能量原理的箱梁平衡控制

能量原理的箱梁平衡控制

薄柱桥的剪切收率是混凝土提升桥破裂的原因之一。国内外许多科学家对箱式桥梁的切割和沉降效果进行了大量研究[1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12和13]。主要的研究方法有:基于折板理论的精确方法,基于简化结构图式的比拟杆法,基于变分原理的能量法,基于有限元理论的数值法及基于相似理论的试验研究法。其中,基于最小势能原理的能量变分法是剪滞效应分析的有效方法。Reissner最早假设顶板纵向翘曲位移沿横向为二次抛物线分布,用最小势能原理分析双轴对称矩形箱梁的剪力滞效应。文献假设剪滞翘曲位移沿横向为三次抛物线分布,研究了对称带伸臂的单室箱梁的剪力滞问题。对文献方法的简单引用,难以考虑箱梁截面底板、顶板、悬臂板剪滞翘曲幅度一般各不相同的影响,且只能用于求解特殊边界条件下等截面箱梁的剪力滞后效应,对于一般变截面连续箱梁,仍然存在困难。有限元法具有很好的适应性,可以用于求解一般变截面连续箱梁,但是计算相对费时,且不利于结构工程师在箱梁桥初步设计时对结构参数的影响进行定性分析。文献[9-10]选取悬臂板和顶板、底板相等转角位移差函数,计入了剪切变形的影响;文献以修正的翘曲位移函数,考虑轴力自平衡条件,建立了刚度法。罗旗帜等选取多参数剪滞翘曲位移模式,考虑了铁摩辛柯的剪切变形,提出了相应的有限段法。韦成龙等在选取多参数剪滞翘曲位移模式的同时,考虑轴力自平衡条件,实现了对由剪滞效应引起的截面中和轴位置变化的自动修正。本文在文献多参数剪滞翘曲位移的研究基础上,进一步考虑剪切变形的影响,导式中:φ(z)=w′(z)+α(z)是横截面的旋转角(见图2所示);w(z)为箱梁截面的竖向挠度;α(z)=asQ(z)/(GA0)是剪切应变的平均值,as是剪切系数,对于箱形截面as=A/A0;A为箱梁横截面面积,iA(i=0,1,2,3)分别为两腹板、底板、顶板及两悬臂板的横截面面积;Q(z)是剪力;G是剪切模量。出了箱梁的平衡控制微分方程组、边界条件及其在均布荷载作用下的初参数解,在此基础上提出一种研究连续薄壁箱梁桥剪力滞后效应的传递矩阵法,把箱梁结构剪滞效应的分析问题转化为若干一维单元状态向量的“对接”与“传递”。文中推导了相应的传递矩阵,并利用边界条件进行了求解。对结构的剪滞理论作了更为准确推证的同时,使得该解析计算理论能够方便地应用到工程设计实践中。1动态调整中的广义位移单箱单室箱形梁截面几何参数以及坐标系如图1所示,坐标原点取为截面的形心。对图1所示的薄壁箱梁,翼板截面除产生服从平截面假设的位移外,尚有剪力滞引起的翘曲位移,其翘曲位移沿x方向可设为三次抛物线分布。若在z处箱梁截面底板、顶板、悬臂板翘曲位移差分别为u1(z)u、2(z)u、3(z);同时,为考虑剪切变形的影响,引入广义位移φ(z),如图2所示。则考虑多参数翘曲位移函数、剪切变形效应及截面轴力自平衡条件时,横截面上任意一点的纵向位移为:梁的外力势能产生的虚功为:梁的应变能为:及自然边界条件:经消元、整理,可将平衡控制微分方程组(5)写成:其中:[C]=-[A]-1[B],以上各式中,q(z)为箱梁上的竖向分布荷载集度;分别为两腹板、底板、顶板及两悬臂板对x轴的静面矩之绝对值;Ix=∫Ay2dA为横截面对x轴的惯性矩。2单元类型的材料和单元特征本文将二阶线性非齐次常微分方程组(7)降阶处理为一阶线性非齐次常微分方程组,并用待定系数法进行一系列求解,可得均布荷载作用下箱梁平衡控制微分方程组的闭合解:其中:Ci(i=1,2,⋅⋅⋅,6)为待定常数;λj(j=1,2,3)为矩阵[C]的特征值;[ξ]=[ξ1ξ2ξ3];ξj=[ξ1jξ2jξ3j]T为与特征值λj相对应的特征向量。由边界条件式(6),可得与结点位移iu(i=1,2,3)对应的广义力Mui,为:以上各式中:下标(k)是单元编号;“0”表示单元k的左截面;“z”表示单元k右端截面;Q0、M0、w0和φ0分别表示单元k在z=0处截面的剪力Q(0)、弯矩M(0)、竖向挠度w(0)和转角φ(0)。