级数求和的常用方法和几个特殊级数和

PAGEPAGE1目录第一章绪论 11.1综述 21.2研究现状 31.4本论文所作的工作 31.5研究目标 31.6本论文解决的关键问题 31.7本论文的创新之处 31.8本论文的研究方法 31.9本论文的内容安排 3第二章数项级数求和的常用方法 32.1引言 42.2预备知识 42.3数项级数收敛的几个重要判别法 52.4几种无穷级数求和的常用方法介绍 7第三章p-级数的拉格朗日插值法求和 133.1拉格朗日插值法 133.2拉格朗日插值法的MATLAB源代码 153.3在MATLAB中输入的命令及结果 163.4误差分析 173.5结束语 18第四章函数项级数求和 184.1方程式法 184.2积分型级数求和 184.3逐项求导求级数和 194.4逐项积分求级数和 204.5将原级数分解转化为已知级数 204.6利用傅立叶级数求级数和 204.7三角级数对应复数求级数和 214.8利用三角公式化简级数 224.9针对2.7的延伸 224.10添加项处理系数 234.11应用留数定理计算级数和 234.12利用函数求级数和 24致谢 25参考文献 25 摘要关于数项级数求和的问题,很多学者对一些特定题目给出了一些有针对性的解决方法.数项级数是数学分析课程中的重要内容之一,如果给定一个数项级数,我们所关心的两个基本问题是:此级数是否收敛?如果收敛,怎么求出此级数的和?本文主要针对p级数的求和进行了较为系统的研究,众所周知,当p为偶数时,p级数的和是精确值;当p为大于1的非偶数时,p级数的和是无穷小数.鉴于以上p级数的性质,本文将运用数学计算方法中的拉格朗日插值法,并借助于MATLAB,在一定的区间上求出p级数和的拉格朗日插值公式,从而求出p为非偶数时,p级数的近似值并做出相应的相对误差分析.与此同时本文将介绍多种数项级数的求和方法,应用了较多的高等数学知识,在一定程度上开阔了级数求和的解题思路.[关键词]p级数;求和;余项;误差估计;级数.AbstractmanyscholarsonspecifictopicshavegivensomespecificsolutionsaboutSumofanumberofproblems.Mathematicalanalysisofseveralseriesisanimportantpartofthecourse,ifgivenacertainseries,weareconcernedwithtwofundamentalquestionswhicharewhethertheconvergenceofthisseries?Ifconvergence,whatisthesummationofthisseries?Inthispaper,thesumofthepseriesforamoresystematicstudy,itiswellknownthatwhenpiseven,thesumofpseriesisanexactvalue;whenpisgreaterthan1andnon-even,thesumofpseriesisinfinitedecimal.Inviewofthenatureofthepseries,thisarticlewillusetheLagrangeinterpolationmethodinthemathematicalcalculation,andthehelpofMATLAB,itwillobtainedtheLagrangeinterpolationformulaaboutthesumofpseriesinacertaininterval,Thusitobtainedpseriesapproximationandmakethecorrespondingrelativeerroranalysiswhenpisnon-even.whatismore,Hereareanumberofvariousnumberofseriessummationmethodandusingmoreadvancedmathematicalknowledge,toacertainextent,broadenthesolvingproblemideasforourreferenceinthestudy.[Keywords]p-series;summation;remainder;errorestimates;series.第一章绪论1.1综述近代微积分的发展,主要是在17世纪上半叶.这个时期标志着文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段,这种综合与突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点.在这个时期,几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是描述运动与变化的无限小算法,并在相当短时期内,取得了迅速的发展.开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互逆关系,在微积分的真正创立上作出了伟大贡献.