初中数学七年级上册《1.5有理数的乘方》课件（二）

有理数的乘方乘方有理数的乘方的意义内容乘方的定义求n个相同因数的积的运算，叫作乘方与乘方有关的概念幂：乘方的结果叫作幂底数：在an中，a叫作底数指数：在an中，n叫作指数巧记乐背同因数相乘化乘方，因数来把底数当，因数个数是指数，底为负（数）分（数）要括上.（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，如3就是31，m就是m1，通常指数1省略不写；（2）指数是2时也读作平方，指数是3时也读作立方，如a2读作a的平方，a3读作a的立方.注意乘方就是几个相同的因数相乘，因此可以利用有理数的乘法运算来进行乘方运算.根据乘方的意义可知，我们现在所学的乘方中，其指数都是正整数.例1填空：（1)（-9)7的底数是_______,指数是_______，可读作______________或______________，它表示______________，-97的底数是_______，指数是_______，可读作_____________________，它表示____________________________.（2）把写成乘方的形式为_______.-97-9的7次方-9的7次幂7个-9相乘979的7次方的相反数-（9×9×9×9×9×9×9×9）本题的切入点是有理数乘方的概念，乘方根据定义确定底数和指数，非乘方形式的先写成乘方形式.有理数的乘方运算内容乘方的符号法则负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数0的任何正整数次幂都是0乘方运算的一般步骤先根据乘方的符号法则确定乘方的符号；计算乘方的绝对值（1）任何非零数的偶次幂都是非负数，奇次幂没有这样的性质.（2）互为相反数的两个非零数的同一奇次幂仍互为相反数，同一偶次幂相等.（3）1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是-1.例2计算：（1）34；（2）（3）-（-4）3；（4）（5）（-1）2015.解：（1）34=3×3×3×3=81.（3）-（-4）3=-［（-4）×（-4）×（-4）］=64.（5）（-1）2015=-1.先将有理数的乘方运算转化为有理数的乘法运算，再根据有理数的乘法法则，求得结果.有理数的混合运算内容有理数的混合运算顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行；（3）如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行巧记乐背混合运算分三级，运算顺序按高低；乘方乘除再加减，若有括号优先算.在有理数的混合运算过程中，通常将带分数化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算，另外有些运算可以同时进行，以简化运算.注意有理数的混合运算是我们所学过的加减运算、乘除运算、乘方运算的综合，因此每步运算都要按照相应的运算法则先确定符号，再求其绝对值.例3计算：（1）在有理数的混合运算中，同一道题可能有多种解法，但解题思路大致相同，即先乘方，再乘除，最后加减.如有括号，先进行括号内的运算.用字母表示数时，书写不规范而出错不能正确理解乘方的意义而导致计算错误例4计算：（1）43；（2）-32；（3）解：（1）43=4×4×4=64.（2）-32=-（3×3）=-9.易将第（1）小题和乘法混淆，而得到错解：43=4×3；对于第（2）小题易将-32误以为是（-3）2，而得到错解：-32=(-3)×(-3)=9；对于第（3）小题易将

误以为

为底数，而得到错解:

