第一次月考难点特训（二）和数轴上的动点有关的压轴题（解析版）

第一次月考难点特训（二）和数轴上的动点有关的压轴题1．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了个单位长度，再向左移动个单位长度到达终点，可得到终点表示的数是，起点和终点之间的距离是个单位长度，已知点，是数轴上的点，完成下列各题：（）如果点表示数，将点向右移动个单位长度到达终点，那么终点表示的数是__________，，两点间的距离是__________个单位长度．（）如果点表示数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到达终点，那么终点表示的数是__________，，两点间的距离为__________个单位长度．（）一般地，如果点表示数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达终点，那么请你猜想终点表示的数是__________，，两点间的距离是__________个单位长度．【答案】（1）4，7；（2）1，2；（3）a+b-c，|b-c|.【解析】【分析】（1）（2）根据图形可直接的得出结论；（3）先求出B点表示的数，然后由数轴上两点间的距离公式：两点间的距离是两点所表示的数差的绝对值，计算即可.【详解】解：（1）由图可知，点A表示数-3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4;A、B两点间的距离是|-3|+|4|=7；故答案为4，7；（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，则点A表示3-7=-4，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是-4+5=1，A、B两点间的距离是3-1=2；故答案为1，2；（3）点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，则点A表示a+b，再向左移动个单位长度，那么终点B表示的数是a+b-c;A、B两点间的距离是|a+b-c-a|=|b-c|；故答案为a+b-c，|b-c|.【点睛】2．如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c(a＜b＜c)，点A，B之间距离为12个单位长度，点B，C之间距离为n(n＞0)个单位长度．（1）若a，b互为相反数，且c＝14，则n＝；（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．当P、Q两点到点B的距离相等时，求P、Q两点出发的时间．【答案】（1）8；（2）1或4秒．【解析】【分析】（1）根据相反数的定义求得，，再根据题意即可求得的值；（2）分①P在B的右侧和②Q与P重合两种情况讨论，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．【详解】（1）∵AB=12，、互为相反数，∴，，又∵，∴；（2）设P、Q两点出发的时间为t秒，则P表示为：，Q表示为：，分类讨论：①P在B的右侧，∴，解得；②当Q与P重合时，∴，解得，综上，t为1或4秒．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【答案】（1）60，15；（2）甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20【解析】【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|﹣40﹣20|，根据题意即可求解；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论；（4）设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇，根据题意得方程解方程即可．【详解】（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得：x+4x＝60，解得x＝12，﹣40+x＝﹣28．即甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况：相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，即10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲行驶了15个单位长度，设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇根据题意得方程：4(a-15)=15+1×（a-15）解方程得：a=20由于甲到达B点需要时间为60秒，而20<60此时甲运动的个单位长度为：20×1=20此时甲在数轴上的位置表示的数为：-40+20=-20故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．4．[新定义]:为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就称点的幸运点.[特例感知]（1）如图1，点表示的数为-1，点表示的数为3.表示2的点到点的距离是3，到点的距离是1，那么点是的幸运点，①的幸运点表示的数是________；A．-1

B．0

C．1

D．2②试说明的幸运点.（2）如图2，为数轴上两点，点所表示的数为-2，点所表示的数为4，则的幸运点表示的数为________.[拓展应用]（3）如图3，为数轴上两点，点所表示的数为-20，点所表示的数为40.有一只电子蚂蚁从点出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点停止.当t为何值时，、和三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点?【答案】（1）①；②理由见解析；（2）7或2.5；（3）3秒、9秒、8秒或4秒.【解析】【分析】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC=3，AE=1，可得AC=3AE；（2）设[M，N]的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|=3|p-4|，求解即可；（3）由题意可得，BP=3t，AP=60-3t，分四种情况讨论：①当P是[A，B]的幸运点时，PA=3PB②当P是[B，A]的幸运点时，PB=3PA③当A是[B，P]的幸运点时，AB=3PA，④当B是[A，P]的幸运点时，AB=3PB．【详解】解:（1）①由题意可知，∴，即点到点是到点距离的3倍，点表示的数是0，故选.②由数轴可知，，∴，∴的幸运点.（2）设的幸运点为，设它表示的数为，∴，∴，∴，∴；故答案为7或2.5；（3）由题意可得，，①当的幸运点时，，∴，∴；②当的幸运点时，，∴，∴；③当的幸运点时，，∴∴；④当的幸运点时，，∴，∴；∴为3秒、9秒、8秒、4秒时，中恰好有一个点为其余两点的幸运点.【点睛】本题考查一元一次反方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键．5．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10，B点对应的数为90．（1）请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数是多少.（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，求经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.【答案】(1)40;(2)30;（3）经过13秒或27秒【解析】【分析】（1）先求出A、B两点之间的距离：90-（-10）=100，再求出M点到A、B两点的距离：100÷2=50，然后借助数轴即可求出M点．（2）根据A、B两点的距离和两只蚂蚁的运动速度可求出相遇的时间，即可求出每个蚂蚁运动的距离，即可求出C对应的数.（3）此问分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，分别计算即可.