《工程图学基础教程（第4版）》 课件 第3章 基本体的投影及表面交线

第3章基本体的投影及表面交线3.1三视图的形成及投影规律3.2平面立体青岛科技大学3.5两回转体表面相交3.3常见的回转体3.4平面与立体表面相交

工程中常把棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球、圆环等形状简单、经常使用的单一几何形体称为基本体，将其它较复杂形体看成由基本体组合而成。常用基本体可分为平面立体和回转体两类。

本章将重点讨论以下内容：三视图的画法；基本体的投影；基本体被平面切割产生的截交线的投影；基本体与基本体表面相交产生的相贯线的投影等。3.1三视图的形成及投影规律VWH俯视方向左视方向主视图俯视图左视图主视方向

在机械制图中，将立体向投影面投影所得的图形称为视图。3.1.1三视图的形成V面投影——主视图H面投影——俯视图W面投影——左视图俯视图主视图左视图WVH三视图

展开的方法与前述投影面展开方法相同，展开后的三视图见右图。

为了简化作图，在三视图中不画投影面的边框线，视图之间的距离可根据具体情况自行确定，视图的名称也不必标出。主视图俯视图左视图VWH投影面的展开长对正高平齐宽相等宽相等前前后后三视图的投影规律（1）主、俯视图－长对正（2）主、左视图－高平齐（3）俯、左视图－宽相等三视图的位置关系：则有：主视图－反映立体的长度、高度，左视图在主视图的正右方。俯视图在主视图的正下方，主视图的位置一经确定，规定：左右方向的尺寸为长，前后方向的尺寸为宽，上下方向的尺寸为高。注意：俯、左视图－前后对应3.1.2三视图的投影规律俯视图－反映立体的长度、宽度，左视图－反映立体的宽度、高度。主视方向画立体的三视图[例1]根据立体图画三视图。(1)(5)(4)(6)(3)(2)(3)(5)(4)(6)(1)(2)[例2]

观察立体的三视图，在立体图中找出对应的立体，在括号

中填写序号。(4)(5)(6)(3)(2)(1)[例3]

观察立体的三视图，在立体图中找出对应的立体，在括号

中填写序号。(1)(5)(4)(6)(3)(2)本节完返回首页

根据点、线、面的投影特点和三视图的投影规律，即可画出平面立体的三视图。

工程中常用的平面立体有两种：棱柱和棱锥。棱柱和棱锥是由棱面和底面围成的，相邻两棱面的交线称为棱线，底面和棱面的交线称为底边。棱线底边六棱柱三棱锥3.2平面立体高平齐长对正

宽相等主视方向1.棱柱的三视图（以六棱柱为例）3.2.1棱柱[例1]已知六棱柱表面A、B、C点的正面投影，求它们的水平面投影和

侧面投影。作图步骤：(1)判断所求点在立体表面的位置；(2)根据三视图投影规律（即点的投影规律）及平面上点的投影特点做出点的其余两面投影，并判断可见性。bca”(

)c”b”2.棱柱表面取点()c’a’b’a1.棱锥的三视图（以三棱锥为例）c”a’abca”b”b’c’s’s”s作图步骤：(1)画反映底面实形的正三角形并完成俯视图；(2)按照三视图投影规律画其余两视图。

将三棱锥置于三投影面体系中，使其底面平行

于H面并放正(前后对称)。

底面为水平面；三个棱面形状相同，其中一个是正垂面，两个为一般位置平面。3.2.2棱锥2.棱锥表面取点（1）作已知点与过锥顶的连线c”a’aca”b”b’c’s’s”sb11’d’d1”d”(1)作已知点与锥顶的连线；(2)过已知点作底边的平行线；(3)过已知点作任意直线。

若棱锥的棱面垂直于投影面，其表面上的点可利用投影的积聚性求得。

若棱面处于一般位置，其表面上的点可以用在平面上取点的方法，通过作辅助线求得。表面取点作辅助线的方法：

取点问题dd（2）作平行于底边的辅助线（3）作任意直线为辅助线a’acb’c’s’sbd’a’acb’c’s’sbd’11’11’22’