在18世纪,微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起.其中它的发展与无穷级数的研究密不可分.牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了许多函数的级数.泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法.在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰写了一系列无穷级数的论文,使他们成为当时这一领域的权威.这一时期,一方面,微积分不断取得各种显著的成就,得到各种更强有力的应用;另一方面,在某些领域,数学家们由于滥用微积分而得到很多荒谬的结论.这种荒谬性突出的表现在无穷级数的使用上.以二项式的负指数幂的无穷展开为例.牛顿在研究积分问题时得到了一般的二项式展开定理.根据这一定理,我们有.用代替上式中的即得.在上式中,令,得.为简便起见,我们把这式子称为F.如果我们对F右边使用结合律,显然会有.对比这两个式子我们将得到,这显然是荒谬的,但是问题并没有到此结束.我们对F右边换一种结合方式,比如,我们又得到.如此可以一直进行下去.事实上如果我们对F右边是用所有类型的交换律和结合律,我们将得到所有的整数;也就是说和所有的整数都相同!上面的结果已经够让人惊讶了,但是还有更加令人不可思议的现象存在,如果我们在的表达式中令,将有.这就是说,无穷多个正数的和竟然是一个负数.这些悖论刺激了人们对无穷级数收敛的思考.18世纪先后出现了一些级数收敛判别法则.莱布尼兹判定法;达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等.这些说明18世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪.柯西对无穷级数进行了严格化的处理,明确定义了级数的收敛性,并研究了级数收敛的判别条件.1.2研究现状关于数项级数的求和,已有许多专家和学者对此产生了浓厚的兴趣,他们对某些具体的题目做出了具体的解法,像定义法,解微分方程法,特殊函数的展开式,逐项微分积分法等等.虽然方法很多,但是都是对一些特殊的数项级数求和,而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少学者提及,因此在这方面我们有研究的必要,并且有很大的研究空间.数项级数不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题,同时也是研究分析数学的重要工具.其原因是很多函数能用数项级数表示,同时又能借助于数项级数来研究函数逼近和近似计算的问题.因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种必要的数学工具,因而数项级数的求和问题非常重要,我们必须掌握它,因此数项级数的求和问题就成为实际应用中亟待解决的课题了.1.4本论文所作的工作数项级数的求和方法和收敛问题一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的数项级数求和的方法,然后把MATLAB编程及其拉格朗日插值法的思路应用于p级数求和中去,着重推导p级数（p为大于1的非偶数）的求和的一般方法,进而推出此类级数和的近似值.1.5研究目标探索数项级数求和的新方法,借助数学计算工具（MATLAB）,将计算方法的知识应用到p级数（p为大于1的非偶数）的求和上,导出p级数比较普遍的计算公式1.6本论文解决的关键问题本论文主要解决了在工程技术中应用到p级数和时的近似计算问题,在一定程度上简化了计算强度,提高了工作效率.1.7本论文的创新之处本文的创新之处在于将拉格朗日插值法应用到p级数（p为大于1的非偶数）求和,给出近似值的一般公式并给出相对误差.1.8本论文的研究方法将计算方法中拉格朗日插值法应用到p级数（p为大于1的非偶数）求和上,导出计算近似值的一般函数.1.9本论文的内容安排根据本论文的主要内容,将论文分为三章:第一章绪论第二章简要给出数项级数求和的预备知识和求和的一些常用方法第三章详细介绍拉格朗日插值法在级数中的应用,并对所研究的问题做了一个简略的,不尽成熟的说明.第二章数项级数求和的常用方法2.1引言数项级数求和作为一个微积分中的基本和重要的问题,从开始研究到现在已经积累了很多丰富有效的方法以及许多重要的应用.一方面很多函数可以用数项级数来表示;另一方面,又能借助于数项级数来研究函数逼近和近似计算等问题.在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由数项级数来解决.《数值分析》教材中详述讲解了拉格朗日插值法,而对于p级数的求和,从华东师范大学出版的《数学分析》中可得到:对于p为偶数的p级数都有精确值,而对于p为奇数或p大于1的非整数p级数没有精确值,因此,可以将拉格朗日插值法用于p级数的求和,给出近似值的一般公式并给出相对误差.2.2预备知识2.2.1数项级数的定义定义若数列,即(1)将（1）的项依次用加号连接起来,即(2)简写为称为数项级数,简称级数.