【详解】（1）90-（-10）=100，100÷2=50，90-50=40.答：M点对应的数是40.（2）100（2+3）=20，203=60，90-60=30.答：C点对应的数是30（3）（100-35）÷（2+3）=13秒，（100+35）÷（2+3）=27.答：经过13秒或27秒两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离，解决（3）的关键是要分两种情况：相遇前和相遇后．6．如图在数轴上点表示数，点表示数、、满足；（1）点表示的数为______；点表示的数为______；（2）若在原点处放一挡板．一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动：同时另小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒）．①当时，甲小球到原点的距离＝_______；乙小球到原点的距离＝________．当时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=______．②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由，若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，4；（2）①3，2；5，2；②t=秒或t=6秒．【解析】【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵|a+2|+|b-4|=0；∴a=-2，b=4，∴点A表示的数为-2，点B表示的数为4，故答案为：-2，4；（2）①当t=1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离=3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离=4-2=2，故答案为：3，2；当t=3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离=5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动4个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离=2．故答案为：5，2；②当0＜t≤2时，得t+2=4-2t，解得t=；当t＞2时，得t+2=2t-4，解得t=6．故当t=秒或t=6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：t=秒或t=6秒．【点睛】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．7．我们知道，在数轴上，|a|表示数a表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和4的两点的距离是，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．（2）|a﹣1|＝2，则a＝，|a﹣1|+|a+3|＝6，则a＝．（3）当|a﹣1|+|a+3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a是．（4）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50；现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t秒后两只蚂蚁相距10个单位长度，求此时点P表示的数是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式列式计算即可；（2）利用绝对值定义知，分别求解即可，由，分和两种情况进行讨论即可求出答案；（3）表示数轴到表示1和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当时，有最小值，最小值为4，即可得符合条件的非负整数a的值；（4）分情况讨论：相遇前两只蚂蚁所走总路程等于，相遇后两只蚂蚁所走总路程等于，求出所用时间t，在进行求解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和4的两点的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为；（2）∵，∴，∴或，即a为3或；∵，∴当时，，，当时，，，∴a为2或；（3）当a在数轴上表示1和之间时，此时的最小值为4，此时，∴符合条件的非负整数a是0和1；（4）①相遇前两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：，解得：，∴，∴点P表示的数是8；②相遇后两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：，解得：；∴，∴点P表示的数是；综上所述：此时点P表示的数是8或；【点睛】此题考查了数轴，涉及绝对值、解方程的知识点，解题的关键是对绝对值意义的掌握．8．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣8|＝0（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；当t＝5时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可；②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可．【详解】（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0，，，∴点A表示的数为-2；点B表示的数为8；（2）∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴当t＝1时，甲小球运动的路程为个单位，乙小球运动的路程为个单位，∴当t＝1时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为；同理，当t＝5时，甲小球运动的路程为个单位，乙小球运动的路程为个单位，此时乙小球会碰到挡板而向相反的方向运动，∴当t＝5时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为；②∵点B表示的数为8，乙小球的速度为2个单位/秒，∴乙小球碰到挡板所用的时间为（秒），当运动时间小于等于4秒时，，解得；当运动时间大于4秒时，，解得，∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为2秒或10秒．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，掌握绝对值的性质，分情况讨论并利用方程的思想是解题的关键．9．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝10，a＋b＝60，ab＜0．（1）求出a，b的值；（2）现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？【答案】（1）a＝﹣10，b＝70；（2）①两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②点C对应的数为150；③经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【解析】【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解；（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解；③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距30个单位长度列一元一次方程即可求解．【详解】解：（1）∵|a|＝10，∴a＝10或﹣10，∵ab＜0，∴a，b异号，∵a＋b＝60，当a＝10时，b＝50，不合题意，舍去．