取点问题本节完返回首页

工程中常见的回转体是圆柱、圆锥和圆球，有时也用到圆环。一母线（动线）绕轴线（定线）旋转所形成的曲面称回转面。

回转面上任一位置的母线称为素线。素线的形状与母线相同。母线上任一点的运动轨迹均为垂直于轴线的圆，称为纬圆，纬圆所在的平面垂直于轴线。轴线（定线）素线A母线（动线）回转体是由回转面或回转面与平面构成的。纬圆回转面的形成：纬圆⊥轴线圆锥面上只有素线是直线3.3常见的回转体返回3.3.1圆柱圆柱由圆柱面、形状相同的圆顶面和底面所围成。122’1’4’3’2”4”1”3”ⅠⅡⅢⅣ

圆柱面可看作由直母线绕与它平行的轴线旋转而成。圆柱面上平行于轴线的素线是直线。2.圆柱的三视图画图步骤：画出圆柱中心线（轴线）和圆的十字中心线的三面投影；(2)画反映底面实形的俯视图；(3)按照三视图投影规律画其余两视图。转向轮廓线的其它投影不画34这两条线是圆柱面上最左、最右的两条素线，也是对正面投影中可见与不可见的分界线，称为对正面的转向轮廓线。主视方向同样可分析对侧面的转向轮廓线是最前、最后素线，是对侧面的可见与不可见的分界线。5”6”7”8”5’7’6’8’7856ⅤⅥⅦⅧ1.圆柱的生成3.圆柱面上取点ac”c(b”)a”(b’)(c’)a’b分析：A(B)(C)A点位于左、前圆柱面上；B点位于右、后圆柱面上；C点位于对侧面的转向轮廓线（后面）上。[例1]作出圆柱面上A、B、C三点的其余投影。取点问题

s”s’3.3.2圆锥S轴线母线素线s

圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作由直母线绕与它相交的轴线旋转而成。圆锥面上过锥顶的素线是直线。

2.圆锥的三视图作图步骤：(1)画各图的中心线后画出俯视图圆；(2)按照三视图投影规律画其余两视图。1’2’1”2”123’4’343”4”SⅠ、SⅡ——对

正面的转向轮廓线SⅢ、SⅣ——对

侧面的转向轮廓线1.圆锥的生成ba”a（1）转向轮廓线上的点(b”)ASB3.圆锥面上取点s”s’sa’b’辅助素线法辅助圆法（2）圆锥面上的点(a”)1’a’a1A1”Ss”s’s1a(a”)a’s”s’s3.3.3

圆球

圆球是由球面围成的。球面可看作由圆（母线）绕其任一直径（轴线）回转而成。因此，过球心的直线均可看作球的轴线。1.圆球的形成对水平面转向轮廓线（最大水平圆）2.圆球的三视图

球的三个视图都是与球直径相等的圆，它们分别是这个球面对三个投影面的转向轮廓线。作图步骤：(1)画各图的十字中心线；(2)画三个直径为球径的圆，每个圆均为对相应投影面的转向轮廓线。主视方向对正面的转向轮廓线（最大正平圆）对侧面的转向轮廓线（最大侧平圆）3.3.3

圆球（也称球）1.圆球的形成Aa”a’a1’1

分析：球面上没有直线，球面取点可作过该点的纬圆（水平圆、侧平圆、正平圆）为辅助线。3.圆球表面取点作水平圆作正平圆作侧平圆3.3.4同轴回转体

工程中，经常用到几个回转体共轴线的机件，这种回转体称为同轴回转体。本节完返回首页3.4平面与立体表面相交

平面与立体表面相交，可看作是用平面切割立体，该平面称为截平面。截平面与立体的交线，称为截交线，由截交线围成的平面图形称为断面。截交线断面断面截平面截平面1.平面立体截交线的性质(1)截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。(2)截交线是由直线围成的平面多边形，多边形的边数取决于平面立体自身的性质及截平面与立体的相对位置。2.求平面立体截交线的方法

求平面立体的截交线，可归结为求截平面与立体表面的交线，而求交线又可转化为求截平面与立体上棱线的交点问题。3.4.1平面立体的截交线正垂面[例1]已知六棱柱被正垂面切割，补画左视图并完成俯视图。ABFCEDPc”c’d’aa”bdea’b’e’f’b”d”e”f”cf1”[例2]完成三棱锥被切割后的水平和侧面投影。3”1’12342’3’4’2”4”分析：

