感受“幂的运算”中的思想方法

精品文档-下载后可编辑感受“幂的运算”中的思想方法幂的运算是代数演算的重要基础，同学们在掌握幂的各种运算法则的同时，还要深入理解其中蕴含的数学思想.下面请同学们赏析几道经典例题.

一、转化思想

例1已知am=2，an=3，ap=6，求a2m+n-p的值.

【分析】本题的关键是利用同底数幂乘除的性质，把所求的式子转化为与已知条件有关的式子，再代入求值.我们可以用两种方法思考：

解：解法1：a2m+n-p=a2m×an÷ap=（am）2×an÷ap=22×3÷6=2.

解法2：由am=2，得（am）2=22=4，

a2m+n-p=（am）2×an÷ap=4×3÷6=2.

【点评】解法1是逆用幂的乘方性质和同底数幂的乘法、除法性质，直接将a2m+n-p转化为同底数幂的乘除混合运算，基本思路是从目标出发，回归已知条件；解法2是从已知条件出发，构造出求值式中有关的a2m，再根据同底数幂的乘法、除法性质转化，化求值式a2m+n-p为（am）2×an÷ap，基本思路是由已知条件向目标转化.

例2已知a=348，b=436，c=724，则它们的大小关系为（）.

A.b>a>cB.a>c>b

C.a>b>cD.c>b>a

【分析】本题不能通过直接计算结果再比较大小，可以通过逆用幂的乘方的性质，把不同指数的幂化成相同指数的幂，再比较底数的大小.

解：因为a=348=（34）12=8112，b=436=（43）12

=6412，c=724=（72）12=4912，且81>64>49，所以a>b>c，故选C.

【点评】对于无法计算结果的幂的运算大小比较，如果指数有相同的公约数，可考虑转化为相同指数的幂.

二、方程思想

例3已知32・9x=729，求x的值.

【分析】已知等式的两边不是同底数的幂，所以先考虑将它们转化为同底数的幂，再构建方程求出未知数的值.

解：解法1：因为32・9x=729，所以32・32x=

36，则2x+2=6，解得x=2.

解法2：因为32・9x=729，所以9・32x=729，则32x=81=34，则2x=4，解得x=2.

【点评】求指数中的未知数时，通常情况下运用“同底数幂相等，则指数相等”来构建方程解未知数.

三、整体思想

例4已知2m-3n+1=0，求9m÷27n的值.

【分析】所求式子中的9m与27n并不是同底数幂，但可逆用幂的乘方法则转化为以3为底的幂相乘的形式，然后整体代入求值.

解：由已知2m-3n+1=0，得2m-3n=-1，

所以9m÷27n=（32）m÷（33）n=32m÷33n=

32m-3n=3-1=.

【点评】解决不同底数的代数式的求值问题，关键是将所求值的代数式化为同底数幂的形式，有时需把某个代数式变形后看作整体代入求值.

四、分类讨论思想

例5已知（2x-3）x+1=1，求x的值.

【分析】本题应对底数和指数的各种情况进行分类讨论：一是指数为0且底数不为0，二是底数为1时指数为任意数，三是底数为-1时指数为偶数.

解：本题分三种情况进行分类讨论：

（1）因为任何非0数的0次幂都是1，所以有x+1=0且2x-3不为0，解得x=-1；

（2）因为1的任何次幂都是1，所以有2x-

3=1，解得x=2；

（3）因为-1的偶次幂都是1，所以有2x-

3=-1且x+1为偶数，解得x=1.

综上讨论，x的值为-1、2、1.

【点评】涉及有