，B，C,最后根据旋转的性质可得NB=NA，B，C.

【详解】

解：RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△ABC,

,,

..AC=AC>

.'.△ACA，是等腰直角三角形，

.,.ZCAA,=45°,

...NA'B'C=Nl+NCAA'=20°+45°=65°,

.*.ZB=ZA,B,C=65°.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，

熟记各性质并准确识图是解题的关键.

10、C

【解析】

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案.

【详解】

解：点P(—2,4),与点p关于)，轴对称的点的坐标是(2,4),

故选：C.

【点睛】

本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同,

纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互

为相反数.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

12

11、y=—

x

【解析】

设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：

I,

—7tr2=10rt

4

解得：r=2V10.

1•点P(3a,a)是反比例函y=X(k>0)与O的一个交点，

x

:.3a2=k.

J(3W)2fa」=r

a2=—x(2>/10)?=4.

10

:.k=3x4=12,

12

则反比例函数的解析式是：y=一.

x

1?

故答案是：y=一.

x

点睛：本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键.

12、x>l.

【解析】

按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【详解】

解：去分母得：x-1>8-2x,

移项合并得：3x>12,

解得：x>l,

故答案为：X>1

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.

13、j=160-80x(0<x<2)

【解析】

根据汽车距庄河的路程y(千米)=原来两地的距离-汽车行驶的距离，解答即可.

【详解】

解：•.•汽车的速度是平均每小时8()千米，

，它行驶x小时走过的路程是80x,

汽车距庄河的路程y=160-80x(0<x<2),故答案为：j=160-80x(0<x<2).

【点睛】

本题考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到所求量的等量关系是解题的关键.

14、4A/6

【解析】

如图作DH_LAE于H,连接CG.设DG=x,

VZDCE=ZDEC,

.*.DC=DE,

,•,四边形ABCD是正方形,

.*.AD=DC,ZADF=90°,

/.DA=DE,

•.DH±AE,

/.AH=HE=DG,

在4GDC与AGDE中，

"DG=DG

<4GDC=ZGDE,

DC=DE

AAGDC^AGDE(SAS),

/.GC=GE,ZDEG=ZDCG=ZDAF,

VZAFD=ZCFG,

AZADF=ZCGF=90°,

A2ZGDE+2ZDEG=90°,

AZGDE+ZDEG=45°,

ZDGH=45°,

在RtAADH中，AD=8,AH=x,DH=—x,

2

A82=x2+(正x)2,

2

解得：x=[n,

3

VAADH^AAFD,

.ADAH

''AF-AD'

64

:.AF=8/7=4R.

故答案为4".

15、-n

3

【解析】

ggnm，，，\-360X万X22

根据弧长公式可得：---------=—兀,

1803

2

故答案为一万.

3

16、9.1

【解析】

建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标

【详解】

如图，以地面为x轴，门洞中点为。点，画出y轴，建立直角坐标系

由题意可知各点坐标为A(-4,0)B(4,0)D(-3,4)

设抛物线解析式为y=ax2+c(a#0)把B、D两点带入解析式

46464

可得解析式为y=一^、7‘贝代(°’了)

本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)-3；(2)“A-C”的正确答案为-7X2-2X+2.

【解析】

(1)根据整式加减法则可求出二次项系数；

(2)表示出多项式A,然后根据A+C的结果求出多项式C,计算A-C即可求出答案.

【详解】

(1)由题意得：4=口/一4%，B=2X2+3X-4,.".A+2B=(4+W)X2+2^-8,VA+2B=X2+2X-S,■-4+W=L

W=-3,即系数为-3.

22

(2)：A+C=X2-6X-2^A=_3X2_4X,/.c=4x-2x-2,A-C=-7x-2x+2

【点睛】

本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

18、每件衬衫应降价1元.

【解析】

利用衬衣平均每天售出的件数x每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.

【详解】

解：设每件衬衫应降价x元.

根据题意，得(40-x)(l+2x)=110,

整理，得X2-30X+10=0,

解得Xl=10,X2=l.

,••“扩大销售量，减少库存”，

.".xi=10应舍去,

/.x=l.

答：每件衬衫应降价1元.

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数X每件盈利=每天销售的利润是解题关

键.

19、(1)①点C坐标为c(l,5)或C'(3,5)；②y=x+2或》=—丫+3；(2)24rWJF7或石Wr4JI7

【解析】

(1)①根据“和谐点”的定义即可解决问题；

②首先求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

(2)分两种情形画出图形即可解决问题.

【详解】

观察图象可知满足条件的点C坐标为C(1,5)或C(3,5)；

VA(1,3),."5=3.

•.,△A8C为等腰直角三角形，：.BC=3,/.Ci(5,7)或C2(5,-1).

k+b=3k=1k+b=3

设直线AC的表达式为广质+灰原0）,当CK5,7）时，J§攵+〃]7，，尸x+2,当G(5,-1)时，＜

匕=25攵+人=—1

k=—1

,：.y=-x+3.

b=4

综上所述：直线AC的表达式是j=x+2或尸-x+3.

（2）分两种情况讨论:

①当点尸在点E左侧时:

连接OO.则01）=4+42=后,/.2<r<Vi7.

②当点尸在点E右侧时：

连接OE,OD.

27

•••E（1,2）,D（1,3）,：.OE=^+2=^/5,OD=7p+4=Vi7»75<r<V17.

综上所述：J17或后

【点睛】

本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题.

20、（1）见解析；（2）m=2

【解析】

(1)根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；

(2)用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.

【详解】

(1),・•在方程x2-6mx+9m2-9=1中，△=(-6m)2-4(9m2-9)=26m2-26m2+26=26>l.

，方程有两个不相等的实数根；

(2)关于x的方程：X?-6mx+9m2-9=1可化为：[x-(2m+2)][x-(2m-2)]=1,

解得：x=2m+2和x=2m-2,

V2m+2>2m-2,xi>X2,

.\xi=2m+2,X2=2m-2,

又•；X1=2X2,

2m+2=2(2m-2)解得：m=2.

【点睛】

(1)熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程"2+/zx+c=Q?a4))中，当从-4ac>0时，原方程有两个

不相等的实数根，当〃-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根，当〃一4ac、<0时，原方程没有实数根”是解答第

1小题的关键；(2)能用“因式分解法”求得关于x的方程x2-6mx+9m2-9=1的两个根是解答第2小题的关键.

21、(1)—；(2)—.

39

【解析】

【分析】(1)根据题意可求得2个“一2”所占的扇形圆心角的度数，再利用概率公式进行计算即可得；

(2)由题意可得转出“1”、“3”、“一2”的概率相同，然后列表得到所有可能的情况，再找出符合条件的可能

性，根据概率公式进行计算即可得.

【详解】(1)由题意可知：“1”和“3”所占的扇形圆心角为120。，

所以2个，，一2”所占的扇形圆心角为360。-2、120。=120。，

12001

.•.转动转盘一次，求转出的数字是一2的概率为工=:；

(2)由(1)可知，该转盘转出“1”、“3”、“一2”的概率相同，均为g,所有可能性如下表所示:

第一次第二

1-23

次

1（1,1）（1，-2）（1，3）

-2(-2,1)(-2,-2)(-2,3)

3(3,1)