高中数学定积分

实用文档（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明

1.

原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。而表达式F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）的不定积分。2.f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即∫f（x）dx

=F（x）+C。3.

原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。例如x2

+1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2

+C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。4.f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。5.

原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

∫

dx

∫

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。1.

第一换元积分法（凑微分法）：根据一阶微分形式的不变性，若

dF（u）=f（u）du

则

dF（u（x））=f（u）du利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：∫f[u（x）]du（x）=

∫f（u）du

（令u=u（x））

=F（u）+C

（求积分）

=F（u（x））+C

（令

u=u（x））

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

2.

第二换元积分法：令x=φ（x），常用于被积函数含

或

等形式。3.

同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。

（三）关于积分形式不变性如果∫f（x）dx=F（x）+C，那么有∫f（u）du=F（u）+C，其中u=Φ（x）是x的可微函数。这个道理说明：（1）.积分变量x无论是自变量，还是中间变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。

（2）.根据这个定理，基本积分公式中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。

（四）分部积分法设u=u（x），v=v（x）是可微函数，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函数，则有分部积分公式：∫u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-∫v（x）u/（x）dx或

∫udu

=

uv

-

∫vdu当被积分函数是两个函数的乘机形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当的选择谁做u，谁做v/。如果选择不当，就有可能求不出积分的结果或者计算很困难，一般说来选择u和v/的原则是：1.

根据v/容易求出v；

2.

∫vu/dx要比∫uv/dx容易计算。

（五）关于定积分的定义

由定积分的定义可以看出，定积分是一个数值，这个数值与被积函数f（x）及积分区间[a，b]有关，与区间[a，b]的分法和点的取法无关，而且与积分变量用什么字母也无关，所以有

f（x）dx=

f（t）dt

=

f（u）du函数f（x）在[a，b]上可积的条件与f（x）在[a，b]上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即f（x）在[a，b]上有以下关系：

可导

连续

可积反之都不一定成立。

（六）有关定积分的性质

在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：

f（x）dx

=-

f（x）dx

f（x）dx=0

1dx=b-a

定积分关于积分的区间的

可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即，

f（x）dx

+

f（x）dx

=

f（x）dx

（七）关于牛顿-

莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中，而且在整个微积分学中都是一个重要的结论，主要表现在以下方面：1.

当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行：若F（x）是f（x）的一个原函数，则

f（x）dx

=F（b）-F（