2023年苏州工业园区中考数学一模试题（解析版）

文档仅供参考2022～2023学年初三教学调研试卷数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．1.在，，，这四个数中，最大的数是（）A. B. C. D.2.太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.4.若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定5.某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（）A.64人 B.65人 C.66人 D.67人6.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（）A. B.C. D.7.小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．9.计算：__．10.已知，，则______．11.已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．12.一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.13.根据图中父女两人的聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为______元．14.如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为______．15.对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．16.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．17.计算：．18.解不等式组：19.先化简，再选择一个合适的的值代入求值．20.已知关于的一元二次方程．（1）若该方程有一个根是，求的值；（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．21.如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．22.某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030…y（件）252010…已知日销售量是售价的一次函数．（1）求与函数表达式；（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？23.如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）已知，，求四边形周长．24.国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）25.如图，点在边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求半径长；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．26.如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．（1）求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；（3）当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．27.如图①，在四边形中，，，，，．点在上，连接、、．（1）求的长；（2）探索：是否存在这样的点，使得平分、平分同时成立?若存在，求出的长；若不存在，说明理由；（3）如图②，与相交于点，过点作，与相交于点．设、的面积分别为、．若，求的长．一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．1.在，，，这四个数中，最大的数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据实数大小比较的方法解答即可．【详解】解：∵负数小于正数，∴是这四个数中最小的数，∵，∴，∴四个数中最大的数为,故选．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．2.太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：=．故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法分别判断即可选出答案.【详解】解：A选项：，故不符合题意；B选项：，故不符合题意；C选项：，故不符合题意；D选项：，选项正确，符合题意.故答案选：D.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、完全平方公式以及整式乘法的运算法则.熟练掌握各自的法则是解题的关键.4.若点、都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．【详解】解：，∴图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x增大而增大，点在第二象限，点在第四象限，，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据当时，图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．5.某校开设了“苏扇”、“苏绣”、“剪纸”、“核雕”四个苏州传统工艺社团，并规定每位同学只能参加其中一个社团，参加社团的学生人数情况如图所示，则参加“剪纸”社团的有（）A.64人 B.65人 C.66人 D.67人【答案】C【解析】【分析】先用参加“苏扇”的人数除以其人数占比求出总人数，再用总人数乘以参加“剪纸”的人数占比即可得到答案．【详解】解：人，∴参加社团的学生人数一共有人，人，∴参加“剪纸”社团的有人，故选C．【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键．6.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键．7.小李广花荣是《水浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为．将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算正方形与圆的面积比即可．【详解】解：设圆的直径为，则正方形的对角线长为，∴圆的面积为，正方形的面积为，∴箭穿过正方形孔的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算．8.如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理求出的长，在根据旋转的性质可得，，，利用中位线的性质可求，，在根据三角形的三边关系即可求出结果．【详解】解：取的中点G，连接、，∵，，，，由旋转的性质可知：，，，∵点E、F、G分别是、、的中点，∴是的中位线，是的中位线，，，当点E、F、G不共线时，，即，当点G在线段上时，，当点F在线段上时，，综上所述，，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出、的值是解题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．9.计算：__．【答案】．【解析】【分析】根据积的乘方求解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了积的乘方，熟悉相关性质是解题的关键．10.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】把所求式子进行因式分解得到，再把已知条件式整体代入求解即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确将所求式子进行因式分解是解题的关键．11.已知一组数据3，，4，6，7，它们的平均数是5，则这组数据的方差是______．【答案】2【解析】【分析】根据平均数确定出a后，再根据方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]计算方差．【详解】解：由平均数的公式得：（3+a+4+6+7）÷5=5，解得a=5；∴方差=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]÷5=2．故答案为：2．【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以所有数据的个数．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．12.一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为__________cm3.【答案】800【解析】【详解】设长方体底面长宽分别为x、y，高为z，由题意得：，解得：，所以长方体的体积为：16×10×5=800.故答案为800.点睛：此题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数据得出关于长宽高的三元一次方程组，再由结果求得长方体的体积.13.根据图中父女两人的聊天记录，可知父亲购买无人机的预算为______元．【答案】2000【解析】【分析】设购买无人机的售价为x元，根据父亲的预算等于售价减去400元和父亲的预算等于80元加上售价的八折，列方程求解即可．【详解】解：设购买无人机的售价为x元，根据题意，得，解得，∴父亲购买无人机的预算为（元）．答：父亲购买无人机的预算为2000元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式，列出方程是解题的关键．