542正弦函数余弦函数的性质（八大题型）

5．4．2正弦函数、余弦函数的性质【题型归纳目录】题型一：正余弦函数的周期问题题型二：正余弦函数的奇偶问题题型三：正余弦函数的对称问题题型四：正余弦函数的单调问题题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题题型六：比较大小题型七：正余弦函数的最值与值域问题题型八：正余弦函数的综合应用【知识点梳理】知识点一：周期函数函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．知识点诠释：1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．知识点二：正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点三：正弦型函数的性质．函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．知识点四：余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．知识点五：余弦型函数的性质．函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．若，则函数不一定有对称轴和对称中心．【典型例题】题型一：正余弦函数的周期问题例1．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，，∴，故选：D.例2．下列函数，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的最小正周期为，故A不符合；函数，其最小正周期为，故B不符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.故选：C.例3．已知函数的最小正周期为，则.【答案】12【解析】由于，依题意可知.故答案为：变式1．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则.【答案】6【解析】∵函数f(x)的相邻两个零点之间的距离为，∴周期，由，得.故答案为：6.变式2．已知函数，且的相邻两个对称中心的距离为2，则．【答案】【解析】由题意最小正周期为，故，所以，则，则.故答案为：变式3．函数的周期不可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能；而对于选项D：，则若时，，令，所以与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是；故选：D.变式4．下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成（如下图所示），又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确；对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误；对于C：定义域为，，即为偶函数，又，所以为的周期，故C错误；对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误；故选：A变式5．若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，则对称中心到对称轴距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，可得函数的最小正周期为，则对称中心到对称轴距离的最小值为.故选：B.变式6．已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则函数的最小正周期为，若存在，使得，则，所以，函数为周期函数，且为函数的周期，所以，，即，因为，所以，，故选：D.变式7．记函数的最小正周期为，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对任意的，，则为函数的最大值或最小值，故函数的图象关于直线对称，故，解得，又因为且函数的最小正周期满足，即，解得，故.故选：D.变式8．函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则，则相邻的两条对称轴之间的距离是.故选：C.变式9．设，则等于（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；当时，；所以，又函数的周期为4，所以.故选：A.变式10．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，，或，所以，的最小值恰为函数图象相邻对称轴之间的距离，即为该函数最小正周期的一半，因此，的最小值为.故选：D.【方法技巧与总结】（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．题型二：正余弦函数的奇偶问题例4．函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由可知是奇函数．故选:A例5．函数①；②，；③，中，奇函数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②；对于①，，是奇函数；对于③，，是偶函数．故选：B．例6．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，解得：.故选：A.变式11．函数，则（

）A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数【答案】B【解析】的定义域为，对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；对B：若，，，故为偶函数，B正确；对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；对D：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；故选：B变式12．已知为偶函数，则（

）A． B．6 C． D．3【答案】D【解析】因为为偶函数，所以，解得，所以，．故选：D.变式13．使函数为偶函数的最小正数φ＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函数为偶函数，∴，∴使函数为偶函数的最小正数．故选：B变式14．若函数为偶函数，则的最小正值为.【答案】/【解析】函数的定义域为，为偶函数，则，即，则，即是偶函数，可知，，即，，故取最小正值为.故答案为：.变式15．设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【解析】，令，易知，，即为奇函数，所以结合奇函数性质有.故答案为：2变式16．已知定义域为的奇函数则的值为．【答案】0【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则有，解得，，解得，所以.故答案为：0变式17．已知函数为偶函数，则(

)A．0 B． C． D．【答案】C【解析】∵f(x)定义域为R，且为偶函数，∴，，．当时，为偶函数满足题意．故选：C．变式18．已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，为奇函数，，，，.故选:C【方法技巧与总结】判断函数奇偶性的方法（1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系；（2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法．题型三：正余弦函数的对称问题例7．设函数与函数在上的图象的所有交点为，，…，，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】在同一直角坐标系中画出函数与函数在上的图象,如下图所示：由图可知两函数共有四个交点，不妨设它们为，，，，其中，设，所以有，所以点与点关于点中心对称，点与点关于点中心对称，所以.故选：C.例8．下列选项中不是函数图象的对称轴方程的是（

