专题23 平行四边形【有答案】_第1页
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文档简介

专题23平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示,读作“平行四边形ABCD”。2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等;(2)平行四边形的对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分。3.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。4.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah【例题1】(2020•温州)如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为()A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C,再根据平行四边形的性质可求∠E.【解析】∵在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,∴∠C=(180°﹣40°)÷2=70°,∵四边形BCDE是平行四边形,∴∠E=70°.【对点练习】(2019•山东临沂)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是()A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND【答案】A【解析】由平行四边形的性质可知:OA=OC,OB=OD,再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,∴OB﹣BM=OD﹣DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形,∵OM=AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.【例题2】(2020•凉山州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于16.【答案】16.【解析】由平行四边形的性质得AB=CD,AD=BC,OB=OD,证OE是△ABD的中位线,则AB=2OE,AD=2AE,求出AE+OE=4,则AB+AD=2AE+2OE=8,即可得出答案.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,∵OE∥AB,∴OE是△ABD的中位线,∴AB=2OE,AD=2AE,∵△AOE的周长等于5,∴OA+AE+OE=5,∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4,∴AB+AD=2AE+2OE=8,∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16;【对点练习】(2019•湖北武汉)如图所示,在▱ABCD中,E.F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为.【答案】21°.【解析】设∠ADE=x,∵AE=EF,∠ADF=90°,∴∠DAE=∠ADE=x,DE=AF=AE=EF,∵AE=EF=CD,∴DE=CD,∴∠DCE=∠DEC=2x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BCA=x,∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,∴2x=63°﹣x,解得:x=21°,即∠ADE=21°。【例题3】(2020•扬州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.(1)若OE=32,求(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.【答案】见解析。【分析】(1)判定△AOE≌△COF(ASA),即可得OE=OF=32,进而得出(2)先判定四边形AECF是平行四边形,再根据EF⊥AC,即可得到四边形AECF是菱形.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AO=CO,∴∠FCO=∠EAO,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF=3∴EF=2OE=3;(2)四边形AECF是菱形,理由:∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.【对点练习】(湖南省永州市)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD.(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.【答案】见解析。【解析】(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB.又AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.又AB=CD,∴BE=CD.(2)∵BE=AB,BF⊥AE,∴AF=EF,∵AD∥BE,∴∠D=∠DCE,∠DAF=∠FEC,∴△ADF≌△ECF(AAS).∴S平行四边形ABCD=S△ABE.∵BE=AB,∠BEA=60°,∴△ABE为等边三角形.∴S△ABE=AE·BF=×4×4sin60°=×4×4×=.∴S平行四边形ABCD=.一、选择题1.(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD【答案】C【分析】根据平行四边形的定义,可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;选项C中的条件,无法判断四边形ABCD是平行四边形.【解析】∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;∵AB∥DC,AD=BC,则无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件,不能判断四边形ABCD是平行四边形;∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.2.(2020•临沂)如图所示,P是面积为S的▱ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则()A.S1+S2>S2 B.S1+S2C.S1+S2=S2 D.S1+S2的大小与【答案】C【分析】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积,即可得到S和S1、S2之间的关系,本题得以解决.【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E,交BC于点F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∴S=BC•EF,S1=AD∵EF=PE+PF,AD=BC,∴S1+S2=3.(2020•陕西)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为()A.52 B.32【答案】D【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到EF的长,再根据梯形中位线定理,即可得到CG的长,进而得出DG的长.【解析】∵E是边BC的中点,且∠BFC=90°,∴Rt△BCF中,EF=12∵EF∥AB,AB∥CG,E是边BC的中点,∴F是AG的中点,∴EF是梯形ABCG的中位线,∴CG=2EF﹣AB=3,又∵CD=AB=5,∴DG=5﹣3=24.(2019▪广西池河)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是()A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF C.AC=CF D.AD=CF【答案】B.【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC,结合平行四边形的判定定理进行选择.∵在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DEAC.A.根据∠B=∠F不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.B.