称为级数（2）的项,称为（2）的第项与通项.考察前项部分和或于是,级数（2）对应数列:2.2.2数项级数收敛的定义定义如果级数（2）的部分和数列收敛,即称级数（2）收敛,并称是级数（2）的和.记为如果部分和数列发散,称级数（2）发散,此时级数（2）没有和.2.2.3常见的几种重要的级数1.等比级数（几何级数）,则级数收敛,其和为;,,则级数发散;,,则级数发散;,则级数发散.2.调和级数调和级数是发散的3.—级数收敛,发散.2.3数项级数收敛的几个重要判别法2.3.1比式判别法设是正项级数,若eq\o\ac(○,1),则级数收敛;eq\o\ac(○,2)或,则级数发散.2.3.2根式判别法设为正项级数,且.eq\o\ac(○,1)当时,级数收敛;eq\o\ac(○,2)当时,级数发散.2.3.3积分判别法设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或发散.2.3.4比较判别法设和是两个正项级数,如果存在某正整数,对一切有eq\o\ac(○,1)若级数收敛,则级数也收敛;eq\o\ac(○,2)若级数发散,则级数也发散.推论1若任意的正整数,使当时有,则有eq\o\ac(○,1)由收敛,则收敛;eq\o\ac(○,2)由发散,则发散.推论2设和两个正项级数,若,则eq\o\ac(○,1)当时,级数,同时收敛或发散;eq\o\ac(○,2)当时且级数收敛,级数也收敛;eq\o\ac(○,3)当时且级数发散,级数也发散.2.3.5莱布尼茨判别法交错级数:若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.若交错级数满足下述两个条件:eq\o\ac(○,1)数列单调递减;eq\o\ac(○,2),则级数收敛.2.4几种无穷级数求和的常用方法介绍2.4.1利用级数部分和的定义求级数的和定义:如果正项级数的部分和数列有极限,即则称正项级数收敛,这时极限记作级数的和,并写成:如果没有极限,则称正项级数发散.例1:求正项级数的和解:由于,则所以故该级数收敛其和为2.4.2利用拆项法求级数的和拆项法就是将常数项收敛级数的一般项拆成多个常见的级数一般项和的思想即其中,是常用级数.目前,我们常见的级数为:例2:求级数的和解:由于所以2.4.3逐项求导法求正项级数的和幂级数的和函数的性质:设幂级数的收敛半径为,则和函数在区间内是可导的,且有逐项求导公式:其中,逐项求导后得到的幂函数和原级数有相同的收敛半径.例3:求级数的和解:显然幂级数的收敛区间为,设由于所以由于幂级数在收敛区间上是连续的,所以上式对也成立,即令,则2.4.4用傅里叶级数求级数的和傅里叶级数求和就是将函数展开成正弦级数或余弦级数,然后再求和.例4:求级数的和解:设是周期为的周期函数,它在上的表达式为:(1)将展开成傅里叶级数.由傅里叶级数展开式知:,按公式有将求的系数代入:得:（2）其中又由（1）式知:在处连续,且,将代入（2）式,则所以即2.4.5逐项积分求级数的和幂级数的和函数的性质:设幂级数的收敛半径为,则和函数在区间内是可积的,且有逐项积分公式:其中,逐项积分后得到的幂函数和原级数有相同的收敛半径.例3:求级数的和解:设在其收敛域内逐项积分得其中于是其中所以2.4.6利用泰勒级数求级数的和例6:求级数的和.解:设,将展开为泰勒级数得:则2.4.7欧拉常数法求级数的和极限的值为欧拉常数,设为,则有其中,利用此式,可求某些数项级数的和.例7:求级数的和解:由于即2.4.8用matlab求数项级数的和用matlab进行级数求和运算,必须在命令窗口输入计算命令,格式如下:>>symsn;s=symsum(,n,1,inf)例8:求级数的和例:（1）（2）（3）输入:>>symsn;s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)>>symsn;s=symsum(1/n^2,n,1,inf)>>symsn;s=symsum((-1)^(n+1)/n,n,1,inf)输出:1Pi2/6log(2)从上例可见:如果级数收敛,我们用MATLAB计算级数和结果都是有限实数,级数收敛于它.第三章p-级数的拉格朗日插值法求和3.1拉格朗日插值法3.1.1线性插值与抛物插值下面讨论的简单情形,假定给定区间及端点函数值,,要求线性插值多项式,使它满足,.的几何意义就是通过两点与的直线,的表达式可由几何意义直接给出（点斜式）（两点式）由两点式看出,是由两个线性函数,的线性组合得到,其系数分别为及,即显然,及是线性插值多项式,在节点及上满足条件:我们称函数及为线性插值基函数.同理对于的情形,此时插值函数表式:基函数,及是二次函数,且在节点上满足条件:并且3.1.2拉格朗日插值多项式定义若次多项式在个节点上满足条件就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.