）A． B．C． D．以上选项都不正确【答案】B【解析】因为，所以，，则，则和都是图象的对称轴方程，而，则不是图象的对称轴方程．故选：B．例9．函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的对称轴满足，解得，令，则，故选：A.变式19．函数的图象（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】B【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误；B.，所以函数关于直线对称，故B正确；C.，所以函数不关于点对称，故C错误；D.，所以函数不关于点对称，故D错误；故选：B变式20．若函数对任意都有，则的值为（

）A． B． C． D．0【答案】C【解析】根据，可得函数的图像关于直线对称，由余弦型函数在对称轴处取得最大或最小值即得解.根据，可得函数的图像关于直线对称，故的值为函数的最大值或最小值，故选：C.变式21．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则.【答案】/【解析】因为函数的最小正周期为，所以；又因为函数图象关于直线对称，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案为：.变式22．设函数，若的图象关于点对称，则的值可以是．（写出一个满足条件的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数，且的图象关于点对称，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（写出一个即可）．故答案为：（答案不唯一）．变式23．已知函数的一条对称轴为，则一个满足题意的的值是.【答案】2(答案不唯一，均可)．【解析】由题意，，其中最小的正数为，即．故答案为：2(答案不唯一，均可)．变式24．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于.【答案】8【解析】由，则，即关于对称；由在上递增且值域为、上递增且值域为，且关于对称；又，根据对称性知：，所以、且的图象如下，所以，在的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于对称，故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8.故答案为：8变式25．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则.【答案】【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又因为直线是函数的一条对称轴，所以，解得：，因为，所以，则函数，所以，故答案为：.变式26．已知函数，则函数的所有零点之和为．【答案】0【解析】因为函数，所以的对称中心是，令，得，在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：两个函数图象有8个交点，即函数有8个零点由对称性可知：零点之和为0，故答案为：0变式27．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为.【答案】【解析】因为函数的图象关于点中心对称，所以，所以，则当时，的最小值为.故答案为：变式28．若函数的图象关于点对称，请写出一个的值：.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【解析】由题意可知，，解得，，故答案为：（答案不唯一，符合，即可）【方法技巧与总结】（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0．题型四：正余弦函数的单调问题例10．函数的一个单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意.故选：D.例11．函数和都单调递增的区间是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的单调递增的区间是，函数的单调递增的区间是，由，可得函数和都单调递增的区间是.故选：A.例12．函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D变式29．函数的单调递减区间为.【答案】【解析】因为，所以的单调递增区间就是的单调递减区间．令，解得.所以函数的单调递减区间为.故答案为：.变式30．函数的单调递增区间为.【答案】【解析】，，即，，解得，的定义域为，又令，可得可得的增区间为，，综上可知的单调增区间为，故答案为：.变式31．y＝cos的单调递减区间为.【答案】【解析】因为，所以由得，，，即所求单调递减区间为.故答案为：.变式32．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为【答案】【解析】由函数的图象，可得，，即，所以，即，又由，可得，解得，即，因为，所以，即，令，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.变式33．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为．【答案】【解析】由题知，，解得，由解得：，所以，令，.解得：，.所以的单调递减区间为：.故答案为：.变式34．函数，的增区间是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，得.令，解得.所以函数的单调增区间为.因为，所以令，则得函数，的单调增区间为.故选：C.变式35．已知函数，，则的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，.，所以的单调递增区间是.故选：D【方法技巧与总结】（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；第三步：解关于的不等式．（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．题型五：根据正余弦函数单调性求参数的范围问题例13．已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.例14．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【解析】由题意有,可得,又由，在上为减函数，故必有,可得.故实数的取值范围为.故答案为：例15．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是．【答案】【解析】由函数的最小正周期为，则，解得；，解得，则.由，则.故，由，则，，由函数在上单调递减，则，解得.故答案为：.变式36．已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则．【答案】或【解析】由函数的图像关于点对称，可得，解得，可得，又因为在区间上单调，可得，即，即，解得，当时，；当时，，故答案为：或.变式37．函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以.因为在上恰好取得一次最小值，所以，所以.因为，所以.因为，在上是减函数，根据余弦函数的单调性可知，解得.所以，.故答案为：.变式38．若函数在上不单调，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意得，若函数在上单调递增，则,解得：，所以，解得，即，因为，所以且，所以，