缺口由水平面、正垂面切割而成。在求截交线时应分别求出每一个截平面切割所产生的截交线，然后再综合考虑两个截平面相交所产生的交线。ⅠⅡⅢⅣ[例3]完成立体被切割后的俯视图和左视图。2”4”8”7”6”5”1”3”7’8’5’6’3’4’1’2’65871234ⅥⅦⅧⅢⅣⅡⅠⅤ2”1”3”4”3’1’2’4’1324[例4]完成所示立体穿孔后的三面投影。12341

8

8[例5]求八棱柱被正垂面切割后的俯视图。正垂面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ1

5

4

3

2

8

7

6

2

3

6

7

4

5

1547632[例5]求八棱柱被正垂面切割后的俯视图。截交线的形式取决与两个方面的因素：

回转体的截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上的点既在截平面上又在回转体表面上，是截平面与回转体表面的共有点。共有点也是回转体表面上的点，因此，求截交线可转化为在回转体表面取点的问题。(d)手柄上的球(a)切刀(b)顶针(c)六角螺母(1)一条封闭的平面曲线;(2)平面曲线和直线所围成的平面图形;(3)多边形。回转体自身的形状；截平面与回转体轴线的相对位置。在一些零件上，平面与回转体表面相交所产生的截交线是常见的。1.回转体截交线的性质2.求回转体截交线的方法3.4.2 常见回转体的截交线截平面与轴线位置

截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条直线(或矩形)。截交线的情况

截平面垂直于轴线，交线为圆（纬圆）。

截平面倾斜于轴线，交线为椭圆。立体图投影图平行垂直倾斜1.圆柱的截交线CABD[例1]

完成圆柱被切割后的三视图。EFe”a’ea”b’b”fc’d’e’f’c”d”f”⑵作特殊点（能够确定截交线形状和范围的点）⑴分析截交线形状和对称性等（椭圆）。⑸整理外轮廓线⑷判断可见性，用曲线依次光滑连接截交线上各点⑶作一般点一般点是指为了使作图准确而在特殊点之间作出的一些点。包括：转向轮廓线上的点;极限点(最高、最低、最前、最后、最左、最右点);椭圆长短轴上的端点等。求截交线的一般步骤：cdbae”[例2]

完成圆柱被切割后的左视图并补画俯视图。a’b’ecbaa”c”c’d’b”d”dfge’f’g’f

”g”1”2”1’2’12分析：水平面切割——两平行轴线的直线正垂面切割——椭圆两截平面的交线——正垂线先用双点划线补画出完整圆柱的俯视图勿漏截平面间交线的投影[例3]

完成圆柱被切割后的俯视图，补画左视图。

侧平面平行于圆柱的轴线，截交线是一矩形，水平面垂直于圆柱的轴线，截交线应为圆。几个截平面的交线均为正垂线。

圆柱左上方被一个侧平面、一个水平面切去一块，下部中央被对称的两个侧平面和一个水平面挖通槽。分析：不过锥顶椭圆相交两直线投影图立体图截交线形状αθ圆截平面的位置过锥顶θ＝90°θ＞α双曲线抛物线0°≤θ＜αθ＝αθ为截平面与圆锥轴线的夹角；α为半锥顶角。2.圆锥的截交线θα6”4”3”1”3’4’5’6’432561’2’5”2”1[例4]

完成圆锥被切割后的水平投影和侧面投影。ⅣⅡⅤⅠⅢⅥ

圆锥被垂直于轴线的一个正垂面切割，截交线为椭圆。分析：[例5]完成圆锥被切割后的正面投影。a’c’e’b’d’e”a”d”c”b”分析：

轴线为侧垂线的圆锥被正平面切割，截平面平行于轴线，截交线为双曲线。[例6]完成圆锥被切割后的水平投影和侧面投影。4”6”5”1”5’6’3

’4’1’2’6512343”2”分析：

轴线为铅垂线的圆锥被三个平面切割，其中绿色截平面为水平面，垂直于轴线（圆弧）；紫色截平面为正垂面，θ<α（椭圆弧）；蓝色截平面为正垂面，过锥顶点（直线）。三个截平面的交线为均为正垂线投影面平行面与球相交PQ