则式(8)、式(9)可进一步整理成:将式(5)第一行的式子积分,分别求得w(z)和φ(z),整理可得:式(10)、式(12)和式(13)即为箱梁均布荷载作用下考虑多参数翘曲位移及剪切变形双重效应时的初参数解。3单元状态向量的“传递”整理式(10)、式(12)和式(13),可得:将箱梁沿z轴方向分割成若干梁段,每一个梁段作为一个单元,单元与单元之间用节点连接。任取一个单元k,如图3所示。考虑该单元的平衡条件,有:⎧⎪Q(z)=Q0-qz及左截面边界条件:将式(10)、式(11)代入式(8)、式(9),可求出(iCi=1,2,⋅⋅⋅,6)。令:式中:{uf}ez(k)是单元k右端的状态向量;{uf}e0(k)是左端的状态向量;[F]e(k)是单元k的场矩阵。由式(14)可知,通过场矩阵[F]e(k)实现了从单元k左端截面到右端截面状态向量的“传递”。如果梁的某处作用有集中力、集中力偶或弹性支座等时,则有:其中:{uf}e0(k+1)是单元k+1左端的状态向量;[P]e(k+1)是单元k+1的点矩阵。可见,点矩阵[P]e(k+1)实现了与该节点相邻两单元(单元k和单元k+1)状态向量之间的“对接”。从单元1到单元k,依次应用式(14)、式(15)可建立连续梁任意单元k右端状态向量{uf}ez(k)与最左端状态向量{uf}e0(1)的递推关系:上式揭示了从单元1到单元k状态向量的“对接”与“传递”路径。将箱梁的位移和力的边界条件代入式(16)中,即可求得箱梁最左端状态向量{uf}e0(1),进而可由该式求出任意单元k的状态向量。4剪力滞引起的翘曲正应力由式(1)可知,考虑剪力滞效应时,箱梁横截面上任一点的正应力为:其中,E(k)[N3(x,z)](k){uf}e0(k)为由剪力滞引起的翘曲正应力。文中[N1(z)]e(k)、[N2(z)]e(k)、[N3(x,z)](k)及单元k的场矩阵及点矩阵的具体表达式见文献,限于篇幅本文不另行给出。5试验结果及分析为验证本文计算理论及其程序的可靠性,分别计算了单跨变截面简支箱梁和双跨连续箱梁的剪力滞效应。采用本文传递矩阵法计算时,将箱梁沿纵向划分成32个等长的梁段,即32个单元,33个节点;用ANSYS软件求解时,将箱梁划分成了1600个Shell43壳单元。算例1.变截面简支箱梁。图4所示直线变高度模型试验箱梁跨径为80cm,梁端不设横隔板。材料的弹性模量E=3000MPa,泊松比为0.385。荷载为满跨均布荷载q=600N/m。表1为箱梁跨中截面各计算点的挠度值及剪力滞系数,并与ANSYS计算结果进行了比较。算例2.连续箱梁。两跨等截面连续箱梁如图5所示。每跨计算跨径均为0.8m,梁高0.06m。材料的弹性模量E=2800MPa,泊松比为0.37。为便于比较,本文分别对跨中集中荷载(总量P=0.02kN)和均布荷载(总量q=0.2kN/m)两种荷载工况进行了分析计算。采用本文方法,分别给出了两种工况下中间支座截面和跨中截面上的正应力及剪力滞系数值;顶板和腹板交接处的最大正应力计算值则分别与ANSYS解、有限段法及实测值进行了比较,所得结果分别示于表2、表3及图6中。可以看出,计算结果吻合较好,且接近于实测值。6梁结构剪力滞效应分析方法的应用本文以文献中对箱梁考虑多参数翘曲位移的剪力滞后效应的研究为基础,考虑腹板剪切变形对剪力滞效应的影响及轴力自平衡条件,实现了剪力滞引起截面中和轴变化的自动修正。在应用变分法原理推导微分方程时,理论上更趋严密。本文提出的箱梁结构剪力滞效应分析的传递矩阵法,将三维箱梁分析转化为一维求解,不仅可以方便地分析结构形式复杂的箱梁的剪力滞效应问题,并且与一般的有限元方法及其计算程序相比,计算过程中避免了等效结点荷载矩阵的复杂计算、整体刚度矩阵的庞大组建及稀疏矩阵的求解。计算过程表现为一系列矩阵的相乘,且矩阵的秩是恒定的。