概率论第一章复习习题课

第一章：习题课1阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算。2给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性质。3给出了古典概率的定义及其计算公式。4给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。5给出了随机事件独立性的概念，会利用事件独立性进行概率计算。第一章

小结返回主目录1阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算。要求：理解第一章习题课返回主目录10

包含关系20

和事件30积事件40

差事件50

互不相容60

对立（互逆）事件返回主目录“A发生必然导致B发生”

“A，B中至少有一发生”

“A与B同时发生”

“A发生但B不发生”“A与B不能同时发生”

事件间的关系与运算举例；返回主目录“A，B，C中至少有一发生”：“A，B，C中至少有两发生”：“A，B，C中最多有一发生”：DeMorgan定律:随机事件的运算规律第一章习题课2给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性质。要求熟练掌握概率的基本性质：返回主目录（非负性）（正则性或正规性）（可列可加性）（1）概率的（公理化）定义第一章习题课返回主目录（有限可加性）（包含可减性）（非降性）（逆事件的概率公式）（2）概率的性质与推广（加法公式）第一章习题课返回主目录（加法公式）重要推广常用公式第一章习题课特点是：

样本空间的元素只有有限个；(有限性)

每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）3．等可能概型（古典概型）等可能概型返回主目录随机事件的概率:第一章习题课二、缩小样本空间法--------适用于古典概型返回主目录一、公式法

设事件A所含样本点数为,事件AB所含样本点数为,则4给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。要求掌握：（1）条件概率的定义、计算公式：第一章习题课返回主目录（2）乘法公式（3）全概率公式（已知原因，求结果）第一章习题课返回主目录（4）Bayes（逆概）公式：（已知结果，求原因）第一章习题课（1）两事件独立的定义

若随机事件A与B相互独立，则（2）两事件独立性的性质：事件A与B相互独立的充分必要条件为：返回主目录5给出了随机事件独立性的概念，会利用事件独立性进行概率计算。也相互独立.第一章习题课返回主目录注意1：两事件相互独立与互不相容的区别：“A与B互不相容”，指两事件不能同时发生，即P（AB）=0。“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．第一章习题课注意2：设事件A与B满足：即：若事件A与B相互独立，则AB≠Φ；若AB=Φ，则事件A与B不相互独立。．返回主目录则互不相容与相互独立不能同时成立。（3）三个事件的独立性第一章习题课2、三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果则称A、B、C是相互独立的随机事件．第一章习题课注意3：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立不能推出第四等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．注意54三个事件相互独立的性质：若A，B，C是相互独立的三个事件，则第一章习题课（4）n个事件的相互独立性第一章习题课n重Bernoulli试验中恰好成功k次的概率

而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知样本点§5

n重贝努里概型例1已知A、B、C是三个两两独立的事件，且则解第一章习题课例2又故解之得已知A、B是两事件，且则第一章习题课解知故由从而（A、B独立）第一章习题课则例3已知解第一章习题课则例4已知A、B独立，第一章习题课例5

在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”，B为“取到的整数能被8整除”，则所求的概率为：为：6，12，18…1998共333个，所以能被6整除的整数第一章概率论的基本概念等可能概型AB

为“既被6整除又被8整除”或“能被24整除”于是所求的概率为：其中B={8,16,…2000},AB={24,48…1992}，第一章概率论的基本概念等可能概型例5袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．解：设：B={取出的球全是白球}则由Bayes公式，得第一章概率论的基本概念§3条件概率例5（续）第一章概率论的基本概念§3条件概率

有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率；（3）已知第一次取到的零件是一等品，求它是第一箱的零件的概率；例3全概率公式和贝叶斯公式第一章习题课

解：设Ai

表示“第i次取到一等品”(i=1,2)，Bi

(i=1,2)表示“取到的是第i箱中的产品”,全概率公式和贝叶斯公式例3（续）1）由全概率公式，有第一章习题课例3（续）2）由全概率公式和条件概率公式，有3）由贝叶斯公式，有第一章习题课例

4三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若有一门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为0.9．试求目标被摧毁的概率．解：设：B={目标被摧毁}第一章概率论的基本概念§1-6独立性由全概率公式，得而第一章概率论的基本概念§1-6独立性所以第一章概率论的基本概念§1-6独立性例5（配对问题）

某人写了n封不同的信，欲寄往n个不同的地址。现将这n封信随机的插入n只具有不同通信地址的信封里，求至少有一封信插对信封的概率。-----加法公式的应用问题解设：=“第封信插对信封”B=“至少有一封信插对信封”则第一章习题课例5(续）第一章习题课例5(续）第一章习题课例6（可列可加性的应用问题）

设有甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击，甲的命中率为，乙的命中率为，甲先射，谁先命中谁得胜。试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。第一章习题课设=“轮流射击,第次射中，前次未中”则表示“甲在第次才射中”解：且两两互不相容。设=“甲获胜”，则设=“第次射中”，则且相互独立，例6（续）第一章习题课例

7设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一件，有放回地取n次．试求取出的n件产品中恰有k件次品的概率．解：

B={取出的n件产品中恰有k件次品}

每取一次只有两种结果：因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验

n重贝努里概型例

7（续）并且，因此，有放回地取n件产品可看作是一个n重Bernoulli试验．由前面的讨论，可知

n重贝努里概型例

8某病的自然痊愈率为0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给10个病人服用，如果这10病人中至少有4个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：⑴新药有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率．⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率．

n重贝努里概型例

8（续）

给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验．⑴若新药有效，则此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈．因此n重贝努里概型解：例

8（续）⑵由于新药无效，则

此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈．因此

n重贝努里概型

例9

要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为0.01。如果这件乐器中恰有4件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？纯、纯、纯纯、纯、纯接受ppp不纯、纯、纯q纯、纯、纯接受ppH1：H0：H2：p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05解：以Hi

(i=0,1,2,3)表示事件“随机取出的3

件乐器中恰有

i件音色不纯”，以A

表示事件“这批乐器被接受”，即3

件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得：不纯、纯、不纯q纯、纯、纯接受pq不纯、不纯、不纯q纯、纯、纯接受qqH3：p=1-0.01=0.99,