高考数学（文科）公式大全及重要基础知识记忆检查

文档仅供参考PAGE1高考数学（文科）公式大全及重要基础知识记忆检查目录第一章集合与常用逻辑用语…………2第二章函数……………3第三章倒数及其应用…………………7第四章三角函数………8第五章平面向量………12第六章数列……………13第七章不等式…………15第八章立体几何………17第九章平面解析几何…………………19第十章概率、统计及统计案例………………24第十一章算法初步及框图……………25第十二章推理与证明…………………26第十三章数系的扩充与复数的引入…………………26第十四章几何证明选讲………………26第十五章坐标系和参数方程…………27第十六章不等式选讲…………………27第一章集合与常用逻辑用语1.集合的基本运算；；2..集合的包含关系:；；3.识记重要结论：;;;4．对常用集合的元素的认识①中的元素是方程的解，即方程的解集；②中的元素是不等式的解，即不等式的解集；③中的元素是函数的函数值，即函数的值域；④中的元素是函数的定义域，即函数的定义域；⑤中的元素可看成是关于的方程的解集，也可看成以方程的解为坐标的点，为点的集合，是一条直线。5.集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.6.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.7.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。①若，则有；②若，则有，.当a<0时，①若，则有，②若，则有，.8.；表19.由不等导相等的有效方法：若且，则.表110.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑ同真为真同假为假同真为真同假为假真假相对真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假表211.常见结论的否定形式表2原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或12.四种命题的相互关系如右图所示原命题原命题“”逆命题“”否命题“”逆否命题“”互逆互逆互否互否为互逆否互为逆否一个命题一个命题一种形式两种方法13.充要条件（1）若，则说是的充分条件，同时是的必要条件（2）充要条件：若，且，则是的充要条件.另外：如果条件最终都可化为数字范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关系一目了然。设，，①若，则是的充分不必要条件；②若,则是的必要不充分条件；③若，则是的充要条件。第二章函数14.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.⑶单调性性质：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。15.复合函数单调性的判断方法：⑴如果函数和都是减函数（增函数）,则在公共定义域内,和函数也是减函数（增函数）;增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数小结：同增异减。研究函数的单调性，定义域优先考虑，且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。小结：同增异减。研究函数的单调性，定义域优先考虑，且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。16．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）⑴若是偶函数，则；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间。⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间。⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或者⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．⑸多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.17.18.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(3)指数函数和的图象关于直线y=x对称.19.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.20．互为反函数的两个函数的关系（指数函数和对数函数）：.21.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，，.22.对于，，，，的图象，了解它们的变化情况．如图：23.几个函数方程的周期⑴对时，，则的周期为的周期函数⑵或恒成立，则是周期为的周期函数⑶若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数⑷若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数图象图象图象图象向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ图象图象图象图象向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位点的横坐标变为原来的1/ω倍纵坐标不变点的纵坐标变为原来的A倍横坐标不变向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位图象24.函数图像变换25.分数指数幂(1)（，且）;(2)（，且）.26．根式的性质（1）;（2）当为奇数时，；当为偶数时，.27．有理指数幂的运算性质(1);(2);(3).28.指数式与对数式的互化式.29.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).30．对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3)；31.对数有关性质：⑴的符号有口诀“同正异负”记忆；⑵；⑶；⑷对数恒等式：⑸；⑹设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.；32.对数函数的图像和性质分析：的符号1x1xyo1图像定义域值域单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数过定点函数值的分布情况时，；时，时，；时，⑹指数函数的图像和性质分析：的符号图像1y1yxo1o1o1x1y定义域值域单调性在上是增函数在上是减函数过定点函数值的分布情况时，；时，时，；时，33.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.第三章导数及其应用34．导数的定义：在处的导数记作.35.⑴在的导数概念：.⑵能根据导数概念求函数(为常数)，，，，的导数.36.函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.37.几种常见函数的导数(1)（C为常数）；(2)；(3)；(4)；(5)；；(6).38.导数的运算法则法则1：；法则2：；法则3：左正右负极大值左负右正极小值39.左正右负极大值左负右正极小值当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.第四章三角函数40．⑴终边相同的角的集合：;⑵角度与弧度的换算：；⑶弧长与扇形的面积公式：弧长，扇形面积.⑷常见恒成立的三角不等式（给定范围条件下）①若，则；②若，则；半个月亮爬上来③.半个月亮爬上来41.常用三角函数不等式及相关等式的解集：⑴不含绝对值情况：①的集合是；②的集合是；③的集合是。所谓伊人在水一方⑵含绝对值情况：①的集合是所谓伊人在水一方；②的集合是；③的集合是。