2022高3统考数学文北师大版1轮教师文档：第6章 含答案

第六章

DILIUZHANG

不等式、推理与证明

第一节不等式的性质及一元二次不等式

回顾教材•夯实基础课本温故追根求源

授课提示：对应学生用书第103页

［基础梳理］

1.不等式的基本性质

(1)对称性:a>b^=>b<a.

(2)传递性:a>b,b>c=>a>c.

(3)可加性:a>b=>a+c>b+c.

(4)可乘性:a>b,c>O^ac>bc；

a>b,c<O=>ac<hc.

(5)加法法则：a>b,c>d=>a+c>b+d.

(6)乘法法则：a>b>0,c>d>O=^ac>hd.

(7)乘方法则：［泌>0=/>"(〃£N,〃21).

(8)开方法则：。>。>0今版>知以〃£N,〃>2).

2.不等式的倒数性质

(1)a>b,

⑵〃<o<z?=:<*

⑶〃>0>0,0<c<d=^~>^j.

3.两个实数比较大小的依据

⑴a—b>O=a沙

(2)。~b=0=。三A

(3)。—h<O<=^a<b.

4.一元二次示等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

有两个相等实根XI=

一元二次方程加+法有两个相异实根汨，没有实数

b

+c=0(G>0)的根X2(X\<X2)应一五根

ajc++c>0(tz>0)的

{x|xVX|或X>X2}{xlxWxi}R

解集

ax1+bx+c<0(6z>0)的

00

解集

■知识拓展提升思维能力

1.两个重要不等式

若a>b>0,m>0,则

bb+mbb-m

⑴一V,；->----(b—m>0).

aa+maa—m

aa~\~maci-m

(2)7>7-7-;

b+mbb—nv7

2.一元二次不等式的解法技巧

求不等式加+云+。>0(。>0)的解集，先求出对应方程的

根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集.

3.分式不等式的转化

f(x)

>0a穴分g(x)>0；

于(x)、J/(x)-g(x)20

g(x)(%)WO

f(x)1\f(%)-g(X)WO

g(x)[g(x)WO

[四基自测]

1.(易错点：不等式性质)下列四个结论，正确的是()

①a>b,c<d=a—c>b—d；②a>/?>0,c<d<O=^ac>bd；③a>/?〉0=>\[b；

④a>b>O=>A>去

A.①②B.②③

C.①④D.①③

答案：D

2.(基础点：解不等式)不等式x(9—x)<0的解集为()

A.(0,9)

B.(9,+°0)

C.(—8,0)

D.(—8,0)U(9,+8)

答案：D

3.(基础点：三个二次间的关系)若函数丁=副相『一(1—/〃)x+m的定义域为R,

则〃，的取值范围是.

答案：弓，+8)

\x+1xWO

4.(基础点:解函数不等式)设/U)=°八，则危)2的解集为________

U■-x>0

答案：{0}U[l,+00)

考点分类•深度剖析名师导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第104页

考点一比较大小及不等式性质

挖掘1作差法(作商法)比较大小/自主练透

［例1］⑴已知。>0,且m=a/+l,〃=废"，则()

A.B.m>n

C.m<nD.

［解析］由题易知"2〉0,〃>0,两式作商，得K=。(。2+1)—(a+i)=a"5i),当。>1

时，«(<z-l)>0,所以淤aT)>a°=l,即机>〃；当0<”1时，tz(a-l)<0,所以

相(G)>a°=l,即加〉〃.综上，对任意的a>0,a#l,都有〃?>〃.

「答案］B

(2)已知a>0,bX),且aW。，则()

A.ab+\>a+bB.o'+ly'X^b+ab1

C.2a3h>3a2bD.0a眇<0bb"

［解析］选项A(作差法),ab+1—(a+£>)=a/>—a+(l—b)=a(b—1)+(1—b)=(a

—1)(/?—1),

显然当a,b中有一个等于1时，(a-l)(Z?-l)=0,即ab+i=a+h;故选项A

不正确.

选项B(作差法)，“3+〃_(庶b+ab2)=(tz3—//+(护—ab2)=屋(a一份+从S—a)

=(a2—h2)(a-b)=(a—b)2(a+b).

因为a>0,b>Q,a^b,所以a+/>>0,(a—匕门〉。，(a—h)2(a-1-h)>0,即a3+/?3>a2Z?

