2022甘肃省兰州市中考数学试卷

2022年甘肃省兰州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（3分）（2022•兰州）计算："=（）

A.±2B.2C.±V2D.V2

2.（3分）（2022•兰州）如图，直线a〃匕,直线c与直线a,。分别相交于点A,B,AC-Lb,

垂足为C.若Nl=52°,则N2=（）

C.38°D.26°

3.（3分）（2022•兰州）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔

贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（）

4.（3分）（2022•兰州）计算：（x+2y）?=（）

A./+4与叶4/B.x^+lxy+Ay2C./+4xy4*2）2D.

5.（3分）（2022•兰州）如图，△ABC内接于。。,CO是。。的直径，NAC£>=40°,则

NB=（）

A

A.70°B.60°C.50°D.40°

6.（3分）（2022•兰州）若一次函数y=2x+l的图象经过点（-3,yi）,（4,”），则》与

yi的大小关系是（）

A.yi<j2B.y\>y2C.yiW”D.yi^y2

7.（3分）（2022•兰州）关于x的一元二次方程^1=0有两个相等的实数根，则k=

（）

A.-2B.-1C.0D.1

AB1

8.（3分）（2022•兰州）已知=—，若BC=2,则石尸=（)

DE2

A.4B.6C.8D.16

9.（3分）（2022♦兰州）无色酚酥溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，

通常情况下酚猷溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5

瓶缺失标签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将

酚配试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.—

5555

10.（3分）（2022♦兰州）如图，菱形A5CQ的对角线AC与相交于点O,七为AQ的中

11.（3分）（2022•兰州）已知二次函数y=2?-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,

x的取值范围是（）

A.x<IB.x>1C.x<2D.x>2

12.（3分）（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该

展板的部分示意图如图2所示，它是以。为圆心，OA,。8长分别为半径，圆心角N。

=120°形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,则阴影部分的面积为（）

I枷F叫IU6K

A4

普、、-%

A.4.25m??2B.3.25n/w2C.311m2D.2.25nm2

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分,共12分）

13.（3分）（2022•兰州）因式分解：a2-16=

14.（3分）（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系,

如果白塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）,那么黄河母亲像的坐标

是

塔山公园

k亲

黄河像

中1U桥

15.（3分）（2022•兰州）如图，在矩形纸片A8CD中，点E在边上，将△CDE沿。E

则AB=cm.

E

16.（3分）（2022•兰州）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某

种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计

成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000

幼树移植成活数878934485722489831344318044

（棵）

幼树移植成活的频0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.（结果精确到0.1）

三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.（4分）（2022•兰州）解不等式:2（x-3）<8.

18.（4分）（2022•兰州）计算：（l+j）+空区.

19.（4分）（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，

AB=AE,AC^AD,ZBAD^ZEAC,ZC=50°,求NO的大小.

20.（6分）（2022•兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭A8的高度，他先在水平地面点E

处用高1.5w的测角仪OE测得/AOC=31°,然后沿EB方向向前走3m到达点G处，

在点G处用高15"的测角仪尸G测得NAFC=42°.求凉亭AB的高度.（A,C,B三

点共线,ABA.BE,ACLCD,CD=BE,BC=DE.结果精确到O.bn）

（参考数据：sin310弋0.52,cos31°々0.86,tan31°弋0.60,sin420弋0.67,cos42°弋

0.74,tan42°«=0.90）

21.（6分）（2022•兰州）人口问题是“国之大者”，党中央高度重视人口问题，准确把握人

口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征

程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件.某综合与实践研究小组根据我国第七

次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成6组：0WxV20,20Wx<40,40Wx<60,60Wx<80,80Wx<100,lOOWx

W120)

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40WxV60

这一组的数据是：58,47,45,40,43,42,50；

信息三：2010-2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为百万人.

（2）下列结论正确的是.（只填序号）

①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低.

（3）请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结

合变化趋势谈谈自己的看法.

二|全国大陆

*—口然增长

020406080100120人口数/百万人

22.（6分）（2022•兰州）综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一此几何作图方法，如侯马铸铜遗址

出土车雪（wei）范、芯组成的铸型（如图1）,它的端面是圆形.如图2是用“矩”（带

直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC,

在圆上标记A,B,C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A,B点上，“矩”的另

一条边与的交点标记为。点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,。四点,

连接AD,BC相交于点O,即。为圆心.

