悬臂梁固定端位移边界处理方式的解析解

悬臂梁固定端位移边界处理方式的解析解

弹性梁理论通常使用中面变形来描述整个弹性区域的变形。显然，基于三维弹性理论，梁理论是一种类似的理论。由于不同的相似方法和相似程度，不同的模仿差异导致了不同的弹性梁理论。例如，eular-berroul理论、simoshol理论和leinson模型。在这一点上，基于eular-benoul梁理论，它不考虑梁的切割效应，simoshol梁理论和leinson梁理论都考虑了切割效应的一阶和三阶计数变形梁理论，这可以用来分析无限制矩形悬臂短梁的有限变形分析。合理的边界条件是保证梁理论获得精确解的必要条件.悬臂梁的固定端上的每个点都应该满足位移为零的位移边界条件,但因该条件过于苛刻,实际中很难得到满足这种边界条件的精确解.目前已发表的有关悬臂梁的理论解都是对该边界进行简化后得到的近似解.有限元法因可以对固定端边界面上的所有节点施加位移为零的约束,并随着节点数目的增多,可以无限接近固定端真实的位移边界,因而有限元结果常作为理论解近似程度的比较依据.传统的悬臂梁固定端边界条件近似处理方法,是将固定端横截面形心处的位移和转角定义为零.王敏中针对黄文彬提出的关于Timoshenko梁理论的解优于弹性力学解的质疑,指出造成该现象的原因是悬臂梁固定端的位移边界条件没有被很好的满足,提出了用最小二乘法处理悬臂梁固定端的位移边界条件.本文针对悬臂梁承受3种载荷的情况:自由端受切向力,上表面受均布载荷和线性分布载荷,给出悬臂梁固定端利用传统边界条件和最小二乘法处理边界时,Timoshenko梁理论、Levinson梁理论和弹性力学理论的解析解,并与有限元计算结果对比.1悬臂梁高角度的位移问题取直角坐标系(x,y,z),z轴垂直于梁的中面(x-y面),假定在x方向梁长为l,x=l端为固定端,在y方向上梁为单位宽,在z方向上梁高为h,如图1所示.根据悬臂梁固定端的定义,在此截面上的所有点都固定,即满足以下纯位移的边界条件式中:ux,uz分别为x向和z向的位移.要满足如此严格苛刻的边界条件,至今仍无法获得此类边值问题的精确解.作为替代,一般采用传统的边界条件,假定固定端的形心固定且转角为零:本文把式(2)表示的位移边界叫做边界条件A.王敏中利用最小二乘法,对固定端采用位移平方取最小的边界条件,即将问题归结为本文把式(3)叫做边界条件B.2cowper梁的刚度1921年Timoshenko提出了具有2个广义位移的一阶剪切变形梁理论,并指出对于横向振动的等截面梁,剪切的影响比转动惯量大得多.Timoshenko梁理论对梁的变形情况作如下假设:在变形前垂直于梁中面的横截面,在变形后仍保持为平面,与变形后的中性层有一个转角ψ(以从x轴经90°到z轴的转向为正).梁内各点的位移用中面转角ψ和挠度w来表示:为了考虑剪应力在截面上的非均匀分布,而又仍然能保持一维梁的计算方法,Cowper引进剪切系数κ,当横截面为单位宽的矩形时,κ2=10(1+ν)/(12+11ν),ν为泊松比.梁的剪力Qx和弯矩Mx表达式可用中面转角ψ和挠度w来表示,分别为式中:I=h3/12,E为弹性模量,G=E/[2(1+ν)]为剪切模量,上标“'”代表函数对x的一次导数.梁上表面承受横向分布载荷q(x)时,其上表面应力边界条件为式中:上标“〞”代表函数对x的二次导数.