-\-ab~,故选项B正确.

［答案］B

［破题技法］作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解

决比较大小问题的基本方法；作商法适用于嘉指数形式的代数式以及整式的比较

大小问题.破解此类题的关键点：

(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商.

(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小.

(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小.

(4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大

小关系.

挖掘2利用不等式性质比较大小/自主练透

［例2］(1)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是()

A.xy>yzB.xz>yz

C.xy>xzD.x|j|>z|y|

［解析］因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,所以x>0,又y>z,所以

xy>xz,故选C.

［答案］C

(2)(2020•福建厦门一模)已知a>b>Q,x=a+beb,y=b+aecl,z=b+aeb,则()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

［解析］法一：由题意，令a=2,b=l,则x=2+e,y=l+2e2,z=l+2e,显

然有l+2e2>l+2e>2+e,即xVzVy.

法二：a>b>0时，ea>eb,ae<l>aeb>beb,

b-\~aea>b-\-aeb>b+beb,.'.y>z,'.7一x=(/?—a)+(a—b)e"=(a—b)(e"-1)>

0,.,.z>x,.♦.xVzVy.故选A.

［答案］A

［后题技法］不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比

较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法.适用

于基本初等函数代数式的比较大小问题.破解此类题的关键点：

(1)明已知，明确已知的不等关系.

(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程.

(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质.

(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系.

挖掘3构造函数法比较大小/互动探究

［例3］(1)(2019・高考全国卷H)若则()

A.ln(ai)>0B.3yb

C.。3—〃>0D.

［解析］法一：不妨设。=-1,b=-2,则。>匕，可验证A,B,D错误，只有

C正确.

法二：由a>b,得a一分>0.但a一方>1不一定成立，则ln(a—/?)>0不一定成立，

故A不一定成立.

因为在R上是增函数，当时，3">3〃，故B不成立.

因为ju%3在R上是增函数，当a>分时，a3>b\即〃一〃>(),故C成立.

因为当a=3,〃=一6时，a>b,但同〈|加，所以D不一定成立.故选C.

［答案］C

⑵(2018•高考全国卷III)设a=logo_20.3,^=log20.3,则()

A.a-\-b<ah<0B.ab<a+〃V0

C.a+b<Q<abD.ab<Q<a+b

［角星析］*/a=logo.20.3>logo.21=0,Z?=log20.3<log21=0,ab<0.

a+b11

V-^-=-+^=logo.30.2+log(),32=log(),30.4,

...1=logo.30.3>logo,30.4>logo.31=0,

a+b

/.0<—^-<1,：.ah<a+b<0.

ab

故选B.

［答案］B

［破题技法］将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得

出大小关系.

考点二一元二次不等式的解法

挖掘1解简单的一元二次不等式/自主练透

［例1］不等式一f—3x+4>0的解集为.(用区间表示)

［解析］—%2—3x+4>0=>(x+4)(x—1)<0.

如图，作出函数y=(x+4)(x—1)的图像，

.,.当一4<x<l时，><0.

［答案］(—4,1)

［破题技法］一元二次不等式的解集可依据一元二次方程的根及一元二次函数

图像求得，

当加+法+。=0有两根Xi、X2时，

加+bx+c>om>o)的解集是“两根之外”型，

以2+bx+cvom>o)的解集是“两根之内”型.

.变式训练培养应变能力

1.将本例的不等式改为“一f—3x+4W0”，其解集为.

解析：由一x2—3x+4W0得W+3x—4N0,

即(x+4)(x—1)20,.•.冗21或%W—4.

答案：(-8,-4］U［1,4-oo)

2.将本例的不等式变为“/-31+4>0”,其解集为.

解析：令y=/—3x+4,VJ=(-3)2-4X4<0,y>0恒成立.：.x^R.

答案：R

挖掘2解含参数的不等式/互动探究

［例2］解不等式x2—4ax—5a2>0(a0).

［解析］由A2—4ox—5(72>0,

知(x—54)。+。)>0.

由于故分a>0与a<0讨论.

当a<0时，x<5a或x>—a\

当a>0时，x<-a或x>5a.

综上,时，解集为｛x|x<5〃或尤>一〃｝;

a>0时，解集为｛x|第>5。或x<—a］.