由及的情况,可推出次插值基函数为:其中记则所以3.2拉格朗日插值法的MATLAB源代码functionf=Language(x,y,x0)symsp;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf=0.0;for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(p-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(p-x(j))/(x(i)-x(j));end;f=f+l;simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'p',x0);elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend3.3在MATLAB中输入的命令及结果3.3.1输入命令及显示结果（输入的命令主要是要计算P=2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.5,5.5,7.5级数的精确和）>>symsn;s=symsum(1/n^2,n,1,inf)s=1/6*pi^2>>symsn;s=symsum(1/n^3,n,1,inf)s=zeta(3)>>symsn;s=symsum(1/n^4,n,1,inf)s=1/90*pi^4>>symsn;s=symsum(1/n^5,n,1,inf)s=zeta(5)>>symsn;s=symsum(1/n^6,n,1,inf)s=1/945*pi^6>>symsn;s=symsum(1/n^7,n,1,inf)s=zeta(7)>>symsn;s=symsum(1/n^8,n,1,inf)s=1/9450*pi^8>>symsn;s=symsum(1/n^9,n,1,inf)s=zeta(9)>>symsn;s=symsum(1/n^10,n,1,inf)s=1/93555*pi^10>>vpa(zeta(3.5))ans=1.1267338673170566032410988555057>>vpa(zeta(4.5))ans=1.0547075107614543032497067542863>>vpa(zeta(5))ans=1.0369277551433699890992556902347>>vpa(zeta(5.5))ans=1.0252045799546856130746164126322>>vpa(zeta(6.5))ans=1.0120058998885248513488477328792>>vpa(zeta(7))ans=1.0083492773819229260112706469954>>vpa(zeta(7.5))ans=1.005826727536522913197813977603>>vpa(zeta(9))ans=1.00200839282608211711078638472833.3.2计算拉格朗日插值函数及目标函数值（该命令是用于计算拉格朗日插值函数及将p=3.5,4.5,5,5.5,6.5,7,7.5,9代入插值函数的近似值）>>x=[246810];>>y=[1/6*pi^21/90*pi^41/945*pi^61/9450*pi^81/93555*pi^10];>>f=Language(x,y)f=-1.48452*p+.321115*p^2-.303516e-1*p^3+.105309e-2*p^4+3.55548>>f=Language(x,y,3.5)f=1.1500>>f=Language(x,y,4.5)f=1.0438>>f=Language(x,y,5)f=1.0250>>f=Language(x,y,5.5)f=1.0182>>f=Language(x,y,6.5)f=1.0177>>f=Language(x,y,7)f=1.0163>>f=Language(x,y,7.5)f=1.0117>>f=Language(x,y,9)f=0.98813.4误差分析由3.3.1与3.3.2知:当P=3.5时,相对误差0.0206当P=4.5时,相对误差0.0103当P=5.0时,相对误差0.0115当P=5.5时,相对误差0.0068当P=6.5时,相对误差0.0056当P=7.0时,相对误差0.0078当P=7.5时,相对误差0.0058当P=9.0时,相对误差0.01393.5结束语由以上数据的相对误差可看出:误差范围大致在0.0%-2.0%之间,精度相当高,此时拉格朗日插值函数:f=-1.48452*p+.321115*p^2-.303516e-1*p^3+.105309e-2*p^4+3.55548在区间上可以满足一般工程用途.第四章函数项级数求和函数项级数和依据未知数的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.4.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为，逐项求导得即：解此微分方程得：.4.