从式(4)中可知,Timoshenko梁理论是一阶剪切变形理论.Euler-Bernoulli梁理论则相当于0阶梁理论.1981年,Levinson给出了一种三阶剪切变形梁理论,与Timoshenko梁理论相比,在变形前垂直于梁中面的横截面,在变形后不再假设其保持为平面,而是曲面.Levinson理论中梁内各点的位移用中面转角ψ和挠度w来表示为式中:表示剪切角,有梁的剪力Qx和弯矩Mx表达式可用中面转角ψ和挠度w来表示,分别为当梁上受横向分布载荷q(x)作用时,其应力边界条件为Levinson三阶梁理论与Timoshenko一阶梁理论相比,在许多情况下可以为工程应用提供更加精确的结果.3在不同的负荷下，levenson悬臂梁的自由端部张力3.1悬臂梁固定端挠度考虑悬臂梁在自由端x=0处作用沿z向的切向力F的情况.当梁固定端的位移边界条件按照边界条件A处理时,由文献可知自由端中点的挠度为现在考虑利用边界条件B,重新确定梁自由端中点的挠度.设悬臂梁自由端受切向力作用时的挠度表达式为式中:a1,b1,c1和d1为待定常数,由边界条件求得.因梁表面没有横向分布荷载,即q(x)=0,则式(10)变为可得悬臂梁自由端即x=0处的力边界条件为Mx=0,Qx=-F,由式(9),得将a1,b1的值代入ψ和w的表达式,再代入式(7),得到位移的表达式为当x=l时,由式(3)可知:可求出待定常数c1,d1为由此得到最小二乘法确定边界条件时悬臂梁挠度的表达式为对应的自由端挠度为比较式(11)和式(18)可知,悬臂梁固定端采用不同的边界条件对Levinson梁理论的解是有影响的.3.2悬臂梁自由端中点挠度的确定当悬臂梁上表面受均匀载荷q作用时,梁的挠度表达式可写为式中:a2,b2,c2,d2,e2为任意常数,可根据边界条件求得.若梁表面受到横向均布荷载,则式(10)变为对式(20)进行化简,有对ψ求关于x的一次导数,与式(21)中的ψ′进行比较,因式(21)对x取任意值的情况均成立,因此有悬臂梁自由端即x=0处的力边界条件为Mx=0,Qx=0,将式(21)和式(19)代入式(9)可得将a2,b2,c2的值代入ψ和w的表达式,再代入式(7),得到位移的表达式为利用悬臂梁固定端的位移边界条件A,即x=l,z=0时,w=uz=0,,由式(22)可知则边界条件A对应的挠度表达式为相应的梁自由端中点的挠度为利用边界条件B,即x=l时J有最小值,下式成立:将式(22)代入式(24)计算,得到常数d2和e2分别为则边界条件B对应的挠度表达式为相应的梁自由端中点挠度为3.3悬臂梁挠度的确定对于上表面受线性载荷q(x)=q0x作用的悬臂梁(其中q0是载荷常数),梁的挠度表达式可写为式中:a3,b3,c3,d3,e3,f3为任意常数,由边界条件确定.因梁表面受到横向线性分布荷载,即q(x)=q0x,则式(10)变为对式(27)进行化简,有对ψ求关于x的一次导数,与式(28)中的ψ′进行比较,因式(28)对x取任意值的情况均成立,因此有悬臂自由端即x=0处的力边界条件为Mx=0,Qx=0,将式(28)和式(26)代入式(9)可得将a3,b3,c3的值代入ψ和w的表达式,可知位移为利用悬臂梁固定端的位移边界条件A,即x=l,z=0时,w=uz=0,,由式(29)可知则边界条件A对应的挠度表达式为相应的梁自由端中点的挠度为利用边界条件B,即x=l时J有最小值,下式成立将式(29)代入式(31)计算,得到常数e3和f3分别为则边界条件B对应的挠度为相应的自由端中点挠度为4悬臂梁边界条件下的挠度利用悬臂梁固定端位移边界条件A,结合式(5)和式(6)构成的力边界条件,研究悬臂梁承受前述3种载荷的边值问题.