［破题技法］对含参数的一元二次不等式，也要按此原理讨论

方法解读适合题型

化为"aK+bx+c〉。"(a>0)的形式，求方程不含参数的

“二次关系

加+法+c=0的根，结合图像，写出解集“大一元二次不

数形结合”

于取两边，小于取中间”等式

①二次项中的系数含参数，讨论等于0,小于

0,大于0；含参数的不

讨论参数法

②方程根个数不定，讨论/与0的关系；等式

③根的大小不定时，讨论两根大小

J变式训练培养应变能力

此题变为：求解不等式取2—2%+十20.

((2X-1)之

解析：显然aWO,...不等式变为---------20,

二当(7>0时，xWR,

当a<0时，x=5.

挖掘3已知不等式的解集求参数/互动探究

［例3］(1)(2020.河南濮阳模拟)已知不等式a^+bx+cX)的解集是*|aVx<

夕｝(a>0),则不等式以2+bx+aV0的解集是()

1

A

*；)B.(―8,加色+oo)

c

{A-<x<八D.(一8,a)U(£,+8)

枸

摩

不等式加+/?犬+。>0的解集是｛x|aVxV£｝(a>0),则仅是一元二次

bc

方程ar+bx+c=O的实数根，且a<0,'.a+/3=~~,a/=£.不等式c^+bx

C*h

+aV0化为—f+r+1>0,

aa

2

：.a/3x~(a+/3)x+\>Q,化为(如一1)体一l)>0,又OVaV夕，.'/>^>01.•.不

等式cjc+bx+a<0的解集为卜xV；或x>>，，故选B.

［答案］B

(2)(2020•广东梅州模拟)关于x的不等式f一(机+2)x+2〃?V0的解集中恰有3个

正整数，则实数机的取值范围为()

A.(5,6］B.(5,6)

C.(2,3］D.(2,3)

［解析］关于x的不等式X2—("?+2)九+2"?V0可化为(％一,")(x—2)V0,,该不等

式的解集中恰有3个正整数，...不等式的解集为｛x|2VxVm｝,且5V/nW6,即

实数〃2的取值范围是(5,6］.故选A.

［答案］A

垦_同源异考重在触类旁通

已知不等式aj^+bx+cX)的解集为g，3),则不等式cx2+hx+a<0的解集为

解析：由题意得x=g,3是方程加+a+c=0的两根，

73

'.b=~2a,o=呼（。<0）,.".cx2+/?x+a<0,即为3/—7x+2>0得x>2或xV

1

3,

答案：（一8,1）U（2,+°0）

考点三不等式恒成立问题

挖掘1在R上恒成立问题/自主练透

［例1］不等式。2+8序》M3+份对于任意的4,AWR恒成立，则实数2的取值

范围为.

［解析］因为/+泌22劝(。+加对于任意的a,Z?eR恒成立，所以4+8/一

+与20恒成立，即a2—»“+(8一力丛》。恒成立，由二次不等式的性质可得/

=^h2+4(2-8)Z?2=Z?2(22+42-32)^0,所以«+8)(2—4)・0,解得一8W2W4.

［答案］［-8,4］

［破题技法］不等式恒成立常见题型：

%=0,

叽a>0。,，或

(l)ax2+bx-{-c^0(x^R)恒成立，〃=0,

、c》0.

,「。=0,

a<0,

(2)加+/?x+cWO(x£R)恒成立，53

一同源异考重在触类旁通

(2020・湖南湘潭联考)若不等式4?+ar+4>0的解集为R,则实数a的取值范围

是()

A.(-16,0)B.(-16,0］

C.(—8,0)D.(-8,8)

解析：•不等式4』+以+4>0的解集为R,

.,.J=«2-4X4X4<0,解得一8VaV8,；.实数a的取值范围是(一8,8).故选

D.

答案：D

挖掘2在给定x的区间上恒成立问题/互动探究

［例2］(1)(2020.郑州调研)若不等式f+ax+120对一切xe(0,1都成立，则a

的最小值是.

［解析］法一：由于x>0,则由已知可得x—g在3上恒成立，而当

xG(0,1时，(一尤一=—5,

I2」IA/max2

故〃的最小值为一方

法二：设兀0=/+。氏+1,则其对称轴为尤=一/

①若一?当即后一1时，危)在(0,3上单调递减，此时应有从而一

—1.

②若一?<0,即a>0时，“¥)在(0,；上单调递增，此时应有式0)=1>0恒成立，

故a>0.