①若函数在上单调递减，则,解得，所以，解得，即，因为，所以且，所以，

②又因为函数在上不单调，且，所以的取值为①②所表示的不等式的补集，即或.故答案为：或.变式39．若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是.【答案】【解析】当时，，因为，函数在区间上单调递减，所以，所以，即，当时，，因为，在区间上存在零点，所以，解得，综上：，故答案为：变式40．已知函数，若在区间上为单调函数，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，在区间上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得，所以．故答案为：变式41．已知函数在上单调递增，则取值范围是.【答案】【解析】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.故答案为：变式42．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】函数中，，由，得，则在上单调递减，因为函数在上单调递减，则，于是，解得，由，，而，则，因此，所以的取值范围是.故答案为：变式43．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，又因为函数在区间上是单调的，所以，所以，解得，由函数在区间上是单调的，可知，即，又，所以或．所以的取值范围是．故答案为：.变式44．已知函数的图象关于直线对称，且在区间内单调，则的最大值为．【答案】【解析】因为区间的左端点为对称轴，且在区间内单调，所以，其中，所以，又，所以，所以的最大值为.故答案为：.变式45．已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对于，，可得在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为.故选：C.【方法技巧与总结】已知正（余）弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．题型六：比较大小例16．令，，判断a与b的大小关系是（

）A． B． C． D．无法判断【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，且，所以.故选：B例17．设，则大小关系（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，且在上单调递增，则，即；又因为，且在上单调递减，则，即，且，所以.故选：B.例18．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由诱导公式知：，，在上单调递增，，即.故选：D.变式46．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，所以，所以.故选：C.变式47．已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数为偶函数，可得，又因为当时，单调递减，且，所以，即，所以.故选：B.变式48．下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，因为，，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，，又，所以，故C错误；对于D，因为，，又，所以，即，故D正确.故选：D.变式49．若为锐角三角形，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵为锐角三角形，∴，，∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴对于A，当时，，故选项A错误；对于B，当时，，故选项B错误；对于C，∵，，，∴，∴，∴，即，∴，故选项C错误；对于D，由选项C中判断，，∴，故选项D正确.故选：D.【方法技巧与总结】比较两个三角函数值的大小（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．题型七：正余弦函数的最值与值域问题例19．当函数取得最大值时的的集合为．【答案】【解析】依题意令，，解得，，所以函数取得最大值时的的集合为.故答案为：例20．已知函数在上的值域为，则a＋b的值为．【答案】或【解析】因为，所以，所以.因为函数在上的值域为，当时，，所以解得当时，，所以解得所以或，所以或.故答案为：或.例21．函数的值域是.【答案】【解析】先对函数进行化简，然后结合正弦函数的值域，的值域为，故答案为：.变式50．函数在上的值域为．【答案】【解析】，则，于是，所以所求值域为.故答案为：变式51．函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】因为，，，所以，当即时取得最小值为.故答案为：变式52．求的最小值是【答案】【解析】,令,,当,.故答案为:变式53．函数取最大值时自变量的取值集合是.【答案】【解析】函数取得最大值1时，可得：（），解得，所以自变量的取值集合是.故答案为：.变式54．设函数定义域为，值域为，则的最大值为【答案】【解析】作出函数的部分图像如图所示：因为的值域为，不妨设,由图像可得.故答案为:.变式55．函数的值域为.【答案】【解析】，，则，，故.故答案为：变式56．函数在的值域是.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以函数在的值域是.故答案为：.变式57．函数的值域为．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.变式58．函数，的值域为．【答案】【解析】令，则，当时，则函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为，故函数的值域为.故答案为：变式59．函数的最小值是．【答案】【解析】由，又，则，所以，所以函数的最小值是．故答案为：．变式60．已知函数（）的图像关于点中心对称．(1)求的值；(2)当时，求函数的最大值和最小值．【解析】（1）因为函数的对称中心为，，∴，，∴，，由于，∴．（2）由（1）知，∵当时，，∴，∴，∴当时，函数的最大值为1，最小值为．【方法技巧与总结】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．题型八：正余弦函数的综合应用例22．（多选题）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称【答案】ABD【解析】对于A，函数的周期为，故A正确；对于B，令，得，所以单调递增区间是，故B正确；对于C，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：ABD.例23．（多选题）已知函数，则下列结论错误的是（