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数.解：因为，作变量替换得：再根据：得：==.所以原级数=.4.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。泰勒定理[1]：若函数在的某领域内存在阶的连续导数，则=，这里是拉格朗日余项即.设在区间内等于它的泰勒级数的和的充要条件：对一切满足不等式的，有，上式右边称为在处的泰勒展开式.由泰勒展开式可知右边是个级数，而在求解级数时我们可以逆向来看，已知以级数和像求的方向行进，找准各阶对应的导数形式，并按泰勒级数的样子提炼出.但在实际应用中在处的级数应用较多，称为麦克劳林级数.而由泰勒级数的定义可以将一些基本初等函数推导出来，再有基本初等函数推导复合函数的级数和形式，反过来即是求级数和.这也不失为一种求级数和的选择.这中方式在前面函数项级数求和的过程中已经有所运用，在此总结是为了形成一种较为普遍的方法.即使是级数逐项求导积分法也是基于此理论基础之上的.例17：求解.解：由莱布尼茨定理可以判断此交错级数收敛，且收敛区间为[-1,1],将级数逐项求导可得：(利用易知麦克劳林展式)再积分回去便得到级数和.4.4逐项积分求级数和通过级数逐项积分收敛半径不变原理，对原级数逐项积分后化为一些易求的幂级数，再往回求导，可求出原级数和.例18：计算.解：记，对其逐项积分得：==，其中，所以=.4.5将原级数分解转化为已知级数分解为已知在数学中是一种基本的技巧，通过转化为我们所知道的知识解决原复杂问题在很多地方都是个不错的想法，因此在解决级数和的问题时我们也引入这思想.我们已知在幂级数中已知的麦克劳林展式有好几个，我们要将这几个基本初等函数的展式牢记于心，还要学会利用拉格朗日展式的角度逆向思考级数求和的问题.我们简单的引入一个问题来说明这种方式，主要是引入这种思想.例19：计算.解：记，利用的麦克劳林展式得：=.4.6利用傅立叶级数求级数和通过构造函数，并通过延拓的方式求此函数的傅立叶展式，再由收敛定理求解函数值即可求出原级数和，关键在于准确找出傅立叶函数.例20：计算.解：构造傅立叶函数=,其中作偶延拓得:=,由此可知傅立叶系数为：，其中，，（其中）.由狄利克雷收敛条件可知：，其中现在令得：，进而可得：.说明：有了以上结果数项级数的关于就可以套用公式了，如：利用2.6结果求解级数和，2.6的结果是一个很常用的级数和公式，因此我们可以直接拿来用.例21：计算，，其中满足.解：任意（0，1），记=，由魏尔斯特拉斯定理，因为级数收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收敛.，，因为，所以带入上面式子可得级数和为.4.7三角级数对应复数求级数和三角函数与复数有天然的对应关系，因此将其化归到复数域上再利用复数域知识求解，从而获得原级数的和.例22[7]：计算.解：由复数域上幂级数的麦克劳林展式可知：，及，由，对应实部得，其中，.4.8利用三角公式化简级数三角级数还可以利用三角公式化简三角级数，化简后的级数可能比原级数容易求解些，通常复杂级数求和都是要转化，转化为能求和的方向.例23：计算.解：由三角函数的积化和差公式可知：原级数=，其中未知数满足：.4.9针对2.7的延伸在此对2.8的延伸，并不是意味着2.8是个通用的级数和式子，只是看见了另外的一个题可以运用2.8，在此列出是为了表明在求级数和的过程中一些复杂级数可以由另外一些级数求和的，因此遇见复杂级数求和的时候要多注意平常积累的例子，想想平时有没有遇见类似的级数求和问题.例24：计算.解：令，由2.8可知=其中未知数满足，令，.有，由，当时，有，于是.4.10添加项处理系数例25：计算，其中.解：令，当时，=，其中，当:时，，于是：.4.11应用留数定理计算级数和定理[8]：若函数满足以下两个条件：（1）在复平面具有孤立奇点，，…，且这些孤立奇点不为整数及，除去上述奇点外在其它各处都解析；（2）.证明：研究围道积分又由函数满足留数定理的条件，则根据定理我们可以得到如下的等式：（1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，两边取极限得即：，所以，对（1）式取极限得到0=.所以.证明完毕.结论的应用：例26[8]：求级数（不为0）的和.解：令，当不为零时，满足定理的两个条件，那么.即：，当趋近于零时，将上式变形可得：容易证得等式左边的两个级数是收敛的.故上式两端取极限可得上述级数和,4.12利用函数求级数和定理1[6]设为自然数，为实数，且，则.定理2[6]设为自然数，为非负整数，是实数，大于，，有.定理3[6]设为自然数，级数在[0,1]上一致收敛于函数,则.这三个定理的证明涉及函数，此处证明从略.只说明这三个定理应用于求解级数和的问题.分析这三个定理可以看它们用于解决一些自然数连续性相乘且置于分母的级数和.将级数和中某些数赋予给定理中的相应的、、，再将按定理套用，可以将定理左边的级数化为右边的积分求解.运用定理的关键在于准确找出、、，只要这项工作完成，