=-

×

=

计算带分数的乘方时出错例5计算：当幂的底数是带分数时，没有先将带分数化为假分数，而得到错解：原式=题型一巧用乘方的意义简化运算例6计算下列各题：（2）82017×0.1252016.题型二运用乘方解决实际问题例7当你把一张纸对折1次时，可以得到2层，当对折2次时，可以得到4层，当对折3次时，可以得到8层，按这种方式折下去.（1）你能发现层数和折纸的次数有什么关系吗？（2）当你对折6次时，纸的层数是多少？（3）如果每张纸的厚度是0.15mm,求对折5次时，纸的总厚度是多少.解：（1)设折纸的次数是n，则折得的层数是2n.（2）当对折6次时，n=6，纸的层数为26＝64.（3）当对折5次时，纸的总厚度为0.15×25＝4.8（mm）.题型三运用运算律简化有理数的混合运算例8计算：题型四乘方与有理数的相反数、绝对值等知识的综合运用例9已知|a|=3，|b|=2，且a＜b，c的相反数是其本身，求（a+b+c）3的值．思路导图根据|a|=3，|b|=2,且a<b,求出a,b的值将a,b,c的值代入式子，分类计算求解根据c的相反数是其本身，求出c=0解：因为|a|=3，|b|=2,所以a=±3，b＝±2.又因为a＜b，所以a=-3，b=±2.又因为c的相反数是其本身，所以c=0.所以（a+b+c）3=（-3+2+0）3=-1或（a+b+c）3=（-3-2+0）3=（-5）3=-125．题型五乘方的规律探究题例10观察下列各式：13+23=9=×4×9=×22×32；13+23+33=36=×9×16=×32×42；13+23+33+43=100=×16×25=×42×52；……（1）若n为正整数，试猜想13+23+33+43+…+n3的值；（2）利用（1）的结论来比较13+23+33+…+1003与（-5000）2的大小.解：（1）13+23+33+43+…+n3=n2（n+1)2.（2）根据规律可知13+23+33+…+1003=×1002×1012=5000×＞5

000×5

000，因此13+23+33+…+1003＞（-5000）2.解读中考：本节内容在中考中的考点主要有：（1）乘方的意义与计算，题型有选择题和填空题，一般比较简单；（2）有理数的混合运算，多与实数、三角函数（后面学习）等知识综合考查，有时也会以简单的解答题的形式出现.解析：（-2）3=（-2）×（-2）×（-2）=-8．例11（贵州黔西南中考）计算-42的结果等于（）A．-8B．-16C．16D．8解析：乘方就是求几个相同因数的积的运算，-42=-（4×4）=-16．故选B.B例12（江苏镇江中考）计算：（-2）3=__________．-8考点一有理数的乘方运算例13（浙江舟山中考）13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（）A．42B．49C．76D．77解析：根据题意，得刀鞘数为76．故选C.C考点二有理数乘方运算的实际应用例14（福建厦门中考）计算：10+8×-2÷解：原式=10+8×-2×5=10+2-10=2.考点三有理数的混合运算例15（湖北宜昌中考）计算：（-2）2×解：（-2）2×=4×=4×1-=4-3=1.科学记数法科学记数法内容科学记数法把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法.对于小于-10的数也可以类似表示内容知识解读（1）用科学记数法表示数只是改变数的形式，而没有改变数的大小；（2）负数用科学记数法表示时和正数一样，区别就是前面多一个“-”；（3）当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把10n去掉巧记乐背科学记数方法新，形为a乘10的n次幂，a的整数位只一个，整数位数减1即为n.科学记数法中a和n的确定（1）确定a时，要根据科学记数法的规定，使它为只含有一位整数的数（即1≤|a|<10).（2）确定n一般有两种方法:（方法一）利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位数减1，如3500是一个四位整数,则n=3；（方法二）看小数点移动的位数,小数点向左移动了几位，n就等于几，如从3500到3.5，小数点向左移动了3位，故n=3.例1用科学记数法表示下列各数：（1）2730；（2）7531000；（3）-830000．解：（1）2730=2.73×103.（2）7531000=7.531×106.（3）-830000=-8.3×105．科学记数法的形式为a×10n,其中1≤｜a｜<10，n为正整数，且n为这个数的整数位数减1.解：（1）1×106=1000000.（2）3.14×103=3140.（3）-1.732×107=-17320000.例2下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？（1）1×106；（2）3.14×103；（3）-1.732×107.把用科学记数法表示的数转化成原数时，关键是确定小数点移动的位数.用科学记数法表示负数时，漏掉负号而出错例3用科学记数法表示数-430000.解：-430000=-4.3×105.本题易忽略负号，而得到错解：-430000=4.3×105.带单位的数用科学记数法表示时，忘掉单位而出错例4森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.将28.3亿吨用科学记数法表示为__________吨.解析：28.3亿吨=2830000000吨=2.83×109吨.2.83×109本题忽略单位“亿吨”，得到错解：2.83×10.题型一用科学记数法表示生活中的大数例5某市2017年预计建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（）A．14×104B．1.4×105C．1.4×106D．0.14×106解析：140000的整数位数是6，所以在a×10n中，a的值为1.4,n的值为6-1=5.故选B.B题型二用科学记数法表示带单位的数例6我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．它位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约960万平方千米，这个数据用科学记数法可表示为____________平方千米．解析：因为960万平方千米=9600000平方千米，所以这个数据用科学记数法可表示为9.6×106平方千米.9.6×106题型三科学记数法的应用例7光在真空中的传播速度约为3×105km/s（即每秒3×105km），天文学上常用光年作距离的单位，光年就是光在1年（按365天计算）内在真空中走过的路程，1光年约等于多少千米？（用科学记数法表示）思路导图根据路程=速度×时间列式并计算结果将该结果用科学记数法表示解：1年=365×24×3600（s），365×24×3600×3×105=9.4608×1012（km).答：1光年约等于9.4608×1012km.方法点拨在光的传播速度、天体运行等问题中，所接触的数据都比较大，如果用科学记数法表示这些较大的数据并参与运算，将会很方便地解决一些实际问题.题型四比较用科学记数法表示的数的大小例8把9.99×109,1.01×1010，9.9×109，1.1×1010用“<”连接起来.思路导图观察这四个数，有两个数中10的指数是10，有两个数中10的指数是9