7ale7.,,,,/d\erer,/»、

③右OW一7巧，即一l<a〈O时，则应有八一一爹+1=1一恒成v立,

故一1<。<0.

综上，。的最小值为一|.

［答案］-f

(2)已知“¥)=〃百一相X-1,若对于x£［l,3］,穴%)<一加+5恒成立，则实数相

的取值范围是.

［解析］由nv^—mx—1<—777+5

得m(x2—x+1)<6.

Vx2—x+1>0,

・・・人〈『_：+］在［1,3］上恒成立・

,66

?产/一x+l=13,

(x-2+4

13

•.•/=(x—］)2+w在［1,3］上是增函数，

:・y=(2尢।j在［1,3］上是减函数.

因此函数的最小值ymin=¥

/.m的取值范围是(—00，苧).

「答案］(一8,马

［破题技法］L不等式成立常见题型

(I)%2+〃ix+〃W0(xe［a,句)恒成立，

［f(«)W0,

即《

匕⑹W0.

f(«)20,

(2)—<+〃”:+〃20(》6［a,句)怛成立，即J

f(.b)30.

2.二次不等式在给定x的区间上恒成立有两种解法：

(1)分离参数法：即如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比

较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解.a2/(x)恒成立等价于

a，/(x)max；aW/(x)恒成立等价于aW/(x)min.

(2)讨论法：将问题整理为二次不等式问题，讨论轴与区间的关系，求参数范围.

挖掘3给定参数范围恒成立求未知数范围/互动探究

［例3］(1)对于任意。金［—1,1］,於)=/+(。-4)x+4—2a的值恒大于0,那么

x的取值范围是.

［解析］令g(a)=f+(a-4)x+4—2a=(x—2)a+*2—4X+4,由题意知g(—l)>0

且g⑴〉0,解得x<l或尤>3.

［答案］(i8,1)u(3,+°°)

(2)不等式加一2%—。+1〈0对满足间忘1的一切实数。都成立，则实数x的取值

范围是.

［解析］由⑷W1,得一iWaWl,不等式变形为（f-Da—Qx—DVO,不等式可

1—⑵-1）<0

以看成关于。的一次函数，所以只需1，，、,'、

I-0?-1）-⑵-1）<0,

2

X—2x<0,广

即:Tf+2<0,解得小一VVZ

［答案］（小一1,2）

［破题技法］给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作''主

元”，即将参数看作“自变量”的构造函数，建立不等式.

第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

回顾教材•夯实基础______课本温故

授课提示：对应学生用书第107页

［基础梳理］

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+OO直线土+3y+C=0某一侧不包括边界直线

及+为+ceo的所有点组成的平面区域包括边界直线

不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的有关概念

名称意义

约束条件由变量x,y组成的丕篁式（组1

线性约束条件由x,y的一次不等式组成的不等式（组1

目标函数关于x,y的函数解析式,如z=x+2y

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小

线性规划问题

值问题

■知识拓展提升思维能力

确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法

确定二元一次不等式（组）表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定

域”的方法.

⑴直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内.

（2）特殊点定域，在直线上方（下方）取一点，代人不等式成立，则区域就为上方（下

方），否则就是下方（上方）.特别地，当CW0时，常把原点作为测试点；当C=0

时，常选点（1,0）或者（0,1）作为测试点.

（3）对于Ar+B.y+C>0的区域：

A「

当8>0时，化为y>一了:一方，直线上方；

AQ

当BVO时，化为yV一万r—豆，直线下方.

［四基自测］

答案：C

j4x+5y»8,

2.（基础点：线性目标函数最值）若变量x,y满足约束条件J1WXW3,则2=

3x+2y的最小值为（）

31

A."yB.6

23

C.yD.4

答案：C

3.（基础点：线性目标函数最值X2018.高考全国卷I）若x,y满足约束条件

卜一2y—2W0,

{x~y+120,则z=3x+2y的最大值为________.