根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB,即CF∥AD,由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形,故本选项正确.C.根据AC=CF不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.D.根据AD=CF,FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.二、填空题5.(2020•武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是▱ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是.【答案】26°.【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102°,AD=BC,根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA,∠BEC=∠ECB,根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB,由三角形的内角和定理即可得到结论.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D=102°,AD=BC,∵AD=AE=BE,∴BC=AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,∠BEC=∠ECB,∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB,∴∠ACB=2∠CAB,∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°﹣∠ABC=180°﹣102°,∴∠BAC=26°6.(2020•天津)如图,▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为.【答案】32【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质,可以得到BF和BE的长,然后可以证明△DCG和△EHG全等,然后即可得到CG的长.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD=AB,DC∥AB,∵AD=3,AB=CF=2,∴CD=2,BC=3,∴BF=BC+CF=5,∵△BEF是等边三角形,G为DE的中点,∴BF=BE=5,DG=EG,延长CG交BE于点H,∵DC∥AB,∴∠CDG=∠HEG,在△DCG和△EHG中,∠CDG=∴△DCG≌△EHG(ASA),∴DC=EH,CG=HG,∵CD=2,BE=5,∴HE=2,BH=3,∵∠CBH=60°,BC=BH=3,∴△CBH是等边三角形,∴CH=BC=3,∴CG=127.(2019湖南娄底)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是.【答案】9.【解析】∵E为AD中点,四边形ABCD是平行四边形,∴DE=AD=BC,DO=BD,AO=CO,∴OE=CD,∵△BCD的周长为18,∴BD+DC+B=18,∴△DEO的周长是DE+OE+DO=(BC+DC+BD)=×18=98.(2019河南省)如图,在□ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数是_________.【答案】110°【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小,解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识.思路:首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数,再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD,∴∠BAE=∠1=20°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∵∠2是△ABE的外角∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110,故答案为110°.9.(2019浙江金华)如图,已知AB∥CD,BC∥DE.若∠A=20°,∠C=120°,则∠AED的度数是.【答案】80°【解析】延长DE交AB于F,根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定∠AED的度数.延长DE交AB于F,因为AB∥CD,BC∥DE,所以四边形BCDF为平行四边形,因为∠C=120°,所以∠BFD=120°,所以∠AFD=60°,又∠A=20°,所以∠AED=60°+20°=80°,故答案为80°.三、解答题10.(2020•广元)已知▱ABCD,O为对角线AC的中点,过O的一条直线交AD于点E,交BC于点F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)若AE:AD=1:2,△AOE的面积为2,求▱ABCD的面积.【答案】见解析。【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠EAO=∠FCO,由ASA即可得出结论;(2)由于AE:AD=1:2,O为对角线AC的中点,得出△AEO∽△ADC,根据△AOE的面积为2,可得△ADC的面积,进而得到平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∵O是AC的中点,∴OA=OC,在△AOE和△COF中,∠EAO=∴△AOE≌△COF(ASA);(2)∵AE:AD=1:2,O为对角线AC的中点,∴AO:AC=1:2,∵∠EAO=∠DAC,∴△AEO∽△ADC,∵△AOE的面积为2,∴△ADC的面积为8,∴平行四边形ABCD的面积为16.11.(2020•青岛)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形?请说明理由.【答案】见解析。【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形,可以得到AD=CB,∠ADC=∠CBA,从而可以得到∠ADE=∠CBF,然后根据SAS即可证明结论成立;(2)根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质,可以证明▱ABCD是菱形,从而可以得到AC⊥BD,然后即可得到AC⊥EF,再根据题目中的条件,可以证明四边形AFCE是平行四边形,然后根据AC⊥EF,即可得到四边形AFCE是菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,在△ADE和△CBF中,AD=CB∠∴△ADE≌△CBF(SAS);(2)当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形,理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF,∵DE=BF,∴OE=OF,又∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形,∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.12.(2020•重庆)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;(2)求证:AE=CF.【答案】见解析。【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAO,利用角平分线的定义求出∠DAC,再利用平行线的性质解决问题即可.(2)证明△AEO≌△CFO(AAS)可得结论.【解答】(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°,∵CA平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=40°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠ACB=∠DAC=40°,(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF.13.(2020•岳阳)如图,点E,F在▱

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