B

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图

确定圆心。.如图3,点A,B,C在。0上，ABLAC,KAB=AC,请作出圆心0.（保

留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心

的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心0.如图4,点A,B,

C在。。上，AB1AC,请作出圆心0.（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，

用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是。0上任意

三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心0.（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确

定圆心的理由：.

B

图3图4图5

23.（6分）（2022•兰州）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,M

为AB边上一动点，BN工CM,垂足为N.设A,M两点间的距离为xaa（0WxW5）,B,

N两点间的距离为yes（当点M和8点重合时，B,N两点间的距离为0）.

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

（1）列表：下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别

得到了y与x的几组对应值:

xlcm00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

请你通过计算，补全表格：«=；

(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(无，y),并画

出函数y关于x的图象；

1I--------1-------f--------1-------1

।।।।।

IIIII»

01~2~3~4~□x

(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；

(4)解决问题：当BN=2AM时，AM的长度大约是cm.(结果保留两位小数)

24.(6分)(2022•兰州)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1

是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离x(〃?)

之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为3m当水平距离为3机时，实心球行

3

进至最高点,im处.

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从

起点到落地点的水平距离大于等于6.70加，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考

试中是否得满分，请说明理由.

图1图2

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

25.(6分)(2022•兰州)如图，点A在反比例函数y=[(x>0)的图象上，ABL轴，垂

足为B(3,0),过C(5,0)作C£)_Lx轴，交过8点的一次函数y=|x+b的图象于O

点，交反比例函数的图象于E点，SAAOB=3.

(1)求反比例函数y=[(x>0)和一次函数y=|x+6的表达式；

26.(7分)(2022•兰州)如图,是△ABC的外接圆,A8是直径，ODLOC,连接AD,

ZADO=NBOC,AC与OD相交于点E.

(1)求证：是。。的切线；

1a

(2)若tanNOAC=*,AD=^,求。。的半径.

D

27.（8分）（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a,b）是第一象限内一点，给出如下定

义：心=f和k2=擀两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”火.

（1）求点尸（6,2）的“倾斜系数”k的值；

（2）①若点P（«,b）的“倾斜系数”上=2,请写出“和6的数量关系，并说明理由；

②若点P（a,b）的''倾斜系数"k=2,且a+人=3,求。尸的长；

（3）如图，边长为2的正方形438沿直线AC：y=x运动，P（a,b）是正方形A8C£>

上任意一点，且点P的“倾斜系数”％《后，请直接写出“的取值范围.

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形A8CQ中，E是3c的中点，AE

LEP,EP与正方形的外角/OCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系，并

加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，

解答老师提出的问题.

【实践探究】

(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形

ABCO中，E为BC边上一动点(点E,B不重合)，ZVIEP是等腰直角三角形，NAEP

=90°,连接CP,可以求出/。CP的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

(3)突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在

正方形A8C。中，E为BC边上一动点(点E,8不重合)，△?1£：「是等腰直角三角形，

ZAEP=90°,连接。P.知道正方形的边长时，可以求出△AOP周长的最小值.当AB

=4时，请你求出△AOP周长的最小值.

图3

图1图2

2022年甘肃省兰州市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.（3分）（2022•兰州）计算：V4=（）

A.±2B.2C.±V2D.V2

【分析】利用算术平方根的性质求解.

解：V4=V22=2.

故选：B.

【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键.

2.（3分）（2022•兰州）如图，直线a〃＞直线c与直线”，b分别相交于点A,B,4cLb,

垂足为C.若/1=52°,则/2=（）

A.52°B.45°C.38°D.26°

【分析】根据平行线的性质可得NABC=52°,根据垂直定义可得NAC8=90°,然后

利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答.

解：'：a//b,

.•./1=/A8C=52°,

,：ACLb,

：.ZACB=90°,

：.N2=90°-NABC=38°,

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3.（3分）（2022•兰州）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔

贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（）

【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为

轴对称图形.

解：4不能沿一条直线折叠完全重合；

B.不能沿一条直线折叠完全重合；

C.不能沿一条直线折叠完全重合；

D.能够沿一条直线折叠完全重合；

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选

项作出正确判断.

4.（3分）（2022•兰州）计算：（x+2y）2=（）

A.7+4彳）44/B.f+2%），+4y2C.，+4xy+2）2D.7+4，

【分析】利用完全平方公式计算即可.

解：（x+2y）2—x1+4xy+4yi.

故选：A.

【点评】本题考查了完全平方公式：（a+b）2=a2±2ah+b1.