〔户0,

答案：6

4.（基础点：平面区域面积）不等式组《x+3y24,所表示的平面区域的面积等于

4

答案：§

考点分类•深度剖析______名师导悟以例示法

授课提示：对应学生用书第107页

考点一平面区域及面积问题

挖掘求区域面积或参数/自主练透

（2尤+y—6W0,

［例］（1）（2020.济南模拟）不等式组［x+y—320,表示的平面区域的面积为

〔户2

（）

A.4B.1

C.5D.无穷大

（2x+）-6W0,

［解析］不等式组什+y一320,表示的平面区域如图所示（阴影部分），AABC

〔户2

的面积即为所求.求出点A,B,C的坐标分别为（1,2）,（2,2）,（3,0）,则△A3C

的面积为S=1x（2-l）X2=l.

「答案］B

卜+y—3W0,

⑵若函数y=2"图像上存在点（、y）满足约束条件｛x—2y—3W0,则实数机的最

〔X2〃2,

大值为（）

A.gB.1

C.|

D.2

x+y—3W0,

［解析］在同一直角坐标系中作出函数y=2x的图像及，卜2厂36所表示的平

面区域，如图阴影部分所示.

由图可知，当时，

函数y=2x的图像上存在点（*,>）满足约束条件,

故m的最大值为1.

「答案］B

⑶已知不等式组1x+3y24,所表示的平面区域的面积被直线>=履+：分为

2：1两部分，则k的值是.

［解析］不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线过定点(0,因此只有直线过A3的三等分点时，直线>=日

4

+§能把平面区域分为2：1两部分.

因为A(l,1),伏0,4),所以A8靠近A的三等分点为停，2),靠近8的三等分

点为g,3),当y=fcc+)过点停,2)时，k=l,当过点停,3)时,k=5.

［答案］1或5

［破题技法］求平面区域的面积

⑴首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条

件转化为不等式组问题，从而作出平面区域.

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行

四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个

三角形分别求解再求和即可.

⑶利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方

法去求解.

考点二线性规划中的目标函数最值问题

挖掘1不含参数的线性目标函数最值/自主练透

f2A:+3y—620,

［例1］(1)(2019・高考全国卷H)若变量x,y满足约束条件卜+y—3W0,则z

［y-2W0,

=3x—y的最大值是.

［解析］作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y

=3x—z过点C时，一z最小，即z最大.

x+y-3=0

2%+3y-6=ox^L/；义

o\1

x+y—3=0,|x=3,

由V;解得V

［2x+3y-6=0,ly=0,

即C点坐标为(3,0),故Zmax=3X3-0=9.

［答案］9

pc+2y—520,

(2)(2018.高考全国卷H)若x,y满足约束条件｛x-2y+320,则z=x+y的最大

lr—5W0,

值为.

［解析］由不等式组画出可行域，如图（阴影部分），x+y取得最大值=斜率为一

1的直线x+y=z（z看作常数）的横裁距最大，

由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.

x=5

由'匕一2；+3=。得点熊，4），

・・Zmax=5+4=9.

［答案］9

2x+y+320,

⑶（2018.高考全国卷III）若变量x,y满足约束条件x—2y+4N0,则z=x

2W0,

的最大值是

［解析］画出可行域如图所示阴影部分，由z=x+｝得y=—3x+3z,作出直线

y=-3x,并平移该直线，当直线y=—3x+3z过点A（2,3）时，目标函数z=x+

上取得最大值为

［答案］3

［破题技法］求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的

顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应

的数值，从而确定目标函数的最值.

挖掘2含参数的线性目标函数问题/互动探究

Cx+y^O,

［例2］⑴变量x,y满足约束条件｛x-2y+220,若z=2x~y的最大值为2,

〔ax—yWO.

则实数加等于()

A.12B.—1

C.1D.2

［解析］如图所示，当机W0时，比如在①的位置，此时为开放区域无最大值，

当相＞2时，比如在②的位置，此时在原点取得最大值，不满足题意，当0＜加＜2

［x~2y+2=Q,

时，在点A取得最大值，所以.=＞

ynx-＞,=0

(22m、...一

代入好机

A\2m—1r,z2m-Ir/,=1.

［答案］C

卜一yWl,

(2)已知实数x,y满足｛x—2y+2\0,若z=x—ay只在点(4,3)处取得最大值,

【2x+y22,

则实数a的取值范围是________.

pc—yWl,

［解析］法一：由不等式组，x—2y+220,作出可行域如图，

12x+y22

fr

-3

-4

-5

x-2v=—2,

联立＜'解得C(4,3).