42.⑴对于“”这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余二式的值。⑵三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限，看左边，写右边”形似角中的角不论多大，都看作锐角；形似角在原名称、原象限中的符号；注意：总共两套诱导公式（一套是函数名不变；另一套是函数名必须改变）；对于余弦函数和正切函数的诱导公式规律记忆同正弦函数。注意：总共两套诱导公式（一套是函数名不变；另一套是函数名必须改变）；对于余弦函数和正切函数的诱导公式规律记忆同正弦函数。43.⑴同角三角函数的基本关系式：，=推论：；（正负号取决于所在的象限）⑵和角与差角公式;;；(正弦平方差公式);(余弦平方差公式)；=(辅助角所在象限由点的象限决定,其中).⑶二倍角公式：；；万能公式：；；⑷半角公式（降幂公式）：①；；②44.三角函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.45.①类正弦函数的图像的变换（两种办法殊途同归）作作y=sinx（长度为2的某闭区间）的图像得y=sin(x+φ)的图像得y=sinωx的图像得y=sin(ωx+φ)的图像得y=sin(ωx+φ)的图像沿x轴平移|φ|个单位（左加右减）横坐标伸长或缩短到原来的倍横坐标伸长或缩短到原来的倍沿x轴平移||个单位（左加右减）纵坐标伸长或缩短到原来的A倍纵坐标伸长或缩短到原来的A倍②类正弦函数的参数计算：振幅，,,求时，一般代入最高点或者最低点的坐标后，利用已知三角函数值求角，再根据给定的范围进而分析得到值。46.正弦函数和余弦函数的图像和性质函数图像定义域R值域最值时，时，时，时，单调性时，增函数时，增函数时，减函数时，减函数时，减函数时，增函数奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期为对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：47.正切函数的图像和性质函数图像定义域值域R单调性时，增函数时，增函数奇偶性奇函数周期性最小正周期为对称性对称中心：48.⑴正弦定理：.（R为外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）.地位相同等号两边①，，等；地位相同等号两边②，，等；⑵余弦定理：;;.⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴；解题时注意一种重要关系：在中，给定角的正弦或余弦值，则角的正弦或余弦有解（即存在）49.三角形内角和定理：在△ABC中，有50.面积定理⑴（分别表示a、b、c边上的高）.⑵⑶(其中为的外接圆的半径)⑷（R为外接圆的半径，也是外接圆半径的一种算法。）⑸(其中为的内切圆的半径，也能导出内切圆半径的一种算法。顺便说下，直角三角形中内切圆的半径，其中为两条直角边，为斜边。)⑹(其中，海伦公式)⑺（注意：此时以坐标原点为一个顶点的三角形的面积公式）；设，则第五章平面向量51.向量的加减法的代数结构：首首接尾尾联指向被减向量尾首接首尾联首首接尾尾联指向被减向量尾首接首尾联⑴⑵52.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．）53．向量平行与垂直的坐标表示：设=,=，且，则∥()；.54.a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ．其几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．55.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=；(2)设a=,b=，则a-b=；(3)设A，B,则；(4)设a=，则a=；(5)设a=,b=，则a·b=.56.两向量的夹角公式：(a=,b=).57.平面两点间的距离公式：=(A，B).58.①线段的定比分公式：设，，是线段的分点,是实数，且，则（）.②中点的向量形式：平面内，设线段的中点为，为直线外任意一点，则有;设此时，则中点的坐标公式：59.三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.60.三角形四“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.第六章数列61.⑴自然数和公式：①；②；③⑵常见的拆项公式：①；②；③；④；⑤.⑶数列的通项公式与前n项的和的关系①②（注：该公式对任意数列都适用）③（注：该公式对任意数列都适用）62.⑴等差数列的通项公式：①一般式：；②推广形式：；③前项和形式（注：该公式对任意数列都适用）其前n项和公式为：.⑵（为常数）⑶常用性质：①若m+n=p+q，则有；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；③为等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列；④；⑤1+2+3+…+n=63.等比数列的通项公式：⑴①一般形式：；②推广形式：，③其前n项的和公式为：，或.⑵⑶常用性质：若m+n=p+q，则有；特别地：若的等比中项，则有n、m、p成等比数列;等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；④设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．第七章不等式64.常用不等式：⑴(当且仅当a＝b时取“=”号)；⑵(当且仅当a＝b时取“=”号)；⑶.65.极值定理“一定二正三相等”已知“一定二正三相等”（1）若积是定值，则当时和有最小值；积定和最小和定积最大（2）若和是定值，则当时积有最大值.积定和最小和定积最大推广形式：已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时,最小；当最小时,最大.66.①一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.对于的情形“对于的情形“大射线小线段”.②简单的高次不等式的解法：数轴标根法（穿针引线法）。注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。-3-115-3-115从图中易知解集为③一元二次方程的根的分布情况：设是实系数二次方程的两个实根，则的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示：根的分布图像充要条件有且只有一个在内或或67.含有绝对值的不等式，当a>0时，有.或大射线小线段大射线小线段68.（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：，；，.（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：；；.69.无理不等式（1）；（2）；（3）70.指数不等式与对数不等式(1)当时,;.(2)当时,;第八章立体几何71.常用公理和定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：①空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．⑤一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．⑥一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．⑦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．⑧垂直于同一个平面的两条直线平行．⑨两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．72.