专题12 应用一元二次方程之九大考点(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程,图标信息问题)(解析版)

专题12应用一元二次方程之九大考点(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程,图标信息问题)【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的应用--传播问题】 1【考点二一元二次方程的应用--增长率问题】 3【考点三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 4【考点四一元二次方程的应用--数字问题】 7【考点五一元二次方程的应用--营销问题】 8【考点六一元二次方程的应用--动态几何问题】 10【考点七一元二次方程的应用--工程问题】 14【考点八一元二次方程的应用--行程问题】 16【考点九一元二次方程的应用--图表信息问题】 18【过关检测】 20【典型例题】【考点一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平均一个人传染个人，有一个人患流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，根据题意可得：，整理得：，故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是得到两轮传染数量关系，从而可列出方程求解．【变式训练】1．（2023秋·广东肇庆·九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是【答案】【分析】设参加活动的同学有人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为张，再根据“共送贺卡张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有人，由题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）有一个人患了流感，经过两轮感染后共有81个人患了流感．(1)求每轮感染中平均一个人会传染了几个人？(2)如果按这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？【答案】(1)8人(2)729人【分析】（1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感列出方程求解即可；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人会传染x个人，依题意可得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会传染了8个人．（2）解：第三轮的患病人数为：（人）．答：三轮感染后，共有729人患流感．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列式计算等知识点，读懂题意、设出合适的未知数、找出等量关系，列方程求解是解答本题的关键．【考点二一元二次方程的应用--增长率问题】例题：（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．【答案】【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：．解得：，（不符合题意，舍去），故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．【变式训练】1．（2023·山西太原·校联考三模）春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，这两周参观人数的平均增长率为．

【答案】【分析】设这两周参观人数的平均增长率为x，根据今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设这两周参观人数的平均增长率为x，则由题意可得，，解得（不合题意，舍去），∴这两周参观人数的平均增长率为，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的相关知识是解题的关键．2．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．【考点三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为____米．【答案】1【分析】设小道的宽为米，则剩下部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据“剩下部分种植蔬菜，种植蔬菜的面积为171平方米”，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设小道的宽为米，则剩下部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），小道的宽为1米．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级假期作业）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用

总长45米的木栏围成．中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门．设长x米．(1)求的长度(用含x的代数式表示)．(2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值．【答案】(1)米(2)米．【分析】（1）由得，再由即可得出答案；（2）根据矩形的面积等于长×宽建立方程，求解并检验即可．【详解】（1）解：如图，∴∴即长度为米．（2）解：由题意知，解得，又∵，且∴，∴米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的求解及一元一次不等组的求解；根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解作合理取舍是解题的关键．2．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长；(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BC的长为4米(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析【分析】（1）设的长度为x米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．【详解】（1）解：设的长度为x米，则的长度为米，根据题意得：，整理得：，解得：．

∵，∴舍去．答：的长为4米．（2）不能围成，理由如下：

当时，

整理得，

∴该方程无实数根，∴不能围成面积为75平方米的花圃．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．【考点四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为25或36．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________．【答案】或【分析】已知设其中的一个奇数为，且设其中的一个奇数为，分两种情况讨论：若为较小的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程；若为较大的奇数，则另一个奇数为，即可列出方程，即可正确解答．【详解】①若为较小的奇数，则另一个奇数为，∵两个连续奇数的积为323，∴；②若为较大的奇数，则另一个奇数为，∴；故答案为：或【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【考点五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价元，由题意列方程得：，解得：或，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程求解即可；（2）设每件商品应降价元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得，（不符合题意，舍去）．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，两次下降的百分率为；（2）解：设每天要想获得512元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价元，由题意，得，解得：．答：要使商场每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，列出方程，解答即可．2．（2023春·八年级单元测试）在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．【答案】(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为(2)下调后每辆汽车的售价为21万元【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：，解得：（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：解得：，∵尽量让利于顾客，∴；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【考点六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？

【答案】2秒【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为，由题意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：经过2秒，的面积为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·上海·八年级专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．【答案】【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可．【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，依题意可得，解得：，即长为．故长为时，平行四边形的面积等于．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键．2．（2023春·八年级单元测试）等边，边长为，点P从点C出发以向点B运动，同时点Q以向点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，

(1)求当为直角三角形时的时间；(2)的面积能否为，若存在求时间，若不存在请说明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根据题意有，，即，即可得，分当为直角三角形,且时和当为直角三角形,且时，两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）过Q点作于点M，先求出，即有，进而有，即，令，可得，解方程即可求解．【详解】（1）根据题意有，，即，∵，∴，当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，∴，∴，∴，解得：；当为直角三角形,且时，如图，