5.（3分）（2022•兰州）如图，/XABC内接于。0,CD是的直径，NAC£>=40°,则

NB=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】由CO是OO的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出NC4O=90°,根

据直角三角形两锐角互余得到N4CO与ND互余，即可求得NO的度数，继而求得N8

的度数.

解：是。。的直径，

AZCAD=90°,

AZACD+ZD=90°,

VZACD=40Q,

.•./AZ）C=NB=50°.

故选：C.

【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不

大，注意掌握数形结合思想的应用.

6.（3分）（2022•兰州）若一次函数y=2x+l的图象经过点（-3,yi）,（4,”），则》与

yi的大小关系是（）

A.yi<y2B.C.“W”D.yie），2

【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3V4即可得出结论.

解：•.,一次函数y=2r+l中，k=2>0,

.♦.），随着x的增大而增大.

•••点（-3,%）和（4,”）是一次函数y=2x+l图象上的两个点，-3V4,

.'.yi<y2.

故选：A.

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解

答此题的关键.

7.（3分）（2022•兰州）关于x的一元二次方程^1=0有两个相等的实数根，则/=

（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到％W0且△=22-4ZX（-1）=0,

然后解关于k的方程即可.

解：根据题意得且△=2?-4ZX（-1）=0,

解得k--1.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程—+法+c=0QWO）的根与A=h2-4ac

有如下关系：当△＞（）时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的

实数根；当AVO时，方程无实数根.

AB1

8.（3分）（2022•兰州）已知—=若3c=2,则石/=（）

DE2

A.4B.6C.8D.16

ABBC

【分析】利用相似三角形的性质可得二=二;，代入即可得出所的长.

DEEF

解：VAABC^ADEF,

.ABBC

••=,

DEEF

AB1

・・・—=BC=2,

DE2

21

••=一,

EF2

：.EF=4,

故选：A.

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解

题的关键.

9.（3分）（2022•兰州）无色酚献溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，

通常情况下酚献溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色.现有5

瓶缺失标签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将

酚醐试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（）

1234

A.-B•一C.-D.一

5555

【分析】总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，再根据概率公式求解即可.

解：•••总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，

2

二将酚献试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是g,

故选：B.

【点评】本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

10.（3分）（2022•兰州）如图，菱形A8CZ）的对角线AC与BQ相交于点。，E为AO的中

点，连接OE,ZABC=60°,BD=4yf3,贝ijOE=（）

【分析】根据菱形的性质可得，NABO=30°,ACLBD,则80=26，再利用含30°

角的直角三角形的性质可得答案.

解：：四边形ABCZ）是菱形，ZABC=60°,

：.BO=DO,NABO=30°,ACLBD,AB=AD,

:.BO=2小

：.A0=^B0=2,

：.AB=2AO=4,

为AO的中点，ZAOD=90°,

：.OE=^AD=2,

故选：C.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握

菱形的性质是解题的关键.

11.（3分）（2022•兰州）已知二次函数当函数值y随x值的增大而增大时，

x的取值范围是（）

A.x<1B.x>1C.x<2D.x>2

【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解.

解：♦.•y=2?-4x+5=2（x-1）2+3,

.♦.抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

时，y随x增大而增大，

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.

12.（3分）（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该

展板的部分示意图如图2所示，它是以。为圆心，OA,OB长分别为半径，圆心角NO

=120°形成的扇面，若04=3加，OB=l.5mf则阴影部分的面积为()

【分析】根据S阴=5扇形OOA-S扁形8OC，计算即可.

角军：S阴=S扇形DOA-S扇形BOC

_1207rx91207rx?

=^60360-

=2.25mrr.

故选：D.

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=噱是解题的关键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

13.(3分)(2022•兰州)因式分解：a2-16=(a-4)(a+4).

【分析】直接利用平方差公式分解因式即可.

解：a2-16=(a-4)(a+4).

故(a-4)(a+4).

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

14.(3分)(2022•兰州)如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，

如果白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0),那么黄河母亲像的坐标是(-

4,1).

塔山公园

‘母亲

黄河像

中1U桥

【分析】根据白塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）画出直角坐标系,

然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；

/产

解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）画出直角坐标系，

二黄河母亲像的坐标是（-4,1）.

故（-4,1）.

【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标

系中特殊位置点的坐标特征.

15.（3分）（2022•兰州）如图，在矩形纸片ABC。中，点E在8C边上，将沿OE

翻折得到△FDE，点厂落在AE上.若CE=3cw,AF=2EF,则A8=3炳cm.