三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）设AB与平面α所成的角为,AC是α内的任一条直线，且AC与AB的射影AB/所成的角图⑴为，AB/与AC所成的角为．则图⑴.如右图⑴。73.空间两点间的距离公式若A，B，则=.74.面积射影定理：.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).如图⑵。图⑵75图⑵，因此有；76．棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．）若每个顶点引出的棱数为，则：.77.球①球的半径是R，则其体积,其表面积；②球的半径（R），截面圆半径（），球心到截面的距离为（）构成直角三角形，因而有关系：，它们是计算球的关键所在。78.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.79．柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）;（是锥体的底面积、是锥体的高）.80.空间向量的直角坐标运算：设，则；；；∥,或；⊥81.二面角的平面角计算（夹角）公式：设为平面，的法向量。通常情况下，若已知，则82.空间两点的距离公式：设，则.83．高中数学角的范围：①向量夹角:[0°,180°]；直线的倾斜角:[0°,180°)；③共面直线的夹角:[0°,90°]；④直线和平面夹角:[0°,90°]；⑤异面直线夹角:(0°,90°]；⑥二面角:[0°,180°]。第九章平面解析几何84.斜率公式①（、）.②曲线在点处的切线的斜率，切线方程：.③直线的一个方向向量为85.直线的五种方程﹙一般两点斜截距﹚（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).（3）两点式()(、()).(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式(其中A、B不同时为0).86.两条直线的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②；有谁垂（吹）谁（3）直线:中，若,有谁垂（吹）谁则垂直于轴；若,则垂直于轴。87．四种常用直线系（具有共同特征的一族直线）方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．88.点到直线的距离(点,直线：).89.或(其中A、B不同时为0).所表示的平面区域设直线，则(或)所表示的平面区域是：是0，（0，1）、（1，0）试非0，（0、0）试若,则用原点试，结果适合不等式，表示原点所在的平面区域就是。否则，边界的另一区域才是；是0，（0，1）、（1，0）试非0，（0、0）试若，则用点或者试，方法同上。90.圆的四种方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程(＞0).（3）圆的直径式方程(圆的直径的端点是、).91.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.92.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:①;②;③.其中.93.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，①;②③;④;⑤.94.圆的切线方程：已知圆．过圆上的点的切线方程为;95.椭圆①椭圆定义：；②（即，注意）；③设是椭圆上任意一点，且，则有.④下表是椭圆的标准方程及几何性质。标准方程图形xyxyF1F2OA1A21B21B1F1F2F1F2yxOB1范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴长半轴椭长为，短半轴长为焦距焦距为关系离心率⑴椭圆焦半径公式：，；⑵椭圆的的内外部：①点在椭圆的内部；②点在椭圆的外部；⑶椭圆与直线相切的条件是.96.双曲线①双曲线定义：；②（即，注意，其中为同一象限内的实顶点、虚顶点，为坐标原点）；③设是双曲线上任意一点，且，则有.④下表是其标准方程及几何意义。标准方程图形范围或者或者对称性关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称顶点坐标焦点坐标半长轴实半轴椭长为，虚半轴长为焦距焦距为关系离心率渐近线⑴双曲线的焦半径公式：，;⑵双曲线的内外部：①点在双曲线的内部；②点在双曲线的外部;⑶双曲线与直线相切的条件是.97.抛物线⑴抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为，，则有如下结论：焦半径公式：；焦点弦长；③，.⑵抛物线的内外部：点在抛物线的内部；②点在抛物线的外部；⑶抛物线上的动点可设为P，可简化计算。⑷抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；②抛物线与直线相切的条件是.98.抛物线：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。下表是其标准方程及图形方程焦点准线图形FyFyxOFyxFyxOFyFyxOFyxFyxO四大方程四条规律：四大方程四条规律：⑴一次项是谁，焦点在谁轴上；⑵一次项系数的正负，代表开口方向的上下或右左；⑶焦点坐标一个是0，另一非0，且刚好是一次项系数的；⑷准线方程的数值刚好是焦点的非0坐标的相反数。99.①直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的斜率）;②中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为；③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：设A为椭圆上不同两点，是中点，则；对于双曲线，类似可得：；对于抛物线有.100.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.第十章概率、统计及统计案例101.等可能性事件的概率：=102.P（A）=.103.互斥事件A，B分别发生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．104.个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．105.抽样方法主要有：①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；②系统抽样，常常用于总体个数较多时，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一个；③分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即：或者106.总体分布的估计：用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图.107.样本平均数：；样本方差：；样本标准差：。第十一章算法初步及框图开始S1=0,i=1i<=4输出S结束是否图⑶输入S1=S开始S1=0,i=1i<=4输出S结束是否图⑶输入S1=S1+xii=i+1③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为:(单位：吨)。根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为______________.④③某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为:(单位：吨)。根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为______________.④如果执行下面的程序框图，如图⑷，输入N=5,则输出的数等于__________；⑤阅读下面的程序框图⑸，运行相应的程序后，则输出S