∵等边中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值为或者；（2）存在，理由如下：过Q点作于点M，如图，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．【考点七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【考点八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是__．【答案】【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．根据以上信息，解答下列问题：(1)小明每分钟跑多少米？(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．【答案】(1)480米(2)70分钟【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；（2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，由题意得：，解得：，经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，则，答：小明每分钟跑480米．（2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：小明从地到地锻炼共用70分钟．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．【考点九一元二次方程的应用--图表信息问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）根据绍兴市某风景区的旅游信息：旅游人数收费标准不超过30人人均收费80元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司参加这次旅游的员工有40人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．（1）当时，请直接写出的值；（2）当时，求的值．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得．【详解】解：（1）由题意可得：，，则或，解得或；（2）由题意得：，，，整理得：，∴，则或，解得或，或．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解题意得出与之间关系是解题关键．【过关检测】一、选择题1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，．即故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．2．（2023春·山东济南·八年级统考期末）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每天票房的增长率为，根据题意得：．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023·上海·八年级假期作业）某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．【详解】解：设每件衬衫应降价元．根据题意，得：，整理，得，解得，．“增加盈利，减少库存”，应舍去，．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键．4．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）建造一个面积为的仓库，设仓库与墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】分别表示地处仓库的长和宽，然后根据长方形的面积计算方法列出方程即可．【详解】解：设仓库与墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为，由题意得，，故选B．【点睛】查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出垂直与墙的边长，难度不大．．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题6．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是．【答案】10【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，根据题意得：，解得：（不合题意，舍去），即该学习小组有10名成员．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．【答案】23【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．【详解】解：设原两位数的十位数字为x，根据题意得：∴，解得：，（不符合题意舍去）答：这个两位数为23，故答案为23．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．8．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）书香相伴，香满校园，某校学生9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，如果每月借阅图书数量的增长率相同，设这个增长率为x，那么根据题意可列方程为．【答案】【分析】根据9月份借阅图书500本，11月份借阅图书845本，列出方程即可．【详解】解：设这个增长率为x，由题意，得：；故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．9．（2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价元．【答案】10【分析】设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解．【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据题意得：，解得：，．要尽快减少库存，．故每件应降价10元．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2023·上海·八年级假期作业）如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，秒后，的面积为．【答案】或7或【分析】当运动时间为t秒时，，根据的面积为，列出关于t的一元二次方程求解即可．【详解】解：当运动时间为t秒时，，根据题意得：，∴，∴．当时，，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）；当时，，整理得：，解得：；当时，，整理得：，解得：（不符合题意，舍去），．综上所述，或7或秒后，的面积为．故答案为：或7或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三、解答题11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数．(1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）；(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案；（2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为故答案为：（2）设四个数中，最小数为，根据题意，得.解得（不符合题意负值舍去）答：这个最小值为9.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）2019年以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病，(1)在新冠初期，因为人们不了解病毒而没发现也没隔离，所以1人感染后经过两轮传染共有144人感染了“新冠”，那么每轮传染后平均一个人传染了几个人？(2)后来，大家众志成城，全都隔离在家，玲玲爷爷种的糖心苹果遇到滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可卖出80斤，而每涨（降）1元时，每天就少（多）卖出20斤．如果每天要达到100元的利润而且又最大限度地增加销量，请帮玲玲确定销售单价．【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了11人(2)小玲应该将售价定为5元【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出斤，根据总利润=每斤的利润×销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人，依题意，得：，即解得：（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了11人；（2）设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出斤，依题意，得：，整理，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：小玲应该将售价定为5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米．该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长x米．

(1)写出的长（用含x的代数式表示）．(2)若饲养场的面积为平方米，求x的值．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）用（总长个1米的门的宽度）即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可．【详解】（1）解：如图，∵，∴，∴，即长度为米；（2）解：由题意知，，解得，，又∵，且，∴，∴（米）．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．14．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．(1)求月增长率r；(2)经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】(1)(2)50【分析】（1）根据5月份销售量3月份销售量建立方程，解方程即可得；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，从而可得月销售量，再根据利润（实际售价进价）月销售量建立方程，解方程即可得．【详解】（1）解：由题意得：，解得或（不符合题意，舍去），答：月增长率为．（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），由题意得：，解得或，要尽可能让顾客得到实惠，，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．15．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，