第05讲4.3.2等比数列的前n项和公式

项和公式课程标准学习目标①掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。②会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。③能处理与等比数列相关的综合问题。能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题知识点01：等比数列前项和公式若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和【即学即练1】（2023春·海南儋州·高二校考期中）在等比数列{an}中，(1)已知，求前4项和；(2)已知公比，前5项和，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）设公比为，由，得，所以，所以；（2）由，得，所以.知识点02:等比数列前项和的性质公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列(2)当是偶数时,;当是奇数时,(3)【即学即练2】（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列，其中，所以，所以.故选：A知识点03：错位相减法求数列的和推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和.题型01等比数列前项和的基本量计算【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列的前n项和．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)(4)378【详解】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列，前n项和为．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）等比数列中，，，，解得．（2）在等比数列中，，，显然公比，，整理得，解得或．（3）因为，，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，则.【变式1】（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知等比数列的前项和.(1)求实数的值；(2)若，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，当时，，又，因为数列是等比数列，所以满足，，即，（2）由（1），，，，解得.【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等比数列.(1)若，，求；(2)若，，，求；(3)若，，，求n.【答案】(1)(2)(3)5【详解】（1）因为，，所以.（2）由，，可得，即，又由，得，所以.（3）把，，代入，得．整理得，解得.题型02等比数列前项和的片段和性质【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.【典例2】（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列，设，则，，，，所以.故选：D【变式1】（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【详解】由等比数列的前项和的性质可得：也成等比数列，，得，解得.故选：B.【变式2】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，根据等比数列的性质，可得仍成等比数列.因为，所以，所以，故.故选：A题型03等比数列奇、偶项和的性质【典例1】（2023春·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为．【答案】【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.故答案为：.【典例3】（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为．【答案】450【详解】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故答案为：450【变式1】（2023春·高二课时练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】当时，，又，即前10项分别为，所以数列的前10项中，，所以，故选：C．【变式2】（2023春·高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【详解】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：【变式3】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【变式4】（2023·全国·高二随堂练习）在等比数列中，，，求的值.【答案】50【详解】解：设,，所以,所以，所以.题型04分组求和法求数列的前项和【典例1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:.(1)证明:是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由得,,又,故是以为首项,为公比的等比数列.（2）由（1）知,,则,故.【典例2】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知数列的首项为，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数.【答案】(1)证明见解析(2)9【详解】（1）两边取倒数得，，即，又，故为首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）得，故，所以，故，则，由于单调递增，且，，故满足条件的最大整数为9.【变式1】（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且为等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)求满足的最大整数.【答案】(1)；(2)11【详解】（1）由得，，，故等比数列的公比为2，则，故；（2）由（1）可得：，当时，，当时，，又易知当时，，故时，和式，故满足的最大整数为11.【变式2】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设公比是，则，，因此，所以；（2）由（1），．题型05错位相减法求数列的前项和【典例1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为，所以有和，注意到，所以分别解得和，因此由定义可知与的通项公式分别为.（2）由（1）可知，所以由题意有，当时，有，所以有，以上两式作差得，当时，有，综上所述：的前项和为.【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由，，则，有，则，所以，又，显然也满足，故是首项为1，公比为的等比数列，则所以，则，所以，故.（2）由，则，所以，则，所以，则.【变式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，，数列的前项和为，且，当时，则有，当时，由可得，上述两个等式作差可得，即，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）解：因为，则，①可得，②①②得，故.【变式2】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由，得，又，所以当时，，所以，又，符合上式，，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，，两式相减得，所以．题型06等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（2023秋·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则.【答案】32【详解】因为成等差数列，成等比数列，所以成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，所以可得的前8项为0，2，4，8，12，18，24，32.故答案为：32【典例2】（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记比较与的大小.【答案】(1)，；(2)；(3)，当时，.【详解】（1）因为，依题意，故，由得，解得或2，因为，所以，，故，其中，故公比，所以；（2），故；（3）所以当时，，当时，，所以，当时，.【典例3】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，即，解得：．所以，，，所以．（2）由于，则【变式1】（多选）（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知为等比数列，是其前与的等差中项为20，则（