［x~y=1,

当。=0时，目标函数化为z=x,由图可知，可行解(4,3)使z=x—ay取得最大

值，符合题意；

1z

当a>0时，由z=x一砂，得丁=7—7此直线斜率大于。，当在y轴上的截距

最小时，z最大，

要使可行解(4,3)为目标函数z=x—ay取得最大值的唯一最优解，则!>1,即0

<a<1,符合题意；

17

当a<0时，由z=x—ay,#此直线斜率为负值，当在y轴上的截距

最大时，z最大，

要使可行解(4,3)为目标函数z=x—ay取得最大值的唯一最优解，则><0,即a

<0.

综上，实数a的取值范围是(一8,1),

法二：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(l,0),

B(1,3,C(4,3),当直线z=x—ay过点A时得zi=l;当直线z=x-ay过点慰,

弓)时，Z2=§一铲；当直线z=x—ay过点C(4,3)时，Z3=4—3a,由题可知

4—3a>1,

［答案］(­°°,1)

［破题技法］由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参数问题的基本方法

有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代

入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先

分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优

解的位置，从而求出参数.

挖掘3非线性目标函数的最值/互动探究

卜一2y+4W0,

［例3］⑴(2020.河南郑州一模)已知变量光，y满足｛x22,则仁当的

Lx+y—620,

取值范围是()

A.或B.-5WAV：

C.一54母D.43或收一5

卜一2y+4W0,

［解析］由约束条件｛x»2,作出可行域，如图中阴影部分所示，其中

［x+y—620

y+1

A(2,4),女==5的几何意义为可行域内的动点(x,y)与定点P(3,—1)连线的斜

值为()

A-2B-4

［解析］画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z=/+2x+y2=

(x+l)2+/-l,其几何意义是平面区域内的点(x,y)到定点(一1,0)的距离的平

方再减去1,观察图形可得，平面区域内的点到定点(-1,0)的距离的最小值为g,

故的最小值为Zmin=1-1=~选D.

［答案］D

(x-y+220,

(3)实数x,y满足不等式组《2x—y—5W0,则z=|%+2>—4］的最大值为

Lr+y—420,

［解析］作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z=|x+2y一

2x-y-5=0

4|=|A+^~4IX小，其几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y—4=0的距离

的小倍.

x-y2==0

由＜'得3点坐标为(7,9),显然点3到直线x+2y-4=0的距离最

、2x—y—5=0,

大，此时Zmax=2L

［答案］21

［破题技法］求解非线性目标函数的最值

y-b

利用几何意义来求.(斜率型:z=.

1)x-a

(2)两点间的距离型：z=川(x—a)2+(y—力)2.

(3)点到直线的距离型：z=\Ax+By+C］.

考点三线性规划的实际应用及创新应用

挖掘1线性规划的建模/互动探究

［例1］(1)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,8两种

车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行

社要求租车色数不超过21辆，且B型车不多yA型车7辆.则租金最少为()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

［解析］设租用A型车x辆，8型车y辆，目标函数为z=l600x+2400y,则约

〃36x+60y2900,

x+yW21,

束条件为《■,

y-xW7,

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值Zmin

=36800(元).

「答案］C

⑵某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B

原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的

利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，

要求每天消耗A,8原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生

产的甲、乙_两种产品中，公司共可获得的最大利润是()

A.1800元B.2400元

C.2800元D.3100元

［解析］设该公司生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，获利为z元，则x,y满足

目标函数z=300x+400y.

作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其内部整点.

2x+y=12,

作直线/o：3x+4y=O,平移直线/o经可行域内点8时,z取最大值，由彳,'

x+2y=12,

得8(4,4),满足题意，所以Zmax=4X300+4X400=2800(元).

［答案］c

［破题技法］1.在实际应用问题中，通过建立约束条件求出线性目标函数的最优

解，体会线性规划的建模与实际意义.

2.一般步骤为：

(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借

助表格或图形理清变量之间的关系.

(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x,y,并列出相应的

不等式组和目标函数.

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).

(5)检验：根据结果，检验反馈.

挖掘2线性规划的创新应用/自主练透

"3x—2y—3W0,

［例2］(1)(从“整点”视角)已知上一3丁+620,则不等式组所表示的区域内

—2N0,

整数点的个数为

［解析］法一：画出约束条件所表示的平面区域如图所示，在平面区域中画网

格线，由图可见，平面区域内有6个整数点.

法二：画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3,3),B(0,2),

C(l,0),则0W九W3,xez.

