2022届高考数学训练题

2022年高考数学考前训练题

1.在直三棱柱48C-N8c中，ZJSC=90°,AB=BC=AA\=\.

(1)求异面直线51cl与4c所成的角的大小；

(2)求直线ZC与平面/8C所成角.

【分析】(1)由81ci〃8c可知NZC8即为异面直线81cl与NC所成的角，在

中即可求出NZC8的大小.

(2)由小/J_平面/8CO可知N/|C4即为直线/C与平面Z8C所成角，在Rt/UMC

中求出cos/4C4的值即可.

【解答】解：(1)'：B\C\//BC,

：.N4CB即为异面直线B\Ci与AC所成的角，

VZABC=90°,AB=BC=1,

：.ZACB=45°,

即异面直线81cl与ZC所成的角的大小为45°.

(2)•.•直三棱柱N8C-48C,

平面ABCD,

：.AA\CA即为直线小C与平面/8C所成角，

22

在RtZi4/C中，小Z=l,AC=V2,：.AiC=y/AAA+AC=V3,

./Jr'Agn

・・cosN力|CA="y==与

V6

..ZAiCA—arccos—,

3

,._y/6

即直线41C与平面ABC所成的角为arccos—.

【点评】本题主要考查了异面直线的夹角，考查了直线与平面所成角，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-/8CZ)中，AB//CD,且/8/P=/CDP=90°.

(1)证明：平面E18JL平面处£(；

(2)若以=PD=4B=DC=1,ZAPD=90a,求二面角尸-/C-。的大小.

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明18,平面以。，根据面面垂直的判定定理证

明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面PAC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：由已知/8ZP=NCOP=90°,

所以CDA.PD,

由于48〃CD,故

又APCPD=P,AP,PDu平面以。，

从而481.平面弘D,

又48u平面PAB,

所以平面平面PAD-,

（2）解：在平面玄。内作刊U/。，垂足为F,

由（1）可知，ABL^^PAD,PFu平面RiD,

所以尸RJL/8,又ABCAD=A,AB,ABCD,

所以PF_L平面488,

以点F为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

因为以=PD=/B=QC=1,NAPD=90°,

则40=y/PA2+PD2=V2，

所以尸（0,0,0）,4（孝,0,0）,P（0,0,孝），C（一孝，1，0）,。（一孝，0,0）,

故A=（孝，0,一孝），CA=（V2,-1,0）,DA=（V2,0,0）,

设平面为C的法向量为£=（%,y,z）,

则"r=0,gpjTx-Tz=0,

（C/4-n=0-y=0

令x=l,则y=&,z=l,

所以n=（1,近,1）,

又平面的一个法向量为薪=(0,0,1),

1

所以cos<n,m>=-"吧-=,-=

|n||m|71+2+lxl2

因为二面角P-/C-。为锐二面角，

JT

所以二面角P-AC-D的大小为J

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将

空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

3.如图，四棱锥4-8CDE是由直角△N8C沿其中位线OE翻折而成，且刍PC

=2BI',设A8=l,/C=3.

(I)若NA，EB=J,求二面角A'-BD-P的余弦值;

(II)若二面角C-A'D-E的大小为T，求三棱锥P-A,ED的体积.

6

【分析】(I)因为/4劭=条则△4E8为等边三角形，取分别8E,CZ)的中点O,F,

连接。凡以点。为坐标原点，分别以08,OF,OA1为x轴，y轴，z轴，再求两平面

的法向量，再用向量法求二面角的大小.

（n）先作出二面角C-4D-E的补补角，即二面角O-E的大小，然后多次利

用直角三角形的边的关系求出点Z'到面BCDE的距离，再求尸到面8CDE的距离.