当a＝﹣10时，b＝70，符合题意．答：a＝﹣10，b＝70．（2）①设Q从B出发t秒与P相遇．根据题意得4t﹣2t＝80，解得t＝40．故两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，则点C对应的数为70+40×2＝150；③根据题意，得相遇前：4t﹣2t＝80﹣30，解得t＝25；相遇后：4t﹣2t＝80+30，解得t＝55．故经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．10．阅读理解：点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如：如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．（知识运用）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）如图2，数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【答案】（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数−1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）−290，−30或10【解析】【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分4种情况列式：①PB＝3PA；②PA＝3PB；③AB＝3PA；④PA＝3AB；可以得出结论．【详解】解：（1）5−（−3）＝8，8÷（3＋1）＝2，5−2＝3；−3＋2＝−1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数−1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30−（−50）＝80，80÷（3＋1）＝20，30−20＝10，−50＋20＝−30，−50−80÷3＝−76（舍去），−50−80×3＝−290．故P点运动到数轴上的−290，−30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：−290，−30或10．【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果是解题关键．11．思考下列问题，并在横线上填上答案：（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距_______个单位．（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是_____________．（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是_______．（4）若|a－3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是_______，最小距离是_______．（5）数轴上点A表示8，点B表示-8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过_______秒三个点聚于一点，这一点表示的数是_________，点C在整个运动过程中，移动了_______个单位．【答案】（1）7；（2）-1；（3）5或-1；（4）8，2；（5）8，4，24【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，即可求解；（2）根据数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加，即可求解；（3）根据数轴上两点间的距离公式，列绝对值方程即可求解；（4）利用绝对值的性质分别求得x、y的值，根据数轴上两点间的距离公式计算出结果，比较即可得出；（5）设经过秒，三个点聚于一点，根据点A、B运动的路程为，列一元一次方程求解，利用“速度时间=路程”即可求得点C运动的路程．【详解】（1）数轴上表示-3的点与表示4的点相距|-3-4|=7个单位；故答案为：7；（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是；故答案为：；（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，设点B表示的数为，则，解得：或，点B表示的数是5或，故答案为：5或；（4）∵，，∴a为5或1，b为-1或-3，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是,故答案为：8，；（5）设经过秒，三个点聚于一点，由题意可得：，∴(秒)，，(个单位)，故经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．故答案为：8，4，24．【点睛】本题考查了数轴，绝对值方程，一元一次方程的应用等知识．数轴上两点间的距离，即数轴上两点所表示的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．数轴上点的平移和其对应的数的大小变化规律：左减右加．12．在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【答案】（1）-2；（2）4；（3）1140秒或1164秒．【解析】【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；（2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95，∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，∴时间=4560÷4=1140(秒)；②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96，∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，∴时间=4656÷4=1164(秒)

．【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．13．“收获是努力得来的”，在数轴上，若点C到点A的距离刚好是3，则点C叫做点A的“收获点”，若点C到A、B两点的距离之和为6，则点C叫做A、B的“收获中心”．（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的收获点C所表示的数应该是；（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的收获中心，则C所表示的数可以是（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过t秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，求t的值．【答案】（1）-4或2；（2）-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）1.75秒或4.75秒【解析】【分析】（1）根据收获点的定义即可求解；（2）根据收获中心的定义即可求解；（3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论．【详解】解：（1）A的收获点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的收获中心．故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，依题意有①8-2x-4+（8-2x+1）=6，解得x=1.75；②4-（8-2x）+[-1-（8-2x）]=6，解得x=4.75．故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心．【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．14．