专题01 勾股定理（五大类型）（题型专练）（解析版）

专题01勾股定理（五大类型）【题型1已知直角的两边长，求第三边长】【题型2直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】【题型3等面积法求直角三角形斜边上的高】【题型4作无理数的线段】【题型5勾股定理的证明】【题型1已知直角的两边长，求第三边长】1．（2023春•禅城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB边的长度是（）A．3 B．4 C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4．故选：B．2．（2023春•张北县校级期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，则AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或【答案】B【解答】解：∵∠A＝90°，∴BC是斜边，∴＝＝．故选：B．3．（2023春•黄冈月考）直角三角形两边分别为5和12，则第三边为（）A．13 B． C．13或 D．7【答案】C【解答】解：直角三角形两边分别为5和12，根据勾股定理可知，第三边长为或，即第三边长为13或，故选：C．4．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】D【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，∴BC＝16．故选：D．5．（2022秋•晋江市期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（）A．21 B．15 C．13 D．12【答案】B【解答】解：弦为：，故选：B．6．（2022秋•内江期末）如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（）A．24 B．30 C．48 D．18【答案】B【解答】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边是＝10，则矩形的面积是10×3＝30．故选：B．7．（2023•金水区开学）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，则OA21的长为（）A．22 B． C．21 D．【答案】D【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，..．，∴OAn＝，∴OA21＝，故选：D．【题型2直接求直角三角形周长、面积和斜边上的高等问题】8．（2022秋•榆树市期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25 B．175 C．600 D．625【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴225+400＝S，∴S＝625．故选：D．9．（2022秋•沈丘县期末）如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，则S1的值为（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【解答】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴S3+S2＝S1，∵S1+S2+S3＝50，∴2S1＝50，∴S1＝25，故选：D．10．（2023春•大荔县期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝29．【答案】29．【解答】解：由题意知BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，根据勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25，∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29，根据勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝29，故答案为：29．11．（2023春•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）​A．8 B．16 C．18 D．20【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，∵四边形ADEC是正方形，∴S正方形ADEC＝AC2＝20．故选：D．12．（2023春•市北区期中）如图，∠ACB＝90°，将Rt△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到△A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的面积为（）A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm2【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝5（cm），∵AA′＝BB′＝5cm，∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），∴阴影部分的面积＝（AA′+CB′）•AC＝（5+2）×4＝14（cm2）．故选：A．13．（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分线，则△CDE的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵∠A＝90°，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，∴AD＝DE，在Rt△BAD和Rt△BED中，，∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL），∴BA＝BE＝3，∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝5﹣3＝2，AC＝＝＝4，∴△CDE的周长＝DE+DC+CE＝AD+DC+CE＝AC+CE＝4+2＝6．故选：A．14．（2023春•铜仁市期末）如图，若四个完全相同的小直角三角形按如图方式全部放置在大直角三角形ABC的内部，这四个小三角形的斜边刚好相接在斜边BC上，AB+AC＝7，BC＝5，则这四个小直角三角形的周长之和为12．【答案】12．【解答】解：如图，把小直角三角形的直角边分别平移到直角三角形ABC的边上，∴四个小直角三角形的直角边的和等于直角三角形ABC的两直角边的和，∴这四个小直角三角形的周长之和＝AB+AC+BC＝7+5＝12．故答案为：12．15．（2023春•德州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为50．【答案】50．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝102＝100，∵分别以AC，BC为底边向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积分别记为S1，S2，∴S1+S2＝＝＝50，故答案为：50．16．（2023春•微山县期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是8．​【答案】8．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，∴S正方形B+5＝20﹣7，∴S正方形B＝8．故答案为：8．17．（2023春•昆明期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四边形ABCD的面积．【答案】+24．【解答】解：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，∴AC＝2AB＝6，由勾股定理得：BC＝＝＝3，∵AC2+CD2＝62+82＝100，AD2＝102＝100，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝×3×3+×6×8＝+24．18．（2023春•朝阳区校级期中）在四边形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四边形ABCD的面积．【答案】．【解答】解：延长AD，与BC的延长线于点E，∵∠DCB＝135°，∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∠EDC＝90°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴DE＝DC，∵BC＝1，，∴DE＝，∴CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝1+2＝3，∵∠B＝90°，∠E＝45°，∴∠A＝∠E＝45°，∴AB＝BE＝3，∴S四边形ABCD＝S△EAB﹣S△EDC＝＝＝＝．19．（2022秋•苏州期末）计算图中四边形ABCD的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，在直角△ACD中，由勾股定理知：AC2＝CD2﹣AD2＝132﹣122＝52．则在直角△ABC中，由勾股定理知：AB2＝AC2﹣BC2＝52﹣42＝32．所以AB＝3．所以S四边形ABCD的＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+＝+＝6+30＝36．即四边形ABCD的面积是36．20．（2022秋•张店区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，CD是斜边AB上高．（1）求△ABC的面积；（2）求斜边AB；（3）求高CD．【答案】（1）6；（2）5；（3）．【解答】解：（1）△ABC的面积＝×AC×BC＝×3×4＝6．故△ABC的面积是6；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5；（3）∵×AC×BC＝×CD×AB，∴×3×4＝×5×CD，解得CD＝．故高CD的长为．21．（2022秋•南宫市期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD＝DE，连接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．【答案】（1）34°；（2）17cm．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，∴AE＝AB＝EC，∴∠CAE＝∠C，∵∠BAE＝44°，∴，∴．（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，∵DE＝BD．∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）．答：△ABC的周长为17cm．【题型3等面积法求直角三角形斜边上的高】22．