【分析】根据将△(?£>£沿。E翻折得到点尸落在AE上，可得EF=CE=3a〃,

CD=DF,NDEC=NDEF,NDFE=NC=90°=/O耐，ffi]AF=2EF,即得Af=6c7n,

AE=9cm,由四边形ABC。是矩形，可得/，AD//BC,从而AO=4E=9c机，

在RtZ\AO尸中，用勾股定理得。尸=3百。巾，从而AB=O尸=3«an.

解：•.•将△<?£>£沿。E翻折得到△FCE,点尸落在AE上，

:.EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=NDEF,/£>FE=/C=90°

•：AF=2EF,

：.AF=6cm,AE=AF+EF=6+3=9(cm),

•.•四边形ABC。是矩形，

:.AB=CD=DF,AD//BC,

，NADE=NDEC=ZDEF,

：.AD=AE=9cm,

在RtZVIO尸中，AF2+DF2=AD2,

：.62+DF2=92,

：.DF=3^5(an),

：.AB=DF=3V5(cm),

故3代.

【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股

定理列方程解决问题.

16.(3分)(2022•兰州)2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某

种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计

成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

幼树移植数(棵)100100050008000100001500020000

幼树移植成活数878934485722489831344318044

（棵）

幼树移植成活的频0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是0.9.（结果精确到0.1）

【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度

越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的

近似值就是这个事件的概率.

解：•.•幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902,

估计幼树移植成活的概率为0.902,精确到0.1,即为0.9.

故0.9.

【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率

稳定值即概率.

三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.（4分）（2022•兰州）解不等式:2（%-3）<8.

【分析】先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以点即可得出不等式的解集

解：去括号，得：2x-6<8,

移项，得：2x<8+6,

合并同类项，得：2x<14,

两边同乘以士得：x<7.

2

故原不等式的解集是x<7.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，

都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.

18.（4分）（2022•兰州）计算：（1+；）+空31.

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

x+1*x

xx(x+l)

1

X

【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题

的关键.

19.（4分）（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示,

AB^AE,AC=AD,/BAD=NEAC,ZC=50°,求NO的大小.

图1图2

【分析】由可得NA4C=NEA£>,根据&4S可证△BAC丝△EAZ）,再根

据全等三角形的性质即可求解.

解："：ZBAD=ZEAC,

：.ZBAD+ZCAD=ZEAD+ZCAD,即NBAC=/£4。,

在ABAC与AEAD中，

AB=AE

乙BAC=Z.EADy

AC=AD

/.△BAC^AEAD(SAS),

AZD=ZC=50°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决

问题，属于中考常考题型.

20.（6分）（2022•兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E

处用高1.5〃?的测角仪。E测得NA£>C=31°,然后沿E8方向向前走3〃?到达点G处，

在点G处用高15"的测角仪FG测得/AFC=42°.求凉亭AB的高度.（A,C,B三

点共线，ABA.BE,ACLCD,CD=BE,BC=DE.结果精确到0.1m）

(参考数据：sin31°*0.52,cos310弋0.86,tan31°«=0.60,sin42°弋0.67,cos42°弋

0.74,tan42°g0.90)

【分析】根据题意可得8c=FG=OE=1.5〃?，DF=GE=3m,ZACF=90°,然后设CF

=xm,则C£>=(x+3)m,先在RlZ\AC尸中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，

再在Rt^ACO中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.

解：由题意得：

BC=FG=DE=L5m,DF=GE^3m,ZACF=9O0,

设CF=xm,

：.CD=CF+DF=(x+3)m,

在RtZXACF中，ZAFC=42°,

；.AC=CF.tan42°=^0.9x(m),

在RtZ\AC£>中，/A£>C=31°,

,AC0.9x..,

..tana310=777；=«0.6,

CDx+3

・・x=6,

经检验：x=6是原方程的根，

AAB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(/n),

凉昂AB的高约为6.9m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定

义是解题的关键.

21.(6分)(2022•兰州)人口问题是“国之大者”，党中央高度重视人口问题，准确把握人

口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征

程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件.某综合与实践研究小组根据我国第七

次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

(数据分成6组：0Wx<20,20Wx<40,40Wx<60,60^x<80,80Wx<100,lOOWx

<120)

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在40Wx<60

这一组的数据是：58,47,45,40,43,42,50；

信息三：2010-2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为40百万人.