）A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】ACD【解析】函数，对于选项A，的最小正周期，A选项错误；对于选项B，由，在上单调递增，B选项正确；对于选项C，由解得，的图象不关于直线对称，选项C错误；对于选项D，由解得，当时，，所以的图象关于点对称，D选项错误.故选：ACD.例24．（多选题）已知函数，以下结论正确的是（

）A．它是周期为的周期函数B．它是偶函数C．它在这个区间有且只有1个零点D．它的值域为【答案】BD【解析】A.，，，所以不是周期为的周期函数，故A错误；B.函数的定义域为，，所以函数是偶函数，故B正确；C.当时，，得，无解，当时，，得，无解，当时，，得，无解，当时，，得，，时，，得，，综上可知，它在这个区间有且只有2个零点，故C错误；D.当时，，且，当时，，当时，，当时，，再结合函数是偶函数，可知，函数的值域是，故D正确.故选：BD变式61．（多选题）在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的或者互联网就能感受到.而信号处理背后的‘功臣’就是和正弦相关的某类函数，的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（

）A．函数为周期函数，且最小正周期为B．函数为奇函数C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于中心对称【答案】BC【解析】A.，故错误；B.因为，所以函数为奇函数，故正确；C.因为，所以函数的图象关于直线对称，故正确；D.因为，所以函数的图象不关于中心对称，故错误；故选：BC变式62．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递增D．函数在的取值范围为【答案】AC【解析】观察图象得，函数的周期，则，由，得，而，则，因此，对于A，由于，则函数的图象关于点对称，A正确；对于B，由于，则函数的图象关于直线不对称，B错误；对于C，当时，，则函数在上单调递增，C正确；对于D，当时，，则，因此，D错误.故选：AC变式63．（多选题）已知函数，若，，且在区间上单调递减，则下列说法正确的有（

