2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊高三上册9月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市高三上册9月月考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数，导数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合的子集的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．162．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．曲线在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．4．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．5．函数的图象为（

）A． B． C． D．6．若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．7．已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（

）A．2 B．0 C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题中是真命题的是（

）A．， B．，C．，使 D．，10．已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（

）A．0 B．1 C． D．211．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（

）A．在上是增函数 B．是奇函数C．的值域是 D．的值域是12．已知函数，，则（

）A．时，有极小值 B．有极小值C．若，则 D．的零点最多有1个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为.14．已知，，且，则的最小值为.15．已知函数，对，有，则实数的取值范围是．16．已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合，．(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．18．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19．已知幂函数在上是减函数，.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.20．某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间x的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.(1)求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.21．已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.22．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在，使得，求的取值范围.1．B【分析】根据对数型函数的定义域，结合子集个数公式进行求解即可.【详解】由题知，因为，所以，∴集合的子集个数为个.故选：B2．C【分析】根据不等式的性质，结合指数函数的单调性、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】，故“”是“”的充要条件.故选：C3．B【分析】根据导数乘法运算公式、常见函数的导数，结合代入法进行求解即可.【详解】，，故选：B4．C【分析】对于A，B，D，利用特例进行判断；对于C，利用不等式的性质得出结果进行判断.【详解】对于A，令，，，故A错误；对于B，令，，故B错误；对于C，因为，则，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：C.5．D【分析】根据函数的奇偶性，正负性、单调性进行判断即可.【详解】函数的定义域为，∵，∴该函数为奇函数，故A错误；又当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故B，C错误；时，时，且时取等号，故D正确.故选：D6．C【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果.【详解】函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.7．D【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.【详解】因为，在R上为增函数，在上为增函数，所以由题知函数，，在各自定义域上都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.故选：D.8．A【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求的值，再根据函数的解析式，代入求值.【详解】为奇函数，，又为偶函数，，，即，所以函数的周期为4，由，令，易得，，解得，当时，.故选：A9．ABC【分析】对于A，配方法即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当，满足，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：ABC10．BC【分析】利用函数极值的定义以及零点存在性定理得出结果.【详解】由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.故选：BC.11．BC【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.故选：BC12．AC【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对a的讨论分析可得D的正误.【详解】对于选项A：若时，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，故A正确；对于选项B：因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以有极大值，无极小值，故B错误；对于选项C：若，即，可得，设，则，设，可知，因为，当时，，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意；当时，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；则，所以只有当时，才能成立，综上所述：，故C正确；对于选项D：由C可知：，，则，所以为增函数；又因为当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，因为为增函数且，则此时有两个零点，同理可得，当时，有两个零点；当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点；当时，为减函数，，此时有一个零点1，所以此时有一个零点，故D错误；故选：AC.关键点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对的转化，通过换元化为简单的函数来求解；三是零点个数通过拆分函数，由复合函数的零点个数来判断.13．【分析】根据得出指数型函数恒过定点.【详解】令，得，则.所以函数（且）的图象恒过定点.故答案为.14．8【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】∵，，，，，∴，当且仅当时等号成立，故的最小值为8.故815．【分析】根据题意得到函数是上的单调递减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】因为对，，有，可得函数是上的单调递减函数，由，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为.16．【分析】先根据指数函数的单调性、函数单调性的性质判断函数的单调性，再根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，最后这两个性质把已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可.【详解】依题意，，所以在上单调递增，因为，所以为奇函数，于是由，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.故关键点睛：本题的关键点之一是先判断函数的单调性和奇偶性，关键点之二是把原不等式变形为，然后通过构造新函数进行求解.17．(1)(2)或【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由充分不必要关系知是的真子集，列不等式组求范围；（2）根据交集的结果有或，即可确定范围.【详解】（1），，由“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，所以（等号不能同时成立），则.（2）由知：或，则或.18．(1)(2)【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，结合切点坐标得出切线的方程；（2）根据，，得出在上单调递增，并结合得出结果.【详解】（1），，所以，，则曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，，所以在上单调递增.因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.19．(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式为，设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，所以解得，所以实数的取值范围是.20．(1)(2)第天的日收入最少，最小值为元【分析】（1）根据人数和人均消费求得日收入的函数关系式.（2）利用基本不等式求得最小值以及对应的.【详解】（1）设，依题意，解得，所以.所以.（2）由（1）得，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以第天日收入最少，且最小值为元.21．(1)；(2)或.【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.（2）利用函数单调性求出最大最小值，列式求解即可.【详解】（1）由的定义域为，得对任意的恒成立，当时，恒成立，则；当时，，解得，则，所以实数的取值范围是，即.（2）令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，而，则，依题意，，即，解得或，所以实数的值是或.22．(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】（1）根据导数的性质进行求解即可；（2）根据导数的性质，结合导函数零点之间的大小关系分类讨论进行求解即可.【详解】（1）时，，