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24【解析】【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，综上所述，点P表示的数为或24．【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．15．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为（秒）．（1）当时，求点到原点的距离；（2）当时求点到原点的距离；（3）当点到原点的距离为4时，求点到原点的距离．【答案】（1）6；（2）2；（3）2或6【解析】【分析】（1）当时，先计算，小于8，则用8减去即可得；（2）当时，点运动的距离大于8，则用点运动的数值减去8即可；（3）当点到原点的距离为4时，分两种情况：向左运动时，向右运动时，分别计算即可．【详解】解：（1）当时，，，点到原点的距离为6；（2）当时，点运动的距离为，，，点到原点的距离为2；（3）当点到原点的距离为4时，，向左运动时，，则，，；向右运动时，，运动的距离是，运动时间，，点到原点的距离为2或6．【点睛】本题考查了动点在数轴上的运动，解题的关键是正确分析题意并分类讨论．16．【知识储备】（1）数轴上点A表示的数为a，若向右移动m个长度单位后表示的数是；若向左移动n个长度单位后表示的数是．（2）在数轴上A点表示数a，B点示数b，A在B的右边，A、B两点间的距离等于a-b．【解决问题】已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】【知识储备】（1）a+m；a-n；【解决问题】（1）点P对应的数-1；（2）存在，x的值为4或-6；（3）点P所对应的数是-4或-28．【解析】【分析】知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，即可解答．解决问题（1）先求出，，再表示出AP、BP，再根据两点间的距离公式列式计算即可．（2）先根据题意得出，再分当点P在点A左边和当点P在点B右边两种情况讨论即可．（3）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，再求出、、的对应数，再分当在右边和当点在点右边两种情况讨论，列式求出点P所对应的数即可．【详解】解：知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，得：a+m；a-n；解决问题（1）如图：∵点P到点A、点B的距离相等，∴，∵（点P在点A右边），（点B在点P右边），∴，解得：，∴点P对应的数为.解决问题（2）如图：点P到点A的距离为PA，点P到点B的距离为PB，依题意：，∵点P在点A和点B之间时，∴点P不在点A和点B之间，当点P在点A左边时：，∵，∴，解得：，当点P在点B右边时：，∵，∴，解得：．综上，存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10．或．解决问题（3）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，此时点A运动到点,点B运动到，点P运动到,∴经过t秒，，此时的对应的数为，，此时的对应的数为，，此时对应的数为，∵t秒后点A与点B之间的距离为3个单位长度，∴,当在右边时：∴，∴，∴，∵，∴P所对应的数为．当点在点右边时：∴，∴，∴，∵，∴P所对应的数为，综上，点P对应的数为或．【点睛】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题意并列式是解本题的关键．17．已知在数轴上有A,B两点,点B表示的数为﹣1,点A在点B的右边,AB＝24．若有一动点P从数轴上点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动,设运动时间为t秒．（1）当t＝1时,写出数轴上点A,P所表示的数分别为､;（2）若点P,Q分别从A,B两点同时出发,问当t＝时,点P与点Q相距3个单位长度?（3）若点O到点M,N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍,则称点O是[M,N]的“好点”,设点C是点A,B的中点,点P,Q分别从A,B两点同时出发,点P向左运动到C点时返回到A点时停止,动点Q一直向右运动到A点后停止运动,求当t为何值时,点C为[P,Q]的“好点”?【答案】（1）23,19;（2）3或;（3）当t为或或或6时,点C为[P,Q]的“好点”．【解析】【分析】（1）由点B表示的数为最大的负整数及线段AB的长可得出点B,A表示的数,再结合点P的出发点､运动速度及运动方向,可找出当t=1时点P表示的数;（2）当运动时间为t秒时,点P表示的数为23-4t,点Q表示的数为3t-1,根据PQ=3,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;（3）由点A,B表示的数结合点C为线段AB的中点,可找出点C表示的数,分,和三种情况,根据点C为[P,Q]的“好点”,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论．【详解】解:（1）∵点B表示的数为最大的负整数,点A在点B的右边,AB＝24．∴点B表示的数为﹣1,点A表示的数为﹣1+24＝23．∵点P从数轴上点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,运动时间为t秒,∴当t＝1时,点P表示的数为23﹣4×1＝19．故答案为:23,19;（2）当运动时间为t秒时,点P表示的数为23﹣4t,点Q表示的数为3t﹣1,依题意得:|23﹣4t﹣（3t﹣1）|＝3,即24﹣7t＝3或7t﹣24＝3,解得:t＝3或．答:当t为3或时,点P与点Q相距3个单位长度．故答案为:3或;（3）∵点B表示的数为﹣1,点A表示的数为23,点C为线段AB的中点,∴点C表示的数为11．∵24÷2÷4＝3（秒）,3×2＝6（秒）,24÷3＝8秒,∴当0≤t≤3时,点P表示的数为23﹣4t；当3＜t≤6时,点P表示的数为；当6＜t≤8时,点P表示的数为23;当0≤t≤8时,点Q表示的数为3t﹣1．∵点C为[P,Q]的“好点”,∴当0≤t≤3时,11﹣（3t﹣1）＝2（23﹣4t﹣11）或2[11﹣（3t﹣1）]＝23﹣4t﹣11,解得:或t＝6（不合题意,舍去）;当3＜t≤6时,|11﹣（3t﹣1）|＝或2|11﹣（3t﹣1）|＝，即12﹣3t＝8t﹣24或3t﹣12＝8t﹣24或24﹣6t＝4t﹣12或6t﹣24＝4t﹣12,解得:或（不合题意,舍去）或或t＝6;当6＜t≤8时,23﹣11＝2（3t﹣1﹣11）,解得:t＝6（不合题意,舍去）．答:当t为或或或6时,点C为[P,Q]的“好点”．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴,解题的关键是:（1）根据动点P的出发点､运动速度､运动方向及运动时间,找出t-1时点P表示的数;（2）找准等量关系,正确列出一元一次方程;（3）分,和三种情况,找出关于x的一元一次方程．18．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最大的负整数，且满足．（1）a=________，b=________，c=________．（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；（3）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________．（用含的代数式表示）（4）的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。【答案】（1）-3；-1；5；（2）3；（3），；（4）的值为定值16．【解析】【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用两点间的距离即可求出AB、BC的值；（4）将（3）的结论代入3BC-AB中，可得出3BC-AB为定值16，此题得解．【详解】（1）∵是最大的负整数，且满足，∴，，，∴，．故答案为：-3；-1；5．（2）．故答案为：3．（3）t