【解答】解：（I）因为///8=多则为等边三角形，

取分别8E,8的中点O,F,连接OF,

以点O为坐标原点，分别以08,OF,OA'为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图：

则B弓，0,0),C(1,2VL0),A(0,0,给,D(-/,y/2,0),

由题意可知，OP=4OC+：。4',所以，P(条，2黑,,

所以BD=(—>J2,0)>A'B=>0，—亨),BP=(—,噂)，

设平面8。的一个法向量为五=Qi，y「Zi),

on.J*_n-义工1+VZy-t+0=0t

所以，,即12,不妨令y[=百，所以%=(2遍,

,2—o[%]+o—5rzi-o

5,2V2),

设平面PBD的法向量A=(%2，为，Z2),

—

fJi,-_八f5%2+V2y2+0=0一

所以呼己=°,即:”G，不妨令及=次，所以改=(2遍，遍,

^P-n=01_蒜+竽+条2=。

-272),

E二i、i——t、_九1•几2_2\/6X2A/6+V3XV3+2A/2^X(—2\/2)_19

月T以COS、71]，M2>=|TT=/99JJ=OC»

眄卜1叱|(J(2/6)2+(A/3)2+(2,/2)2)2

19

所以二面角A'-BD・P的余弦值不；

35

(II)过点E作EMVA'。于M,

再过点加在平面。内作"'。的垂线交44'于N,连接NE.

NNME为二面角E-4,。-4的平面角，

57T77

二面角C-A'D-E的大小为一，，NNME=

在RtAZBC中，由/8=1,NC=3,所以8c=2&，DE=V2,A'E=AE=^,

由折又叠知QE,44'E,所以DELEN,

由作辅助线过程程知4。，面MNE,所以NEL4'D,又A'DCDE=D,

所以FALL/'DE,所以EN_L/'E,

由RtA4,ED,容易求得/Z)=|,又54D.EM=]4E.DE,所以应0=争

在RtAMNE中,又/NMEj所以£7V=孝x字=萼，

在RtZU'EN中，由勾股定理得/'%=续5,所以sinz_M4'E=-^组,cos4M4'E=下三,

18V105V105

所以sinZTlEA'=2x-j==x-T===黑普,

7105710535

所以到面5C0E的距离为一,,PC=2PA',

35

4\/6

所以点P至『面BCDE的距离为一，

35

又SAAED=|X|XV2=^,

所以三棱锥P-A'ED的体积=义XqX禁=器.

DI-DJX\JJ

Af

【点评】本题考查学生求空间角中的面面角和体积，第二问难度大，运算量也大对学生

知识面要求高，空间想象力要强.

1X2y2

4.已知抛物线。：y1=2px(/?>0)和右焦点为尸的椭圆C2：~+~=]-如图，过椭圆

C2左顶点T的直线交抛物线Ci于，，8两点，旦说=2万.连接力尸交C2于两点用，

N,交Ci于另一点C,连接BC,。为8c的中点，TQ交4c于D.

(I)证明：点4的横坐标为定值;

若能=求抛物线的方程.

(II)记△87,△0M/V的面积分别为S”S2,

【分析】(I)设直线TA的斜率，写出TA的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及向量

的坐标运算，即可证明/的横坐标为定值；

(H)由(I)写出4尸的方程，与椭圆联立，利用韦达定理及弦长公式求得|朋N],与抛

物线联立求得C点坐标，利用中点坐标公式求得0,求得7。的方程，与1尸联立，求得

。点坐标，可得分别求得T到工厂的距离，。到//的距离，根据三角形的面积公

式，即可表示出勤，根据关系式，求得“点坐标，代入抛物线方程，即可求得p的值.

