11.3专题带电粒子在有界匀强磁场中的运动（讲）（原卷版）

第十一章磁场专题带电粒子在有界匀强磁场中的运动一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法1.圆心的确定方法（1）若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。（2）若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。（3）若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。2.半径的计算方法方法一由R＝求得方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得常用到的几何关系①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α。②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ＝α。3.时间的计算方法方法一利用圆心角、周期求得t＝T方法二利用弧长、线速度求得t＝二、带电粒子在有界磁场中的运动1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示）2.平行边界（往往存在临界条件，如图所示）3.圆形边界（进出磁场具有对称性）（1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。（2）不沿径向射入时，如图乙所示。射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。4.在多边形边界或角形区域磁场带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同临界情景，解答该类问题主要把握以下两点：（1）射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。（2）射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsinα，如图甲所示。②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示。考点一带电粒子在有界匀强磁场中的运动带电粒子在有边界磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。临界点常用的结论：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。（3）当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长。典例精析变式巩固1.如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和粒子，质子和粒子同时到达P点。已知OP＝，粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（）A.质子在磁场中运动的半径为B.粒子在磁场中运动的半径为C.质子在磁场中运动的时间为D.质子和a粒子发射的时间间隔为2.如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为（）A.3 B.2 C. D.3.如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P点射入磁场，从Q点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是（）A.粒子带正电 B.粒子在磁场中运动轨迹长度为C.粒子在磁场中运动的时间为 D.圆形磁场区域的半径为4.如图所示，在圆形边界的磁场区域，氕核和氘核先后从P点沿圆形边界的直径入射，从射入磁场到射出磁场，氕核和氘核的速度方向分别偏转了60°和120°角，已知氕核在磁场中运动的时间为t0，轨迹半径为R，则（）A.氘核在该磁场中运动的时间为2t0B.氘核在该磁场中运动时间为4t0C.氘核在该磁场中运动的轨迹半径为RD.氘核在该磁场中运动的轨迹半径为R5.两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示则A.a粒子带正电，b粒子带负电B.两粒子的轨道半径之比Ra：Rb=：1C.两粒子的质量之比ma：mb=1：2D.两粒子的质量之比ma：mb=2：16.如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正向成角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴的某点离开磁场。忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中运动情况，下面说法正确的是（）A.它的轨道半径为B.它进入磁场时的速度为C.它在磁场中运动的时间为D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为（2023·河北石家庄市模拟）7.如图所示，△AOC为直角三角形，∠O=90°，∠A=60°，AO=L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为q，速度大小均为的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是（）A.粒子在磁场中运动的半径为LB.与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出C.在AC边界上有粒子射出区域长度为LD.所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等8.如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（）A.粒子的入射速度为B.粒子的入射速度为C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为D.从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为考点二带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。（1）找出多解的原因。（2）画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。典例精析变式巩固9.如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（）A.，垂直纸面向里 B.，垂直纸面向里C.，垂直纸面向外 D.，垂直纸面向外10.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿与MM′成45°角的方向垂直射入磁场。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少（不计粒子重力）。11.如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：（1）磁感应强度B0的大小；（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。（2023·全国·统考高考真题）12.如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP=l，S与屏的距离为，与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（）A. B. C. D.（2022·湖北卷·8）13.在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分