14.如图，在半径为、圆心角为120°的扇形中，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，直线与相交于点，连接，则由、、围成的阴影部分的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，证明，根据计算求解即可．【详解】解：由题意知，为线段的垂直平分线，如图，连接交于，∴，∴，由题意知，，∴，∴，，在和中，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形的面积等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．15.对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是______．【答案】【解析】【分析】根据可知函数（，且）的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．【详解】解：∵∴函数（，且）的y随x的增大而增大∴当时，函数的函数值为边界值，∵边界值小于3∴，解得：．故答案为．【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点，，且顶点、、都在反比例函数的图像上，则顶点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则，再求出点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，∴，∵四边形是菱形，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴点B平移到点A和点C平移到到点D平移方式相同，∴点D的坐标为，又∵点D在反比例函数图象上，∴，∴，∴，∴，解得（负值舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．17.计算：．【答案】2【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18.解不等式组：【答案】【解析】【分析】先分别求出每个不等式得解集，然后根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19.先化简，再选择一个合适的的值代入求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选取一个合适的值代值计算即可．【详解】解：，∵分式要有意义，∴，即且，∴当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确化简是解题的关键．20.已知关于的一元二次方程．（1）若该方程有一个根是，求的值；（2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【小问1详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴，∴；【小问2详解】证明：由题意得，，∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．21.如图，某停车场剩下四个车位，小明观察小汽车的停车情况．（1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是______；（2）若有两辆小汽车停车，求这两辆车停在不相邻车位的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据概率计算公式求解即可（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵一共有四个车位，每个车位被选择的概率相同，∴有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：设这四个车位分别用A、B、C、D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车停在不相邻车位的结果数有6种，∴两辆车停在不相邻车位的概率为．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．22.某产品每件成本是10元，试销阶段每件产品的售价（元）与日销售量（件）之间的关系如下：x（元）152030…y（件）252010…已知日销售量是售价的一次函数．（1）求与的函数表达式；（2）当销售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设每日的销售利润为W，根据利润（售价成本价）数量，列出W关于x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设与的函数表达式为，由题意得，，∴，∴与的函数表达式为；【小问2详解】解：设每日的销售利润为W，由题意得，，∵，∴当时，W最大，最大为，∴当销售价为元时，每日的销售利润最大，最大利润是元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．23.如图，折叠矩形纸片，使点、分别落在上的点、处，折痕分别为、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）已知，，求四边形的周长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由矩形和折叠的性质可得，，，，，则，，进而结论得证；（2）在中，由勾股定理得，，由折叠的性质可得，，，则，设，则，在中，由勾股定理得，即，求的值，进而可得的值，在中，由勾股定理得求的值，然后计算平行四边形的周长即可．【小问1详解】证明：由矩形和折叠的性质可得，，，，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：在中，由勾股定理得，，由折叠的性质可得，，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，在中，由勾股定理得，∵，∴平行四边形的周长为．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24.国旗是国家的象征与标志．为了解学校旗杆的高度，某校九年级部分同学进行了以下探索．活动一：目测估计先由100位同学分别目测旗杆的高度，并将数据整理如下：旗杆高度11.512.012.513.013.514.014.515.015.5学生人数（人）6712252013854（1）目测旗杆高度的平均数是，众数是______，中位数是______；（2）根据以上信息，请你估计旗杆的高度，并说明理由．（3）活动二：测量计算随后，几名同学成立了学习小组，并利用卷尺和测角仪测量旗杆的高度．如图，他们在水平地面上架设了测角仪，先在点处测得旗杆顶部的仰角，然后沿旗杆方向前进到达点处，又测得旗杆顶部的仰角，已知测角仪的高度为，求旗杆的高度．（参考数据：，，）【答案】（1）13.0，13.25（2），理由见解析（3）旗杆的高度为【解析】【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可；（2）利用中位数进行决策；（3）由题意知，，，，则，，根据，即，求的值，根据计算求解即可．【小问1详解】解：由图表可知，众数为，中位数为第50和51个数据的平均数，第50和第51个数据分别为，，∴中位数为，故答案为：13.0，13.25；【小问2详解】解：估计旗杆高度为，理由如下：当一组数据中个别数据变动较大，可用中位数描述其集中趋势．【小问3详解】解：由题意知，，，，∴，，∵，即，解得，∵，∴旗杆的高度为．【点睛】本题考查了中位数和众数，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟掌握与灵活运用．25.如图，点在的边上，与相切于点，与相交于点，经过上的点，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径长；（3）在（2）的条件下，延长交于点，连接，求的值．【答案】（1）见解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）如图：连接交于，先说明；再根据平行线的性质可得，进而得到，再根据等量代换可得即可证明结论；（2）先根据题意可得、，设的半径为，，则；再根据勾股定理列方程组求解即可；（3）如图：设交于，连接，过M作，由勾股定理可得，进而得到；再证明，根据相似三角形的性质结合已知条件可得，进而得到；由等腰三角形的性质可得，然后再根据圆周角定理、切线的性质以及等量代换可得，最后根据正切的定义即可解答．【小问1详解】解：如图：连接交于，∵点在的边上，即是的直径，∴，∵，∴，∵，∴是垂直平分线，，∴，∴，∵与相切于点∴∴∴是的切线．【小问2详解】解：∵，，∴,设的半径为，，则∵∴,即，解得：∴的半径长为3．【小问3详解】解：如图：设交于，连接，过M作∵∴∴∵,∴∴∴，即，解得：,∴∵∴∵是的直径∴，即∵∴∴∴∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．26.如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．（1）求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；（2）当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；（3）当取（2）中值时，若，请直接写出点的坐标．【答案】（1），，（2），（3）点坐标为或【解析】【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．【小问1详解】解：当时，，当时，，整理得，即，解得，，∴，，，【小问2详解】解：如图1，连接，由题意知，，∴，∴当