先将指数相同的分别进行比较，再确定这四个数的大小解：因为1.1×1010>1.01×1010，9.99×109>9.9×109，1.01×1010=10.1×109>9.99×109,所以上述四个数中，1.1×1010是最大的，9.9×109是最小的，剩下的两个数中，1.01×1010>9.99×109,所以9.9×109<9.99×109<1.01×1010<1.1×1010.方法点拨比较用科学记数法表示的两个数a1×10n1与a2×10n2（1≤a1<10,1≤a2<10,n1，n2均为正整数)的大小时，关键是看n1与n2的大小：当n1>n2（或n1<n2)时，可知a1×10n1>a2×10n2（或a1×10n1<a2×10n2)；当n1=n2时，需看a1与a2的大小，若a1>a2（或a1<a2)，则a1×10n1>a2×10n2（或a1×10n1<a2×10n2).解读中考：本节内容在中考中多以具有时代特色和地方特色的材料为背景命题，题型以选择题和填空题为主.例9（贵州安顺中考）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将4400000000用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109

C．4.4×108D．4.4×1010解析：4400000000=4.4×109.故选B.B考点一用科学记数法表示绝对值较大的数例10（湖南邵阳中考）2015年7月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将3386×1013用科学记数法表示成a×10n的形式，则n的_____________．解析：3386×1013=3.386×1016，则n=16．16核心素养例11铁路部门消息：2017年“端午节”小长假期间，全国铁路客流量达到4640万人次，将4640万用科学记数法可表示为（）A.0.464×109B.4.64×108C.4.64×107D.46.4×106解析：4640万=46400000=4.64×107.故选C.C例12如果一个数是a×10n,另一个数是b×10n+1,其中1≤|a|<10,1≤|b|<10,且a,b同号，那么称这两个数差一个数量级.现在知道太阳的半径长约为695500km，地球的半径长约为6400km，那么695500与6400差几个数量级？分析：解决此问题的关键是要理解题中所给新定义“一个数量级”的意义.由题目中的已知条件可知，两个数差“一个数量级”时，这两个数写成科学记数法的形式后，10的指数相差1，所以将题目中的两个数都先写成科学记数法的形式，再比较10的指数相差几，就是差几个数量级.解：695500=6.55×105,6400=6.4×103.因为5-3=2，所以这两个数差两个数量级.近似数准确数与近似数概念示例准确数确切地反映了实际的数我们学校有3个年级，约270人.其中3是一个准确数，270是一个近似数知识解读在判断准确数时，很多情况下都要依靠实际生活经验近似数与实际数接近，但有差别的数注意判断一个数是准确数还是近似数，就是看这个数是确切反映了真实数据还是接近于真实数据，前者是准确数，后者是近似数.