）A．B．对任意，均有C．函数在区间上单调D．【答案】ABD【解析】因为在区间上单调递减，且所以点是函数的一个对称中心，并且最小正周期满足，即，所以当，则直线是函数的一条对称轴与对称中心相邻，则，即，所以，故A正确；则，由于是函数的一个对称中心，所以，得，又，所以，故D正确；则，所以，又的最大值为，则对任意，均有，故B正确；当时，，则函数在区间上不单调，故C错误.故选：ABD.变式64．设函数（A，ω，φ是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，试画图找出的最小正周期．【解析】设的最小正周期为，因为在区间上具有单调性，所以，解得，由，且，可得函数关于直线对称；由，且在区间上具有单调性，可得函数的一个对称中心为，即其图象关于成中心对称；如图所示：则，解得，所以的最小正周期为.变式65．已知函数的图象经过点，且图象相邻的两条对称轴之间的距离是.(1)求的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【解析】（1）由题意可得的最小正周期，则，因为的图象经过点，所以，所以，解得，因为，所以，令，解得，即的单调递增区间为；（2）因为，所以，所以，则，因为对任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范围为.变式66．已知函数，(1)若，则的最小值为，求的解析式．(2)在（1）的条件下，若在上的值域是，求实数的取值范围；【解析】（1）由题意可得：，所以：，故的解析式为；（2）由（1）可得，令，则，如图所示，的值域是，，，即：，由图可知，解得，所以实数的取值范围为．变式67．已知函数(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.【解析】（1）分别令，可得：x00100画出函数在一个周期的图像如图所示：（2）因为，所以，所以当，即时，取最小值0；当，即时，取最大值1.变式68．已知函数的图像上相邻两个最高点的距离为．(1)求函数的解析式和对称中心；(2)求的定义域；(3)函数在区间上恰有2个零点，（），求的值．【解析】（1）因为图像上相邻两个最高点的距离为，所以周期，所以，则，由，，得，，所以的中心为．（2）因为，由，得，所以，，解得，，所以的定义域为．（3）在区间上恰有2个零点，（），∴在有两个根．对于函数，由，，得，，当时，函数图像的对称轴为所以，则，所以，又，故．变式69．已知函数，(1)求函数在上的单调递增区间；(2)求不等式的解集；(3)若方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【解析】（1）由，则，令或，解得或，所以函数在上的单调递增区间为和.（2）由，即，所以，所以，，解得，，所以不等式的解集为.（3）由，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，因为方程在上有两个不同的实数解，所以与在上有两个不同的交点，所以，即实数的取值范围为.变式70．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③；的图象经过点.(1)确定的解析式；(2)若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围.【解析】（1）选①②，由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数的周期，则，由①得，由②得，而，则，所以.选①③，由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数的周期，则，由①得，由③得，即，而，即，因此，解得，所以.选②③，由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数的周期，则，由②得，而，则，此时，由③得，即，解得，所以.（2）由（1）知，函数，由，得，于是函数图象的对称轴为，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，则有，且，即，所以a的取值范围是.变式71．已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若在区间上的值域为，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以的图象关于点对称，则，解得．又，故当时，取得最小值1．（2）当时，，因为函数在区间上的值域为，所以，解得：．所以的取值范围为．变式72．已知函数，．(1)对任意的，若恒成立，求的取值范围；(2)对任意的，存在，使得，求的取值范围．【解析】（1），因为，所以，令，因为，所以，所以对恒成立，令，则对恒成立，因为，所以或或，即或或，所以，即的取值范围为.（2）因为，所以，所以．因为，所以，由题意可知，的范围是的范围的子集，当时，，由，得；当时，，不符合题意，舍去；当时，，不符合题意，舍去．综上所述，的取值范围为．【过关测试】一、单选题1．，的图象与直线的交点的个数为（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函数在上单调递减，函数值从1递减到，在上单调递增，函数值从递增到1，函数在上的图象，如图，观察图象知，，的图象与直线的交点的个数为2.故选：C2．已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在时取得最大值，即，可得，所以，因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况，又因为在上单调递增，所以，解得，当时，，所以的最大值为，故选：C.3．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题知，即，解得，故函数的定义域为.故选：B4．已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，，所以当，即时，函数单调递增．故选：B.5．已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【解析】由题意，在中，，∴,所以，两式相减得，所以，即，，因为，所以，令，，由题意知在上无零点，故，，所以，即，两式相加得，所以，又，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以的取值有5个.故选：B.6．已知函数，则其部分大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】函数，定义域为R，，函数为奇函数，AC选项排除；当时，，D选项排除；故选：B7．已知函数，则是为奇函数的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，可得，定义域为R，此时，故为奇函数，故充分性成立，而当为奇函数时，得，故不一定为，故必要性不成立，是为奇函数的充分不必要条件.故选：B8．已知，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，则，因为在上是减函数，故；因为幂函数在上是增函数，故，故．故选：A.二、多选题9．设函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减【答案】ABC【解析】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确；令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；对于，令，可得，故的一个零点为，故C正确；当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误．故选：ABC10．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为C． D．【答案】AC【解析】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，可得，所以，所以A正确、B错误；又由