专题21随机变量及其分布（学生版）

专题21随机变量及其分布概率是高考的热点问题之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量及其分布等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，概率往往和数列、函数等知识结合考查概率是高考的热点问题之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量及其分布等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，概率往往和数列、函数等知识结合考查，具有一定的综合性。本专题中随机事件的概率的计算通常以古典概型结合概率的基本性质相结合进行考查，如练11，12.随机变量的分布列主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值、方差等概念，重点考查条件概率，相互独立事件的概率，二项分布，超几何分布，正态分布等，如练21的条件概率以及超几何分布，练22中的相互独立事件的概率问题。概率问题中的交汇与创新，如与数列结合考查，关键是要分析题干找到数列间的递推关系；如与函数结合考查，需构造函数，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制，如例3中均值为p的二次函数，进而转化为二次函数求最值问题.——合肥八中高级教师方旭探究1：随机事件的概率【典例剖析】例1.(2021·全国高考考前模拟)厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势．为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时参加，C与D不同时参加”发生的概率为

．选题意图:选题意图:随机事件的概率问题是高考命题的热点，试题难度不高，在求概率时，多涉及计数原理计数，再利用古典概型求概率.思维引导：本题可利用正难则反的思想求出其对立事件的概率，计数时要做好分类，避免重复或遗漏，利用古典概型的概率公式求出概率.【变式训练】练11(2022·广东省深圳市模拟)已知a是2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数，在2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数，这两个数一个比a大，另一个比a小的概率为(

)A.14 B.514 C.15练12(2022·山东省潍坊市联考)现有n(n>2,n∈N*)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,⋯,n)个袋中有k个红球，n-k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球(每个取后不放回)，若第三次取出的球为白球的概率是716，则n=

．【规律方法】1.古典概型求概率:一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率PA2.由事件间的关系求概率=1\*GB3①概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则PA∪B=PA+P推广：一般地，若事件A1,A2,⋯,An彼此互斥，则事件发生（即=2\*GB3②对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则PA=1-PB,P=3\*GB3③若A，B是一次随机实验中的两个事件，则PA∪B=PA+P探究2：随机变量的分布列【典例剖析】例2.(2022·江苏省扬州市期中)甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记1分，未投中的记-1分，设每轮比赛中甲投中的概率为23，乙投中的概率为12(1)经过1轮比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；(2)经过3轮比赛，用Pn(n=1,2,3)表示第(n,Pn)(n=1,2,3)均在函数f(x)=m(s-tx)的图象上，求实数选题意图：选题意图：离散型随机变量的分布列是高考的热点问题，试题综合性强，应用性广，对学生运用知识解决问题的能力要求较高.分析题目背景，明确离散型随机变量所表示的简单事件，及简单事件所包含的基本事件，利用排列组合公式、互斥事件、相互独立事件的性质等求出概率，从而得到分布列.思维引导：第（1）问中，分析出X可取1,0,1，利用相互独立事件的性质、互斥事件求出概率，进而求出分布列和期望；第（2）问分别求出第n轮比赛结束后，甲得分低于乙得分的概率Pn，尤其是当n=3时，要列出甲得分低于乙得分的四种情况，不要遗漏，将n,Pn带入函数fx的解析式，得到方程组，求出【变式训练】练21(2022·江苏省镇江市月考·多选)设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列正确的有(

)A.从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为23

B.从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为635

C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4

D.从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2练22(2022·湖北省孝感市模拟)2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式.为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程.甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺.已知甲先手时，甲获胜的概率为34，乙先手时，乙获胜的概率为710(1)若每一局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率;(2)若每一局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为ξ，求ξ的分布列与数学期望．【规律方法】1．离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi(2)p12．变量Χ的数学期望、方差(1)EΧ(2)DΧ＝x3．期望、方差的性质(1)E(aΧ＋(2)若Χ～4．常见概率的求法=1\*GB3①条件概率：在A发生的条件下B发生的概率PBA=P=2\*GB3②相互独立事件同时发生的概率：PAB=PAP=3\*GB3③在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：P(Χ＝k)＝=4\*GB3④超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则PX＝k=CMkC(5)正态分布：若X～N(μ，σ探究3：概率问题中的交汇与创新【典例剖析】例3.(2022·江西省吉安市月考)为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军;若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p(0<p<1)，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立。

(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求E(X)，并求当E(X)取最大值时p的值;

(2)当p=12时，记一共进行的比赛局数为Y，求选题意图选题意图：概率应用题是重要的知识网络交汇点，能很好的实现学科内外知识的交汇，出现一些情景新颖、内涵充实的试题.例3试题难度中等，但第一问与二次函数相结合，考查EΧ取最大值时，p的值思维引导：第（1）问求出分布列，表示出EΧ，配方后求出当EΧ取最大值时的p的值；结合题干分析Y可以取4或5，分别求出概率，即【变式训练】练31(2022·江苏省模拟)2020年武汉发生了“新冠肺炎”疫情，在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图(如图所示)；疫情发生后，治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金，经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元、1.18万元、1.14万元的概率分别为16、12、13；对于B项目，利润与产品价格的调整有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0<p<1)，记B项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ1，记对B项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ2.根据以上图中甲、乙两个地区折线图的信息及某药企投资计划可知，下列判断错误的是A.甲地区平均新增人数比乙地区的平均新增人数低

B.甲地区比乙地区的方差大

C.ξ1的数学期望Eξ1=1.2

D.当练32(2022·湖北省三校联考)为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图(示意图)所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同、编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号、2号、3号箱分别可得3分、4分、5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩．(1)已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数;(2)赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手A每次投中1号、2号、3号箱的概率依次为0.7，0.5，0.3.已知选手A每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现未中目标箱而误中其它箱的情况．(i)若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手A选择几号箱⋅(ii)假设选手B得了23分，请你帮A设计一种可能赢B的投掷方案，并计算该方案A获胜的概率．

【规律方法】概率与统计问题在近几年