）A． B．公比C． D．【答案】ACD【详解】由得，又与的等差中项为20，则，所以公比为，故，故，故ACD正确，B错误，故选:ACD【变式2】（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，又，所以，故．（2）由（1）可得，，则．【变式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城拖船中学校考开学考试）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列．(1)求的通项公式：(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，因为成等比数列，所以又因为，所以，所以．因为，所以，所以，得，故．（2）因为，所以．题型07等比数列求和在传统文化中的应用1．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为天共走的里程数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，所以，，解得，所以，此人后三天所走的里程数为.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．480【答案】B【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，则，，所以，，因为，，也适合上式，所以，所以.故选：B.3．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定远中学校考期末）某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意可知，数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列，所以前项和为：，.故选：B．，当时，试求符合条件的的个数.（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.【答案】（1）；（2）不能，理由见解析【详解】（1）由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，令，解得，所以符合条件的整数a的个数为10.（2）大老鼠“壮壮”和小老鼠“果果”每天穿墙尺寸分别构成数列，它们都是等比数列，由题意，数列的公比为，数列的公比为，则，所以第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”不能喜相逢.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）设为公比为的等比数列的前项和，且，则（

）A． B．2 C．或 D．或2【答案】D【详解】由题意得：，因为，所以，所以，解得或．故选：D2．（2023春·北京·高二北京市第十二中学校考期末）已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设数列的公比为,由题意可得：,又数列是递增的等比数列,所以,所以,所以数列的前项和为.故选:A.项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（

）A．1984 B．2048 C．5724 D．5832【答案】D【详解】由题意：前10行共有，表示数列的第108项.所以.故选：D4．（2023·高二课时练习）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可知，该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项故，故选：C.5．（2023秋·四川雅安·高三校考阶段练习）在等比数列中，，，则（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】设公比为，由，可得:，解得，，故选：C.6．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【详解】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A.7．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列，设，则，，，，所以.故选：D8．（2023春·河南郑州·高二校联考期中）数列，其前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】数列，则，，则数列是首项为4公比为2的等比数列，其前项和，则不等式对一切恒成立，可化为，即对一切恒成立，又（当且仅当时等号成立），则实数的取值范围为.故选：D二、多选题9．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】设数列的公比为q，则，所以，解得或，即或．故选：BC．10．（2023秋·重庆南岸·高三重庆第二外国语学校校考阶段练习）等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（

）A．是等比数列，公比为B．是等差数列，公差为C．若，则，，成等差数列，公差是D．若，则，，成等比数列，公比是【答案】ABD【详解】A：因为等差数列的公差为d，所以，故A正确；B：因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，，故B正确；C：当时，，又但是，所以，同理，所以，，成等差数列，公差是，故C错误；D：当时，，，又等比数列的各项均为正数，，且所以，同理即，，成等比数列，公比是，故D正确；故选：ABD.三、填空题11．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则.【答案】【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：.12．（2023春·江西萍乡·高二统考期中）已知等比数列的前项和为，若，则.【答案】【详解】设等比数列公比为，则，即等比数列的前项和要满足，又因为，所以.故答案为：四、解答题13．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)记比较与的大小.【答案】(1)，；(2)；(3)，当时，.【详解】（1）因为，依题意，故，由得，解得或2，因为，所以，，故，其中，故公比，所以；（2），故；（3）所以当时，，当时，，所以，当时，.14．（2023秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数．【答案】(1)；(2)5.【详解】（1）由题设，若公差为，所以，即，所以，故.（2）由（1）知：，故数列的首项、公比为3，所以，则，所以且，而，所以，故最大正整数为5.B能力提升1．（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考阶段练习）已知为等比数列，的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【详解】设等比数列的公比为，则，，对于A项，由得，即，所以当，时，满足，但不是递增数列，故A项不成立；对于B项，由得，所以当，时，，满足，但不是递增数列，故B项不成立；对于C项，当，时，，，，此时满足数列是单调递增，但，故C项不成立；对于D项，由数列是单调递增可知，且，所以，所以，即，所以，，所以，，又因为，，所以，即，故D项正确.故选：D.2．（2023秋·山东·高三山东省北镇中学校联考开学考试）已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（

）A．4048 B．2023 C．2022 D．4046【答案】B【详解】令数列的公比为，∵，∴，，因为，所以当时，，即或（舍去），当时，，即，解得或（舍去），所以，，即，因为数列中的整数项组成新的数列，所以，，此时，即，∴．故选：B3．（2023秋·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有.(1)求数列的通项公式；(2)若（n为正整数），求数列的前n项和；(3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，则有：当时，则，解得；当时，则，两式相减得，整理得；且，可知数列是以首项，公比为的等比数列，所以，即.（2）由（1）可得：，所以，所以数列的前n项和.（3）由（1）可得：，令，即，解得，可得数列的最大项为，因为等式对任意正整数n都成立，即，可得，解得或，所以实数t的取值范围.C综合素养1．（2023秋·江苏苏州·高二张家港市沙洲中学校考开学考试）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（

）A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为B．C．使得不等式成立的的最大值为4D．数列的前项和【答案】C【详解】由题可得，，，……，，则，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，则，显然B正确；由题意可得：，即，，……，