有关近似数的几点说明近似数不是错误数，它在现实生活中大量存在.近似数产生的原因一般有三种：第一，测量得到的数都是近似数；第二，“计算”产生的近似数，如除不尽，有圆周率π参与计算的结果等；第三，不容易或不必要得到准确数时，可以使用近似数.例1下列问题出现的数，哪些是准确数？哪些是近似数？（1）某中学七年级有897人；（2）李华的身高约为1.6m；（3）一本书共有256页；（4）公园门口每天经过大约30000辆车；（5）今天的平均气温约是28℃.解：（1）（3）中给出的数是准确数；（2）（4）（5）中给出的数是近似数.判断一个数是准确数还是近似数的关键在于判断这个数在实际问题中是否可以准确得到.若出现“接近于”“约为”等字眼，即为近似数.根据精确度取近似数叙述近似数的精确度近似数与精确数的接近程度，可用精确度表示.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位知识解读（1）精确度的语言表达：精确到某一位.精确到小数点后第二位、精确到百分位与精确到0.01这三种说法含义一样.（2）按照精确度确定的近似数的末位数字如果是0，不能随便去掉，如1.8和1.80的精确度不同，1.8是精确到0.1,而1.80是精确到0.01巧记乐背知近似数求精确度，要看原数的最后一个数字，所在数位是精确度；知精确度求近似数，找到相应的那位数，其后数字四舍五入.（1）确定一个近似数的精确度的方法：一个近似数的最后一个数字所在的数位便是该近似数精确到的数位；（2）根据精确度求一个近似数的方法：先分析题目要求的精确度是哪一位，再对这个数位的下一数位上的数字进行四舍五入.例2按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：（1）1.5982（精确到0.01）；（2）3.3074（精确到个位）；（3）26074（精确到千位）.解：（1）1.5982≈1.60.（2）3.3074≈3.（3）26074≈2.6×104.当近似数后有单位时，确定精确度时容易出现错误例3近似数0.0043万精确到_______位.个本题易忽略了0.0043后面还有单位“万”，仅根据0.0043就确定“3”的位置是万分位.对实际问题中取近似数的方法理解不透解：因为77÷4=19.25，所以至少需要20辆这样的卡车才能一次运完这些沙子.例4一辆卡车最多能装4t沙子，现有沙子77t,至少需要多少辆这样的卡车才能一次运完这些沙子？本题易出现错解：“因为77÷4=19.25，所以至少需要19辆这样的卡车才能一次运完这些沙子.”事实上，有些实际问题根据题意应采用“去尾法”或“进一法”来取近似数.题型一判断一个近似数的精确度例5下列近似数分别精确到哪一位？（1）0.6370；（2）3.61万；（3）6.0×105.解：（1）0.6370精确到万分位.（2）3.61万=36100，原数的最后一个数字1所在数位是百位，所以3.61万精确到百位.（3）6.0×105=600000，原数的最后一个数字0所在数位是万位，所以6.0×105精确到万位.方法点拨在求一个近似数的精确度时，要注意（2）（3）这两种情况.在这两种情况中，应该先把它们还原为一般形式，再看原数的最后一个数字在哪一位,即精确到那一位.题型二确定近似数的取值范围例6李飞的身高经测量约1.71米，若李飞的实际身高记为x，则他的实际身高范围为（）A．1.7≤x≤1.8B．1.705＜x＜1.715C．1.705≤x＜1.715D．1.705≤x≤1.715解析：近似数1.71精确到百分位，就是将千分位上的数字四舍五入得到的.若千分位上的数字大于或等于5，则百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字是“7”；若千分位上的数字小于5，则百分位上的数字应是“1”，十分位上的数字是“7”，故他的实际身高范围为1.705≤x<1.715.故选C.C题型三根据实际需要灵活选取近似值例7（1)制作某个框架需要长度为60cm的圆钢若干根，现有一段长度是4m的圆钢，则这根圆钢最多能截成多少根符合要求的圆钢？（2)现有734kg的大米需要分袋包装,如果每个袋子可装10k