【解答】解：(I)证明；由题意可知，7(-2,0),直线四的斜率存在设为上A(xi,

”)，B(%2，J2)，

不妨设直线"的方程为尸〃(x+2)*>0),与抛物线方程联立得沅第I2),

整理得F7+(4Z?-2p)x+4S=0,则与+x=2P,xiX2=4,

2kf

——_1y?i

=2

因为Z8=2TAt所以一=则一=一7=一，设xi=a(a>0)，则X29a,x1x2—9a=4,

723x2yf9

99

则。=可或。=一百(舍去)，

所以Xi=I，即点A的横坐标为定值；

(II)由(I)可知，联，巽)，B(6,8k),则直线4尸的方程为尸-8左(x-I),

(y=-8fc(x—1)

与椭圆联立得久22，整理得(3+256d)7-512上+256〃-12=0,

lz+v3=1

ci?J=256k2-12

设A/(X3，J3)，N(X4，J4)，则％3+%4=-------q,X%

3+256々34-3+256/

2

22

则|MN|=Vl+64/C7(X3+x4)-4X3X4=

直线/尸与抛物线联立得It瑞XT),整理得646-(128F+2p)x+64F=。,

设C(邓，*)，则则%5=,,C(|/—4k),则Q(竽，2k),

8K小

所以直线TQ的方程为y=||(x+2),与直线AF联立得y=_(x+2)

y=-8fc(x—1)

解得卜=24,则D(j1,k),即|CD|=J(f-j1)2+(-5/c)2=JHI+25k2,

y=k

T到AF的距离由=l：16k一网=2跳，

J1+64/(211+64必

,,nr.__|8/cx^+2/c-8/c|24k

Q到AF的距离d2='-产,=-[2

Jl+64/Jl+64必

11

由Si=1|CD|di，S2=^\MN\d2,

SI「Cl氏/|0+25-2r=

所以言=两=五,因此土(】+647=运’整理得5X2562/+358'79=0,

3+256H

解得1=急，则卜=上，

25616

所以4(|,1),由/在抛物线上，则&)2=2px半解得「=卷

则抛物线的方程为y2=加.

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，思路清晰，结合韦达定理，弦长公式,

点到直线的距离公式等知识点，考查计算能力，属于难题.

5.已知抛物线C：^=2py(p>0)的焦点为E,且点尸与圆M：(x+4)2+/=1上点的距

离的最大值为旧+1.

(1)求p；

(2)若。为坐标原点，直线/：y=fcr+4与C相交于4,8两点，问：OA<OF-BF)

是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【分析】（1）由点尸到圆M上的点最大值为旧+1建立关于p的方程，解出即可;

（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求出&•（67-晶）=OA-OB=0

n__

【解答】解：⑴点尸（o,H到圆〃上的点的距离的最大值为|FM+I=g+1,

即J16+,=后,解得p=2；

（2）由（1）得f=4y,设力（xi，y\）,B（X2，J2）,

联立?2=+4,得X2-4去-16=0,

则公+64>0,且制+工2=44，xix2=-16,

—>_*y2.y2i[2

L

所以04•（OF-BF）=OAOB=x\x2+y\y2=x\X2-}--^=-16+带=0,

故后•（办一薪）的值为定值0.

【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合，韦达定理得应用，属于中

档题.

6.已知直线y=2x与抛物线「：f=2px交于Gi，G2两点，月JG&I=花，过椭圆G；卷+

1=1的右顶点。的直线/交于抛物线「于Z,8两点.

（1）求抛物线「的方程；

（2）若射线04,08分别与椭圆Ci交于点。，E,点。为原点，MODE,△048的面

积分别为S”S2,问是否存在直线/使S2=3SI?若存在求出直线/的方程，若不存在，

请说明理由；

（3）若尸为x=-2上一点，PA,P8与x轴相交于“，N两点，问M,N两点的横坐标

的乘积X/JW是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.

【分析】（1）根据题意，联立求得交点，由|6道2|=6，即可求得p的值；

（2）联立求得|。川，\OB\,同理可得|OE|,分别表示出△OOE,AOAB的面积,

利用基本不等式即可表示出各＞3,因此不存在直线/使S2=3SI；

52

（3）根据题意，求得XN，即可表示出•硒，化简可得X/XN是否为定值.

p

dXo1--

解

或

得JX2

【解答】解：（1）联立方程组p2=:fO1所以IG1G2I=*+p2=

U=2pxvyLy-P

（遥