(2)下列结论正确的是①②.(只填序号)

①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率持续降低.

(3)请写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结

合变化趋势谈谈自己的看法.

二|全国大陆

—自然增长

201020112012201320142015201620172018201920202021

【分析】（1）根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个

数即可求出中位数；

（2）①根据频数分布直方图进行判断即可；

②根据条形图与折线图即可判断：

③根据折线图即可判断；

（3）根据条形图与折线图可写出2016-2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增

长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可.

解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百

万人，因此中位数是40百万人，

故40；

（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地

区，故原结论正确，符合题意；

②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原

结论正确，符合题意；

③2010-2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010-2012,2013-2014,2015-

2016年增长率持续上升;2012-2013,2014-2015,2016-2021年增长率持续降低，

故原结论错误，不符合题意.

所以结论正确的是①②.

故①②；

（3）2016-2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低.

看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）.

【点评】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中

数量之间的关系是正确解答的前提.

22.（6分）（2022•兰州）综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一此几何作图方法，如侯马铸铜遗址

出土车喜（wei）范、芯组成的铸型（如图1）,它的端面是圆形.如图2是用“矩”（带

直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB=AC,

在圆上标记4,B,C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A,B点上，“矩”的另

一条边与的交点标记为。点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A,B,C,O四点,

连接A。，BC相交于点。，即。为圆心.

图1图2

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图

确定圆心。.如图3,点A,B,C在上，AB1AC,且48=4C,请作出圆心O.（保

留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心

的方法后发现，如果AB和4c不相等，用三角板也可以确定圆心O.如图4,点A,B,

C在。。上，ABLAC,请作出圆心。.（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，

用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差.如图5,点A,B,C是上任意

三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心。（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确

定圆心的理由：垂直平分弦的直线经过圆心.

A

A

A

□

图3图4图5

【分析】问题解决：

(1)以B为顶点，以48为一边，用三角板作是直角,的另一边与圆交于

D,连接A。，BC,AD,BC的交点即是圆心0；

类比迁移：

(2)方法同(1)；

拓展探究：

(3)连接AC,AB,作AC,A8的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为圆心，根据

是垂直平分弦的直线经过圆心.

解：问题解决：

;(1)如图：

A

D

。即为圆心；

类比迁移：

(2)如图：

e

O即为所求作的圆心;

拓展探究：

（3）如图:

0即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心,

故垂直平分弦的直线经过圆心.

【点评】本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若

圆周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用.

23.（6分）（2022•兰州）如图，在Rt/XABC中，NACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,M

为AB边上一动点，BN上CM,垂足为N.设A,M两点间的距离为xa”（0WxW5）,B,

N两点间的距离为yc/n（当点M和8点重合时，B,N两点间的距离为0）.

小明根据学习函数的经验，对因变量），随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整.

（1）列表：下表的已知数据是根据A,M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别

得到了y与x的几组对应值：

x/cm00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

请你通过计算，补全表格：a=3.2;

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x,），），并画

出函数y关于x的图象;

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：、，随x的增大而减小；

（4）解决问题：当8N=2A/时，AM的长度大约是1.67an.（结果保留两位小数）

【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM,判断出点M与“重合，即可得出答

案；

（2）先描点，再连线，即可画出图象；

（3）根据图象直接得出结论；

（4）利用表格和图象估算出AM的长度.

解：（1）如图，

在RtZ\ABC中，AC=3,BC=4,根据勾股定理得，AC=5,

过点C作于M,

.$A8C=%C・BC=

.•.CAT=¥，

在「△ACAf中，根据勾股定理得，ANT=y/AC2-CM'2=1.8,

当x=1.8时，点M与点”重合，

：.CMLAB,

•：BNLCM,

・••点M,N重合，

:.a=BN=BM=AB-AM=3.2,

故3.2；

（2）如图所示,

（3）由图象知，y随x的增大而减小,

故y随x的增大而减小；

（3）借助表格和图象得，当BN=2A历时，A仞的长度大约是1.67cm,

故1.67.

【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是

解本题的关键.

24.（6分）（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1

是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离X。”）

之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为半"，当水平距离为3瓶时，实心球行

进至最高点3，〃处.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从

起点到落地点的水平距离大于等于6.70〃?，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考

试中是否得满分，请说明理由.

图I图2

图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》

【分析】(1)根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0,解方程

即可.

解：(D根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x-3)2+3,

把(0,-)代入解析式得：-=a(0-3)2+3,

33

解得：a=一3，