「、33

f3x—2y—3^0,

由1x—3y+620,d,4+2,

12无+y—220,

2x.

当x=0时，y=2,此时整数点个数为1;

7

当x=l时，由OWyWg,y^Z,得y取值为0,1,2,此时整数点个数为3;

3R

当x=2时，由yGZ,得y取值为2,此时整数点个数为1;

当x=3时，)=3,整数点个数为1.

综上所述，平面区域内有6个整数点.

［答案］6

x+y26,

(2)(从“命题条件”视角)(2019.高考全国卷III)记不等式组.表示的平

面区域为D命题p：丸x,y)W。，2x+y29；命题q：V(x,y)e。，2x+yW12.

下面给出了四个命题

①pVq②③痴④㈱〃八痴

这四个命题中，所有真命题的编号是()

A.①③B.①②

C.②③D.③④

［解析］法一：画出可行域如图中阴影部分所示.

目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z—2x+y的

纵截距.显然，直线过点A(2,4)时，Zmin=2X2+4=8,即z=2x+y»8.

.,.2x+yE［8,+8).由此得命题p：3(x,y)eo,2x+y29正确；

命题q,V(x,y)&D,2x+yW12不正确..•.①③真，②④假.故选A.

x+y26,

法二:取x=4,y=5,满足不等式组彳'、且满足2x+y29,不满足2x

［2x—y^0,

+yW12,故〃真，q假.

...①③真，②④假.故选A.

［答案］A

(3x—2y—3(0,2

⑶(从“概率”视角)已知《x—3y+620,表示的区域为Q,不等式「一以+(y

L+y-220

-1)2或；表示的区域为八向。区域均匀随机撒280颗豆子，则落在区域，中的

豆子数约为.(71^3.1)

［解析］画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3,3),8(0,2),

C(l,0).区域。的面积为&ABC=2，区域，的面积为全所以向。区域内随机

7T

8

撒豆子，落入区域广的概率为/弓=Z元o,故落入区域，的豆子数为Z布oX280=10兀仁31.

［答案］31

(4)(从“转化为二元变量”视角)设等差数列｛小｝的首项为⑶，公差为d,前九项

和为S.若4aWa3+3,必・2。1+6,Sz》2,则数列｛斯｝的前4项和S4的最大值

为•

［解析］该题可用线性规划来求解，

4aiW&3+3,j3al—Id—3W0,

“4W2ai+6,得<0—34+620,§4=4卬+6d.

{S222,&|+4-220,

如图所示，S4在点A(3,3)处取得最大值，

即当ai=d=3时，(S4)max=4X3+6X3=30.

［答案］30

［破题技法］对于线性规划无论从哪个视角创新，都是涉及二元一次不等式(组)

问题，用“形”表示区域，数形结合，直观想象来解决问题.

第三节基本不等式及其应用

回顾教材•夯实基础课本温故追根求源

授课提示：对应学生用书第110页

［基础梳理］

1.重要不等式

a2+b2^2ab(a,R)(当且仅当a=b时等号成立).

2.基本不等式：板《粤

(1)基本不等式成立的条件是a>0,b>0.

(2)等号成立的条件是：当且仅当a=b时取等号.

(3)其中皆称为正数a,b的算术平均数,旃称为正数a,b的几何平均数.

3.利用基本不等式求最值问题

已矢口x>0,y>0,贝lj：

(1)如果积孙是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2g(简记：积

定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，xv有最大值是片简记:和定积

最大)

_L知识拓展提升思维能力

1.基本不等式的两种常用变形形式

(a,Z?eR,当且仅当时取等号).

（2）a+b22Mm>0,h>0,当且仅当时取等号）.

2.几个重要的结论

一+从

⑴丁？2

(2)，+注2(而>0).

2I—,a+b[i苧40,

(3)]~WA/'b>0).

一+工V

ab

［四基自测］

1.（基础点：求积的最值）设x>0,y>0,且x+y=18,则孙的最大值为（）

A.80B.77

C.81D.82

答案：C

2.（易错点：不等式的应用条件）若x<0,则x+%）

A.有最小值，且最小值为2

B.有最大值，且最大值为2

C.有最小值，且最小值为一2

D.有最大值，且最大值为一2

答案：D

3.（基础点：构造不等式的定值）已知x>l,则x+74的最小值为_______.