（2023春•西城区校级期中）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（）A． B． C．6 D．13【答案】A【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为＝13，∵三角形的面积＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），∴h＝．故选：A．23．（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝2.4，故选：A．24．（2023春•代县月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则边BC的长为（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或14【答案】C【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为BD+DC＝9+5＝14；（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，则BD＝5，在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，则CD＝9，故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．综上可得BC的长为14或4．故选：C．25．（2022秋•榕城区期末）如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则BC边上的高是（）A． B． C．2 D．【答案】A【解答】解：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+AC2＝BC2＝10，∴△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则S，∴h＝＝，即BC边上的高是，故选：A．26．（2023春•长沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为AB边上的高．（1）求斜边AB的长；（2）求CD的长．【答案】（1）10；（2）4.8．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10；（2）∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，∴6×8＝10×CD，∴CD＝4.8．27．（2023春•靖西市期中）如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝8，BC＝6．（1）求AB的长；（2）求斜边上的高CD的长．【答案】（1）10；（2）．【解答】解：（1）由勾股定理得：；（2）Rt△ABC中，∵CD为斜边AB上的高，∴△ABC的面积＝，∴AB×CD＝AC×BC，∴．28．（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝8，BD＝15；（2）若BC＝20，求CD的长．【答案】（1）8，15；（2）CD＝．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD＝＝＝8，∴BD＝＝＝15．故答案为：8，15；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x＝，∴CD＝．29．（2023春•福山区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：（1）Rt△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）求AB边上的高CD的长．【答案】（1）4；（2）2；（3）．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝AC•BC＝（）（）＝4；（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2；（3）∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝，故AB边上的高CD的长为．【题型4作无理数的线段】30．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．【答案】C【解答】解：由题意得，AC＝＝，∴AE＝AC＝，∴点E表示的数是﹣1+＝﹣1，故选：C．31．如图所示，数轴上点A所表示的数为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：由勾股定理，得图中直角三角形的斜边长为＝，∴数轴上点A所表示的数为﹣1．故答案为：﹣1．35．如图所示，点C表示的数是．【答案】．【解答】解：根据勾股定理得：AB＝，AD＝，∴OC＝，故答案为：．32．如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，BA＝BC，写出数轴上点A所表示的数是﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵BC＝＝，则AB＝BC＝，∵A在原点右侧．则点A所表示的数是﹣1．故答案为：﹣1．33．如图，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，数轴上点A表示的数是﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵OC＝3，BC＝1，∴BO＝＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴数轴上点A表示的数是﹣；故答案为：﹣．34．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．【答案】见试题解答内容【解答】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；．【题型5勾股定理的证明】35．（2023春•渝北区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．36．（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148 B．100 C．196 D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．37．（2022春•河东区期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+ B．10+ C．10+ D．24【答案】A【解答】解：根据题意得：c2＝a2+b2＝100，4×ab＝100﹣20＝80，即2ab＝80，则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100+80＝180，∴每个直角三角形的周长为10+＝10+6，故选：A．38．（2023春•朝阳区校级期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b），直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则用含S1，S2的代数式表示a2+b2正确的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S2【答案】D【解答】解：∵直角三角形的面积为S1，小正方形的面积为S2，∴，（a﹣b）2＝S2，∴ab＝2S1，a2﹣2ab+b2＝S2，∴，∴a2+b2＝S2+4S1故选：D．39．（2023•攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．40．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．41．（2022秋•城关区校级期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH＝6．求该图形的面积．【答案】（1）见解析；（2）96．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，设AH＝BC＝x，则AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2，即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴S＝×6×8×4＝96．42.方图”以验证勾股定理，后世也称“赵爽弦图”．实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题：（1）如图，正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形IJKL的面积为（a﹣b）2；（用含a，b的式子表示）（2）根据图中正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积的关系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量关系为（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）请通过运算证明上述等量关系；（4）记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面积为，则求（a﹣b）2的值．【答案】（1）（a+b）2；（a﹣b）2；（2）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）见解析；（4）（a﹣b）2的值为4．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为（a+b），正方形IJKL的边长为（a﹣b），∴正方形ABCD的面积为（a+b）2，正方形IJKL的面积为（a﹣b）2；故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2；（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形IJKL，可得，即（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）左边＝a2+2ab+b2，右边＝4ab+a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2，∴左边＝右边，∴（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2成立；（4）正方形EFGH的面积为，由题意得，，，∵S1+S2+S3＝30，，即ab＝3，∴（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝30，解得a2+b2＝10，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4，∴（a﹣b）2的值为4．43．（2022秋•邗江区期末）勾股