专题03 等腰三角形（知识串讲+6大考点）原卷版

专题03等腰三角形考点类型知识串讲（一）等腰三角形（1）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.（二）解题方法（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*GB3①三线合一；=2\*GB3②过中点做平行线[来源:考点训练考点1：等腰三角形的性质——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了A'点，若∠OA

A．50° B．60° C．80° D．90°【变式1】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）

A．62° B．64° C．66° D．68°【变式2】（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=28°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=136°，则

A．32° B．36° C．40° D．42°【变式3】（2023·吉林松原·校联考三模）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（

）A．16° B．32° C．74° D．30°考点2：等腰三角形的性质——求线段典例2：（2023春·广东河源·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点M在CA的延长线上MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO=3，BO=4，则MC的长度为（

）

A．12 B．9 C．10 D．11【变式1】（2023春·全国·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD=8，BD=3，BF=4，△ABE的周长为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ=2，则线段OQ的长是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【变式3】（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若BE=2，CF=3，则线段EF的长是（

）A．6 B．5 C．4 D．3考点3：等腰三角形的性质——三线合一典例3：（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，点E，F，G是CD上任意三点，若AB=3，CD=4，则图中阴影部分的面积为（

）A．12 B．6 C．3 D．1.5【变式1】（2023春·湖北黄石·七年级统考期中）已知，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADE+∠BCE；④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，下列选项中错误的是（

）

A．BD=CD且AD⊥BC B．DE=DFC．∠BDE=∠CDF D．若点P为AC上任意一点，且DE=3，则DP的取值范围是PD【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC=7cm，则DC

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6考点4：等腰三角形的判定典例4：（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB=6，则△OMN的周长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题∶“如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，OB=OC，添加下列哪个条件能判定△ABCA．AE=BE B．BE=CD C．∠BEO=∠CDO D．∠BEO=∠BOE【变式2】（2023秋·重庆·八年级统考期末）如图，∠1=∠2,∠C=∠D,AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（）A．∠DAE=∠CBEB．△DEA≌△CEBC．CE=DAD．【变式3】（2023·全国·八年级假期作业）△ABC的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a:b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C考点5：等腰三角形的个数问题典例5：（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A、B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2022秋·湖南长沙·八年级校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（

）个．A．6 B．7 C．8 D．9【变式3】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,3)，B(0,5)，若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的点C有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个考点6：等腰三角形尺规问题典例6：（2023·河北石家庄·统考二模）如图（1），锐角△ABC中，AB>BC>AC，要用尺规作图的方法在AB边上找一点D，使△ACD为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（

）

A．甲、乙、丙都正确B．甲、丙正确，乙错误C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确【变式1】（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考阶段练习）如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（

）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【变式2】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根据作图痕迹，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°同步过关一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．35° B．40° C．42° D．50°2．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图，若△ABC内一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则称点P为△ABC的布洛卡点．某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点，得到下列两个命题：①若∠BAC=90°，则∠APC=90°；②若AB=AC，则∠APB=∠BPC．下列说法正确的是（）A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题C．①，②均为假命题 D．①，②均为真命题3．（2023秋·广西南宁·八年级校考期末）如图，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，则∠A等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°4．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC=12OD，A．65° B．70° C．75° D．80°5．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级牡丹江四中校考期中）等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则腰长为（

）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm6．（2022秋·山西忻州·八年级统考期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（

）A．28° B．36° C．45° D．72°7．（2023秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（

）①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△ACDA．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（2022秋·新疆哈密·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AB=AC，∠A=36∘，D是AC上一点，且BD=BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E,F，下列结论：①DE=DF；②D是AC的中点；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD；其中正确的个数为（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为(A．35° B．45° C．55° D．65°10．（2023秋·湖北黄石·八年级统考期末）正六边形ABCDEF与正方形ABMN摆放如图所示，连接NF，则∠ANF的度数为（）A．70° B．80° C．75° D．85°二、填空题11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，AD=BD，∠DAC=60°，∠DCA=40°，则∠ABC=___________．12．（2022秋·河北廊坊·八年级统考期末）在如图所示的3×3方格中，以AB为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有______个．

13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________度.14．（2023春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）若等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则它的周长是________cm15．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）若等腰三角形其中两边长a，b满足a-216．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝_____．（多选）A.85

B.58

C.14三、解答题17．（2023秋·广东肇庆·八年级校考期中）如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：△OCD为等腰三角形．18．（2023秋·河北唐山·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN//（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求证：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周长为a，BC=b(a>2b)，直接写出△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．19．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图在△ABC中，AB=AC=12，BC=15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．(1)求△ABD的周长；(2)若∠B=35°，求∠BAD的度数．20．（2023秋·山东滨州·八年级校联考期中）已知：如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．求证：（1）∠B＝∠AEB；（2）AE平分∠BED．21．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE．22．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．(1)