当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面内投影为椭圆。

平面与球相交，不论平面处于何种位置，其截交线的形状总是圆。

当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面内投影为圆；

当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面内投影为直线。qpp’q’p”q”3.圆球的截交线[例7]

完成圆球被切割后的水平投影和侧面投影。PQ主视方向分析：半球被两个左右对称的侧平面P和一个水平面Q切出一方槽；因截平面P是侧平面，其截交线为平行于侧面的圆弧；截平面Q是水平面，其截交线为平行于水平面的圆弧。ecbac’d’dfge’f’g’h’a’b’e”a”d”f

”g”c”b”hh”[例8]

完成圆球被正垂面切割后的水平投影和侧面投影。分析：

圆球被一个正垂面切割，因截平面倾斜于水平面和侧平面在这两个投影面内投影为椭圆。圆锥圆柱圆柱半球[例9]补全组合平面切割同轴回转体的水平投影。（两直线、椭圆、两直线）(半圆)4.同轴回转体的截交线

在机件上，经常会遇到平面与同轴回转体表面相交产生截交线的情况。分析：

由圆锥、两个圆柱、半球构成的同轴回转体被组合平面（两个水平面、一个正垂面）切割，截交线有双曲线、矩形、椭圆弧和圆弧。可分别求出每一个截平面切割产生的截交线，最后考虑截平面之间的交线，并注意可见性问题,最后补齐外轮廓线。（双曲线、两直线）本节完返回首页

在物体上，经常会见到立体表面相交的情形。立体表面相交时产生的交线称为相贯线，相交的立体称为相贯体。立体相贯常见的三种形式：可转化为求截交线

平面立体与曲面立体相贯两平面立体相贯两曲面立体相贯常见：两回转体相贯3.5两回转体表面相交

两回转体表面相交产生的相贯线，一般是一条封闭且光滑的空间曲线，特殊情况下也会呈现平面曲线的形式，如圆或椭圆等。

当参加相贯的回转体之一为轴线垂直于投影面的圆柱体时，可利用积聚性法求作相贯线上的点；不属于上述情况的，一般需要使用辅助平面法求解或用两种方法综合求解。

相贯线的分析和求解方法ⅠⅤⅡⅥⅣⅢ

积聚性法就是利用回转体的回转面在某一个投影面上的投影具有积聚性，即在该投影面上，相贯线的投影重合在回转面有积聚性的投影上的特点，来求相贯线上一般点或特殊点的一种方法。积聚性法求相贯线的条件：

参加相贯的两个回转体中，必须有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，且该圆柱面的积聚性投影为已知。4”5”6”1

”3”6512345’3’1’2

’4’6’2”[例1]求两圆柱正贯（轴线垂直相交）的相贯线。ⅠⅤⅡⅥⅣⅢ

相贯线为前后、左右对称的封闭曲线。正面和侧面投影重合为一段曲线,水平和侧面投影积聚在圆上。分析：3.5.1 两圆柱相交1.两圆柱正交的相贯线⑸整理外轮廓线。⑷判断可见性，用曲线依次光滑连接相贯线上各点；⑶作一般点；⑴分析相贯线的形状和对称性；⑵求特殊点：能够确定相贯线形状和范围的点；包括：转向轮廓线上的点;极限点（最高、最低、最前、最后、最左、最右点）;相贯线对称平面上的点等。从[例1]可得到求相贯线的一般作图步骤：4”5”6”1

”3”6512345’3’1’2

’4’6’2”⑴相贯线积聚在圆或圆弧上，即相贯线在这些面上的投影为已知；⑵在两圆柱的投影均无积聚性的视图上相贯线待求；⑶相贯线总是发生在小圆柱周围，并向大圆柱的轴线方向凸起。从上例还可得到如下结论：当两圆柱正贯（轴线垂直相交）时：三种形式：两外表面相交两内表面相交外表面与内表面相交2.两圆柱正交产生相贯线的形式4”12343’1’2”1”3”2

’4’外表面与内表面相交⑴相贯线积聚在圆或圆弧上，即相贯线在这个面上的投影为已知；⑵在两圆柱的投影均为矩形的视图上相贯线待求；⑶相贯线总是发生在小圆柱周围，并向大圆柱的轴线方向凸起。当两圆柱正贯（轴线垂直相交）时：两内表面相交4”12343’1’