2023-2024学年安徽省合肥市“小高考”数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市“小高考”数学模拟试题考试范围：集合与常用逻辑用语､不等式，函数的概念与基本初等函数，一元函数的导数及其应用，三角函数与解三角形.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则等于（

）A． B． C． D．2．已知函数，若，则（

）A．0 B．2 C． D．2或33．已知，，则（

）A． B． C． D．4．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）

A． B． C．1s D．5．在三角形中，记为的面积，已知，则（

）A． B． C． D．6．在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．设函数则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．的内角的对边分别为，若，则（

）A． B．C．角A的最大值为 D．面积的最小值为10．设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（

）

A．B．C．与y轴交点坐标为D．与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为11．若实数，满足，，，则（

）A．且 B．的最小值为C．的最小值为7 D．12．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．与的交点可能在第三象限三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在处的切线斜率为.14．已知向量，记函数，若在上单调递增．则的取值范围为．15．已知，都是锐角，，则=.16．已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.18．已知，函数．(1)求图象的对称中心及其单调递增区间；(2)若函数，计算的值．19．从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.20．已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若函数，且在区间上为增函数，求m的取值范围．21．已知函数．(1)当时，讨论在区间上的单调性；(2)若当时，，求的取值范围．22．已知函数，，若曲线与相切.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上.①求实数m的取值范围；②证明.1．B【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集，集合，或，所以，则．故选：B．2．B【分析】由题意分类讨论，，解方程可求解a.【详解】当时，则，解得：或（舍去）当时，则，解得：（舍去）综上所述：故选：B.3．B【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.【详解】由得，，而，故，故选：B4．C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.【详解】因为，，，所以，又，所以，则，由可得，所以，，所以，，故，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选：C.5．A【分析】先根据三角形的面积公式结合求出角，再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.【详解】，，因为，即，又，则，所以.故选：A．6．B【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在中，若，由正弦定理，得，所以，所以，所以为等边三角形，若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立；反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形，如在中，，，则不成立，所以是：是等腰三角形的充分不必要条件.故选：B.7．B【分析】构造，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可发现与在R上单调递增，继而求解不等式即可.【详解】假设，所以，所以，所以为奇函数，而，则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，所以的对称中心为，所以，因为，所以，易得，当且仅当时等号成立，而，则，所以恒成立，即在上单调递增，所以在R上单调递增，因为得，所以，解得.故选：B.关键点睛：本题的关键是通过构造函数，利用其奇偶性结合函数图象的平移和函数导数与单调性的关系即可得到，解出即可.8．A【分析】方法一：因为，故考虑设，利用导数研究其单调性，由此比较的大小，因为，考虑设，利用导数研究函数的单调性，由此比较的大小，由此确定结论.方法二：因为，，构造函数，利用导数函数的单调性，由此证明，因为，考虑设，利用导数研究函数的单调性，由此比较的大小，由此确定结论.【详解】方法一：因为，所以，设，则设，则，则在单调递增，，即，所以在单调递增，，所以，即．因为，所以，设，设，则在单调递减，，则，记可得，所以，所以．因此有．故选：A.方法二：因为，又，设，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，故，所以，则．因为，所以，设，设，则在单调递减，所以当时，，又，所以当时，，所以，所以，所以．因此有．故选：A.关键点点睛：结合作差结果，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，确定差的正负，由此确定被比较的数的大小关系.9．ABC【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可.【详解】由，故A正确；由余弦定理结合A项可得，故B正确；由上结合基本不等式及余弦定理有故，而，单调递减，所以由，当且仅当时取得最大值，故C正确；由上可得，又，所以，故D错误.故选：ABC10．AD【分析】本题先结合图象分析得知图①为的图象，图②为的图象，再根据图象中点的坐标求出基本量，，，进而可判断ABCD四个选项.【详解】

由得，如图，因当，，故可判断图①为的图象，图②为的图象，由图可知：当时，，当时，，故，因，故由得，故，，故A正确.又，，所以，，又因，故，故B错误.综上可得，，，故与y轴交点坐标为，C错误.令，即得，故，，得，，故当或时的值最小为，故D正确.故选：AD11．AD【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，所以，即且，故A正确；对于B：，即，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B错误；对于C：，当且仅当，即，时取等号，故C错误；对于D：，因为，所以，即，即，即，因为，所以，即，故D正确；故选：AD.12．ABC【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.【详解】如图，因为与互为反函数，故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，故，，故A正确；由题意，，均为锐角，，，，当且仅当，即时取等号，故B正确；设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则，即，解得或（舍去），故，对于，则，令，解得，所以切点为，所以曲线的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，同理可得的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，所以，则，则，故C正确；由图可知点必在第一象限，故D错误.

故选：ABC.13．3【分析】求导后，代入即可求得结果.【详解】因为，所以，令得，解得，则曲线在处的切线斜率为3.故3.14．【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求的取值范围.【详解】向量，，由，当，有，则，依题意有，解得.所以的取值范围为.故答案为.15．2【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1.，.法2：由，令，则，则，故216．【分析】先得到关于原点对称的函数为，再根据题意得到与在上有交点，即在上有实数根求解.【详解】解：关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点，则与在上有交点，所以方程在上有实数根，即在上有实数根，如图所示：

即与的图象在有交点，因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以.故17．(1)；(2).【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得（2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑【详解】（1）由题意知，因为，所以，则，解得，则实数的取值范围是；（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，当时，解得；当时，（等号不能同时取得），解得，综上，.18．(1)，Z，.(Z)(2)2022【分析】（1）利用向量的数量积运算以及三角恒等变形求得函数解析式，利用正弦函数的性质求得对称中心以及单调递增区间；（2）利用函数的周期性求解可得答案.【详解】（1）由已知得，令Z，解得，所以图象的对称中心坐标为，，令Z，解得，，所以单调递增区间为(）；（2），该函数周期为，所以，，，，，因为函数周期为，且，所以，而，所以.19．(1)(2)【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到，由角的范围可求得；若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得，由角的范围可求得；（2）由，平方后可用表示出，结合基本不等式可求得最大值.【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：，，，，，即，，又，，，解得：；若选条件②：，，，，，，解得.（2），，即，（当且仅当时取等号），的最大值为.20．(1)(2)【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）由是偶函数可得，

．则，即,所以恒成立，故.（2）由（1）得，所以，令，则．为使为单调增函数，则①时显然满足题意；②；③.综上：m的范围为.21．(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】（1）求导，由导数正负即可求解（2）利用导数求证和，即可结合零点存在性定理求解.【详解】（1）当时，，，当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减.（2）设，由题意知当时，．求导得．设，则，令，则，当当故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，．所以当时，．故在上单调递增，当时，，且当时，．若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件．若，则存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．综上，实数的取值范围是．方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．(1)递减区间为，递增区间为(2)①；②证明见解析【分析】（1）设切点坐标,利用导数得出切线斜率，写出处切线方程，又切线方程为，对照得出方程，结合导数求出参数，再利用导数求出单调区间；（2）①设，，根据对称关系得出有两个不等的实根，令，通过导数求出函数的单调性及最值，得出结果.②不妨设，要证明，即证，故只需证，设，利用导数求出函数的单调区间得出结果.【详解】（1）设曲线与的切点坐标为，由，得.故切线方程为：，即，又切线方程为，所以，

①

且，

②设，，当时，，单调