得到相应的自由端中点挠度分别为利用位移边界条件B和力边界条件,可以推导得到边界条件B对应的悬臂梁在3种载荷下自由端的挠度,与式(33)的结果完全一致,这是因为Timoshenko梁理论是一阶剪切变形梁理论,即位移表达式是关于z的一阶函数.5有限元分析验证为便于比较,把3种载荷条件下的自由端中点的挠度分别写为由不考虑剪切效应的Euler-Bernoulli梁理论可知,α1,α2,α3是剪切变形梁理论的剪切项,它在短梁、夹层结构和振动问题中起着不可忽视的作用,只与泊松比ν和长高比l/h有关.如表1所示总结了悬臂梁承受3种不同载荷时,利用2种位移边界条件获得的3种梁理论的剪切项表达式,其中,弹性力学理论中梁自由端受集中力F和表面受均布载荷q的解在文献中已经给出,梁表面受线性荷载q0x的解是作者采用同样的方法计算得到的.从表1可以得出如下结论:利用最小二乘法求解Timoshenko梁,与用传统边界条件得出的结果相同;Levinson梁理论和弹性力学理论在2种边界条件下,则得到不同的解.有限元数值计算方法可以无限接近地满足悬臂梁固定端的位移边界条件.采用有限元分析软件(ANSYS),计算在相应载荷下的梁自由端中点的挠度.在自由端承受切向力时,按照文献的加载方法.在上表面承受均布载荷及线性载荷时,均使用ANSYS自带的载荷加载模块.选取ν=0.25,长高比l/h为1,2,3,5,分别将梁划分为60×60,60×60,80×80,100×100的网格进行分析.不同梁理论对应的α值与有限元计算结果的对比如表2所示.由表2可知,随着载荷阶次的增加和长高比的减小,3种梁理论的剪切项越来越大,对挠度的影响甚至会超过非剪切项的比重.所以剪切效应在短梁和承受复杂载荷的梁中起着重要的作用.若与有限元法得到的剪切项数值结果相比较,Levinson梁理论和弹性理论采用边界条件B的结果均明显小于边界条件A,更接近有限元计算的结果.这种优势随着载荷阶次的增加而越加明显.如线性载荷情况下,l/h=5时,边界条件A的结果与有限元结果相比,Levinson梁理论的相对误差为62.3%,弹性理论为76.4%,而用边界B处理后相对误差分别仅为-7.2%和9.6%.因此,用最小二乘法确定悬臂梁的位移边界条件,能够显著改善Levinson梁理论和弹性理论的解析解.表2同时表明,对于悬臂梁自由端受集中力的情况,弹性理论得到的剪切项与Timoshenko的结果完全一致;对于悬臂梁受均布和线性分布载荷的情况,Levinson梁理论采用最小二乘法处理后的剪切项整体上比Timoshenko梁理论更接近有限元计算的结果.为进一步探究梁固定端位移边界条件A和B的差别,以及揭示表2中采用边界条件B的解优于A的解的原因,下面以l/h=5,悬臂梁上表面承受均布载荷q的情况为例进行分析.2种边界条件得到的固定端截面的水平无量纲位移uxE/(qh)如图2所示.可以看出,边界条件B比A更接近于ux=0,也就是B比A更接近于固定端位移边界条件的定义式(1).虽然边界条件B仍是对式(1)的近似,但可得到优于边界条件A的结果.6悬臂梁自由端中点挠度的剪切效应本文基于Timoshenko和Levinson剪切梁理论,针对悬臂梁承受3种载荷的情况:自由端受切向力,上表面受均布载荷和线性分布载荷,研究了悬臂梁在2种固定端的位移边界条件下的位移场,并与有限元结果进行了对比.通过计算3种载荷下4种长细比(l/h)的悬臂梁自由端中点挠度的剪切项的值,可知,随着悬臂梁长细比的减小和所承受载荷的