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文档简介
2023-2024学年重庆市高考数学专项突破模拟试题(一模)注意事项:1.答题前、考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回,满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则()A B. C. D.【正确答案】C分析】解不等式得到,从而求出交集.【详解】,或,故.故选:C2.已知复数为虚数单位,则()A.2 B. C. D.【正确答案】A【分析】先利用复数运算法则化简,然后利用复数模的公式计算即可.【详解】因为,所以.故选:A.3.哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星,其绕太阳公转周期为76年,曾于1606年回到近日点,奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年,也曾于1606年回到近日点,则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为()A.3916年 B.4190年 C.4266年 D.4570年【正确答案】C【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列,首项都是,根据间隔求出公共项即可得到结果.【详解】哈雷彗星回到近日点年份为,奥伯斯彗星回到近日点的年份为,则与公共项构成以1606为首项,70与76的最小公倍数为公差的等差数列,又70与76的最小公倍数为2660,则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令,则.故选:C.4.从12的正因数中,随机选取2个不同的数,则这两个数的和为素数的概率是()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先得到12的正因数有,从而利用列举法,结合组合公式求出答案.【详解】12的正因数有,随机选取2个不同的数,共有种情况,其中这两个数的和为素数的情况有,共6种情况故这两个数的和为素数的概率是.故选:B5.设双曲线的左、右焦点分别为,点在的右支上,且,则的面积为()A.2 B. C. D.【正确答案】C【分析】由双曲线定义和余弦定理求出,利用三角形面积公式求出答案.【详解】由题意得,由双曲线定义可得,,,由余弦定理得,即,解得,又,解得,故.故选:C6.已知奇函数满足,当时,,则()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先计算出,,结合函数奇偶性得到答案.【详解】因为,所以,,故,因为为奇函数,所以.故选:B7.在等比数列中,若为一确定的常数,记数列的前项积为.则下列各数为常数的是()A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据已知条件判断出为确定常数,再由此确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为,依题意,为确定常数,即为确定常数.不符合题意;不符合题意;不符合题意;为确定常数,符合题意.故选:D8.已知是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是()A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先确定向量、的终点所表示的轨迹,一个为射线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设,,,则由与的夹角为得,,得,由得,即,因此,表示圆上的点到射线上的点的距离,故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1,即.故选:B.二、多项选择题(本大题共4个小题、每小题5分,共20分,在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.将函数的图像向右平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象,则()A.为函数的一条对称轴B.为函数的一条对称轴C.为函数的一个对称中心D.为函数的一个对称中心【正确答案】BD【分析】先求出,再代入相应的值,对四个选项进行判断.【详解】的图像向右平移个单位,得到,故,A选项,,故不是的一条对称轴,A错误;B选项,,故为函数的一条对称轴,B正确;C选项,,故为函数的一条对称轴,C错误;D选项,,故为函数的一个对称中心,D正确.故选:BD10.下列关于复数的叙述,正确的是()A.若,则B.若,则C.D.【正确答案】ACD【分析】根据复数的减法、乘法、模等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A选项,由于,所以,则,A选项正确.B选项,设,则,但,所以B选项错误.C选项,设,,,,所以,所以C选项错误.D选项,设,,,,当且仅当时等号成立,即,D选项正确.故选:ACD11.已知,且,函数,则()A.曲线与曲线关于轴对称B.曲线与曲线关于轴对称C.当时,函数在上单调递增D.当时,函数在上单调递减【正确答案】ABD【分析】根据得到A正确;由得到B正确;CD选项,变形得到,令,则,由复合函数单调性判断出答案.【详解】A选项,定义域为R,,所以曲线与曲线关于轴对称,A正确;B选项,因为的定义域为R,,故曲线与曲线关于轴对称,B正确;CD选项,,令,则,当时,在上单调递减,且,又在上单调递增,故当时,函数在上单调递减,C错误;当时,在上单调递增,且,又在上单调递减,故当时,函数在上单调递减,D正确;故选:ABD12.甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏:第一轮,甲报数字1,乙报数字2,3,丙报数字4,5,6,丁报数字7,8,9,10;第二轮,甲报数字11,12,13,14,15,依次循环,直到报出数字10000,游戏结束,则()A.甲在第10轮报了33个数字B.数字2023是丁报的C.甲共报了37轮D.甲在前四轮所报数字之和为1540【正确答案】BD【分析】利用等差数列的性质和求和公式,依次判断每个选项得到答案.【详解】甲乙丙丁第轮的报数个数分别为,前轮共报数个数为,对选项A:甲在第10轮报了个数字,错误;对选项B:当时,;当时,;故在第轮报数中,,故数字2023是丁报的,正确;对选项C:当时,;当时,;故甲报了轮,错误;对选项D:甲在前四轮所报数字之和为:,正确;故选:BD.思路点睛:从数列到数阵,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的实质仍然是数列问题,只要我们抓住每行首项,找准每行变化规律,从数阵中构造新数列,那么解决问题的思想和方法仍然不变,可谓“形散神不散”.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分、共20分)13.