2023-2024学年吉林省长春市高二上册期初考试数学试题（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市高二上册期初考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知（i是虚数单位），z共轭复数为，则的虚部为（

）A．2 B． C．1 D．2．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（

）A． B． C． D．3．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线、，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，则4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（

）

A． B． C． D．5．已知，则的值为（

）．A． B． C． D．6．已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（

）A．2 B． C． D．7．湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米8．在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．若，则（

）A． B．C． D．在复平面内对应的点在第四象限10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量的长度为11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（

）A．B．平面C．平面D．直线与直线所成角的余弦值为12．已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（

）

A．的周期为B．的图像关于点对称C．将函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像D．方程在上有3个不相等的实数根三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量，若，则.14．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为.15．正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为．四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．已知向量，，．(1)求(2)若与共线，求与的夹角．18．如图，已知正方体的棱长为．(1)证明：平面；(2)证明：⊥平面；19．在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边上中线长为，求的面积.20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值.1．B【分析】根据复数的除法运算求得复数z，根据共轭复数的概念即可求得答案.【详解】由可得，故的虚部为，故选：B2．D【分析】利用向量数量积公式，结合运算律，即可求解.【详解】，因为为单位向量，所以，因为，所以.故选：D3．B【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判定即可.【详解】选项AD：若，，则和可能平行也可能相交（此时交线与平面垂直），故AD错误；选项B：若，，则，又且、是空间中两不相同的平面，则，故B正确；选项C：若，，，则与可能相交也可能平行，故C错误；故选：B4．B【分析】根据题意，分别求出圆柱的上底面面积、侧面积以及圆锥的侧面积，相加即可得答案．【详解】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，圆柱的上底面面积圆柱的侧面积圆锥的母线长，则圆锥的侧面积故该几何体的表面积．故选：B．5．C【分析】先利用余弦的二倍角公式化简，得，而，所以可化为，再给分子分母同除以，化简后代值可得答案.【详解】因为，所以，故选：C6．C【分析】以为基底向量表示，进而根据题意结合数量积的运算律运算求解.【详解】以为基底向量，则，因为，所以.故C.7．D【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可.【详解】因为，所以又可得米.故选：D.8．C【分析】过点作平面于点，球心在上，利用勾股定理求得球半径后可得其表面积．【详解】如图，过点作平面于点，由，得，显然球心在上，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积，故选：C.

9．ABC【分析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，则，所以A正确；由，所以B正确；由，所以C正确；由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D错误.故选：ABC.10．BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解】对于A，由题得，而，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，故C不正确；对于D，因为在上的投影向量的长度为，故D正确；故选：BD.11．AD【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则..A选项，因为，所以，A正确.B选项，设平面的法向量为，则，令得，，故，因为，所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.C选项，若平面，则.因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.D选项，，D正确.故选：AD12．ACD【分析】根据图象，通过最值、最小正周期、代点，求得函数解析式，利用周期的定义、正弦函数的对称性、图象变换、三角函数运算，解得整体思想，可得答案.【详解】由图象可知，，且，则，，由，且，解得，将代入，可得，解得，由，则，可得，对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，令，，故B错误；对于C，由题意，平移后的函数解析式为，故C正确；对于D，由方程，，，则或，化简可得或，由，则或或，故D正确.故选：ACD.13．【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.【详解】，由于，所以，解得.故14．【详解】考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.15．【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则;；设平面的一个法向量为，则，，令，则.设直线与平面所成角为，则.故答案为.16．【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则可得，，则利用三角函数恒等变换公式和正弦函数的性质可求得其范围.【详解】∵，∴，∵，由余弦定理可得，∴，解得，∴，∵，∴，.所以，∵，∴，∴.因此，.故17．(1)(2)【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式可得出答案；（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以；（2）因为，，所以由与共线得，解得，此时，设，的夹角为θ，则，又,故与的夹角为．18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先证明为平行四边形，即可得到，从而得证；（2）由正方体的性质可得、，从而得证.【详解】（1）在正方体中，且，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵正方体，底面，底面，∴，∵正方形中，，又∵平面，平面，，∴平面；19．(1)(2)【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解；（2）设中点为,得,两边平方后，再代入，即可解决.【详解】（1），由正弦定理得，所以，所以，因为，所以；（2）由（1）得因为边上中线长为，设中点为，所以，所以，即，所以，又因为，所以，解得，所以.20．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面角的正弦求出点的坐标，再