已知平面向量,若与平行,则__________.【正确答案】【分析】计算出,根据向量平行得到方程,求出.【详解】,由题意得,解得.故14.在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛(比赛采用3局2胜制),假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率,先由计算机产生1~5之间的随机数,指定1,2,3表示一局比赛中甲胜,4,5表示一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了如下20组随机数:334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为__________.【正确答案】【分析】由13组数据表示甲获得冠军,从而估计出概率.【详解】20组数据中,共13组数据表示甲获得冠军,故估计甲获得冠军的概率为.故15.若,则__________.【正确答案】##0.8【分析】先根据同角三角函数关系及诱导公式求出,从而利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】由得,,故,又,故,化简得,解得,故.故16.已知函数的定义域是,记的最大值为,当,变化时,的最小值为__________.【正确答案】【分析】由题意可得,,,再根据绝对值不等式的性质,进而即可求得的最小值.【详解】由函数的定义域是,且的最大值为,则,,,所以所以,即,故的最小值为.故.四、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.如图,在斜三棱柱中,平面平面且,点到平面.的距离为.(1)求证:;(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直的性质判定线线垂直;(2)构建空间直角坐标系,先求出两个平面的法向量,再求平面与平面所成角的余弦值.【小问1详解】证明:由平面平面,且为平面与平面的交线,故有平面,而平面,故,又因为,所以.【小问2详解】由(1)的证明可知,平面,故点到平面的距离为,则,又因为,故,即,所以,且为平面与平面的交线,有平面,而,所以可以以为原点,分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,因为平面,故平面的法向量可记为,因为,故,,,设平面的法向量为,则,令,则,所以,设平面与平面的夹角为,则有,故.18.记的内角的对边分别为,且.(1)证明:为等腰直角三角形;(2)已知,直线与相交于点,求的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由正弦定理及正弦和角公式求出,,从而得到,,得到为等腰直角三角形;(2)由平面向量基本定理得到,求出,,利用向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】证明:因为,且,所以,即①,由正弦定理及,得②,由①②得,因为,所以,因为,所以,因为,所以,所以,所以,即为等腰直角三角形.【小问2详解】如图,不妨设,所以,因为,且为中线,则,所以,,,所以,,所以.19.某校为了弘扬中国诗词文化,现要求全校学生参加诗词大赛,随机抽取了100名学生的测试成绩(单位:分),将数据分成5组:并整理得到如图的频率分布直方图.(1)估计该校学生的测试成绩的中位数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若规定成绩不低于80分的记为“诗词达人”,已知被抽取的男生中的“诗词达人”人数占被抽取男生总数的一半,且本次调查得出“在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否为诗词达人与性别有关”的结论,则被调查的100名学生中男生至少有多少人?附.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【正确答案】19.,76.520.48人【分析】(1)根据频率之和为求得,根据中位数、平均数的求法求得中位数和平均数.(2)先填写列联表,然后利用列不等式,从而求得正确答案【小问1详解】由频率分布直方图得:,解得,又设中位数和平均数分别为,又因为前三个矩形的面积和为,前两个矩形的面积和为,故易知,所以,解得:;又.【小问2详解】由题意知,诗词达人总数为,设样本中男生人数为,则列联表如下:诗词达人非诗词达人合计男生女生合计4060100,解得:,又易知为偶数,所以的最小值为48,即被调查的100名学生中男生至少有48人.20.已知正项数列的前项和为,且对一切正整数都成立,记.(1)求数列的通项公式;(2)已知,为正整数.记数列的前项和为,求.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)利用以及配凑法求得.(2)先求得,然后利用分组求和法求得.【小问1详解】由,令得,从而.时,有,则两式相减得.整理得,从而,又,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,所以.【小问2详解】由题意,,从而.21.已知抛物线的顶点为,过点的直线交于两点.(1)判断是否为定值,并说明理由;(2)设直线分别与直线交于点,求的最小值.【正确答案】(1)为定值,理由见解析(2)【分析】(1)考虑直线斜率为0和不为0,设出直线方程,联立抛物线方程,得到两根之和,两根之积,求出;(2)求出点和点的横坐标,表达出,换元后求出最小值.【小问1详解】当过点的直线斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不合要求,舍去,设直线的方程为,联立得,设,则,所以,所以为定值-4.【小问2详解】直线的方程为,直线的方程为,由,得点的横坐标,同理:点的横坐标为,于是,令,则,所以,综上所述:当,即时,的最小值为.22.已知函数有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)已知,且,求的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)求导,得到有两个不同的零点,再次求导,分与两种情况,得到函数单调性和极值点情况,得到不等式,求出,再利用零点存在性定理得到答案;(2)由,,变形得到,换元后得到恒成立,构造函数,二次求导,分和,结合函数单调性即特殊点的函数值,求出的取值范围.【小问1详解】由题知有两个不同的零点,设,当时,在上单调递减,至多有一个零点,与题意不符;当时,,令得:,且时,时,,则在上单调递减,在上单调递增;由题意,,即,解得.且此时,当时,,当时,,因此,由零点存在定理知在和各有一个零点,符合题意.综上,.【小问2详解】由(1)可知:①,②,因此不等式等价于.又①-②得:,代入得,即,设,不等式化为,又恒成立,设,,
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