2021中考数学：知识点09 分式方程及其应用

一、挑选题

6.（2021•苏州）小明用15元买售价同样的软面笔记本，小丽用24元买售价同样的硬面笔记本（两人的钞

票恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到同样数量的笔记本.设软面笔记本

每本售价为x元，依照题意可列出的方程为（）

15241524》15241524

AA.—=----Bn.—=----C.----=—D.---=—

xx+3xx-3x+3xx-3x

【答案解析】A

【试题解答】本题考查了由事实题目笼统出分式方程，精确找出等量关系是解题关键.开门见山操

纵“小明和小丽买到同样数量的笔记本”，得,故选A.

xx+3

25

5.（2021•株洲）对于x的分式方程--------=0的解为（）

xx-3

A.-3B.-2C.2D.3

【答案解析】B

【试题解答】解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，方程双方同时乘以x（x-3）得，

2（x-3）-5x=0,解得，x=-2,所以答案为Bo

X2

4.（2021•益阳）解分式方程-----+-------=3时，去分母化为一元一次方程，精确的是（）

2x-l1-2%

A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-l)D.x+2=3(2x-l)

【答案解析】c

【试题解答】双方同时乘以（2x-l）,得x-2=3(2x-l).故选C.

1,（2021•济宁）天下文化遗产“三孔”景区差不多实现5G幕站布设，“孔夫子家”自此有了5G**络.5G**络峰值

速率为4G**络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆信息，5G**络比4G**络快45秒，求这两种**

络的峰值速率.设4G**络的峰值速率为每秒传输x兆信息，依题意，可列方程是（）

5005005005005000500,u5005000,u

A.------------=45B.------------=45C--------------=45D.--------------=45

x10%10xxxxxx

【答案解析】A

【试题解答】由题意知：设4G**络的峰值速率为每秒传输x兆信息,那么5G**络的峰值速率为每秒传输

10x兆信息，4G传输500兆信息用的时候是——.5G传输500兆信息用的时候是——，5G**络比4G**络

x10x

“X,山一500500

快45秒，所以---------=45.

x10%

1—Y\

2,（2021•淄博）解分式方程一------2时，去分母变形精确的是（）

x-22-x

A.—l+x=—1—2(x—2)B.1—x=l-2(x—2)

C.—l+x=1+2(2—x)D.1—x=—1—2(x—2)

【答案解析】D.

【试题解答】方程双方同乘以X—2,得1一"二一1一2（“-2）,故选D.

二、填空题

11.（2021•江西）斑马线前“车让人”，不仅表现着一座都市对生命的尊敬，也开门见山反映着都市的文明水

平.似图，某路口的班马路线段A-B-C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明共用11秒

通过AC,其中通过BC的速率是通过AB速率的1,2倍，求小明通过AB时的速率.设小明通过AB时的速

率是x米/秒，依照题意列方程得：.

【答案解析】-+—=11

xl.2x

【试题解答】设小明通过AB时的速率是x米/秒，那么通过BC的速率是通1,2x米/秒，依照题意列方程得

g+上=11.

x1.2%

12

1,（2021•岳阳）分式方程一二——的解为

Xx+1

【答案解析】1

【试题解答】去分母，得：x+l=2x,解得工=1,经检验x=l是原方程的解.

2,（2021•滨州）方程江至+1=工的解是____________.

x-22-x

【答案解析】X=1

【试题解答】去分母，得x―3+x—2=—3,解得x=l.当x=l时，x-2=-l,所以x=l是分式方程的解.

3,（2021,巴中）如果对于x的分式方程—力+＜巴=2，"有增根，那么m的值为---------

X-Z.Z-X

【答案解析】1

【试题解答】解原分式方程，去分母得：x-2m=2m（x—2）,如果原分式方程有增根，那么x=2,将其代入那

个一元一■次方程，得2-2m=2m（2—2）,解之得，m=l,

2尤一12

4,（2021•凉山）方程二——+——^=1解是.

x-l1-x2~

【答案解析】x=-2

2r-1?

【试题解答】原方程可化为-------------=1,去分母得（2厂1）（户1）-2=（x+l）（厂1）,解得M=1,

X—1（X+l）（x—1）

xk-2,经检验即=1是增根，心=-2是原方程的解，.♦.原方程的解为产-2,故答案为x=-2,

11.（2021•淮安）方程一!一=1的解是—.

x+2

【答案解析】-1

【试题解答】双方同时乘以（x+2）,得x+2=l,解得x=-l,

5,（2021•重庆B卷）某磨具厂共有六个制作车间，第一、二、三、四车间天天制作同样数量的产物，第五、

六车间天天制作的产物数量分不为第一车间天天制作的产物数量的之和号.甲、乙两组检验员进驻该

43

厂履行产物检验.在同时最早检验产物时，每个车间原有制品同样多，检验期间各车开门见山着制作.甲组

用了6天时候将第一、二、三车间全部制品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的全部制品同时检

验完后，再用了4天检验完第六车间的全部制品（全部制品指原有的和检验期间制作的制品）.介入每个

检验员的检验速率同样，那么甲、乙两组检验员的人数之比是一

【答案解析】-

19

【试题解答】设第一车间天天制作的产物数量为12m,那么第五、六车间天天制作的产物数量分不9m、32m;

设甲、乙两组检验员的人数分不为x,y人；

查抄前每个车间原有制品为n.

•••甲组6天时候将第一、二、三车间全部制品同时检验完

每个甲检验员的速率=6（12加+12加+12加+〃+〃+”

6x

•..乙组先用2天将第四、五车间的全部制品同时检验完

，每个乙检验员的速率=2(⑵"+9〃?)+"+"

2y

•••乙再用了4天检验完第六车间的全部制品

,每个乙检验员的速率=6x32冽+〃

4y

・・•每个检验员的检验速率同样

.6(}2m+\2m+12m)+n+n+n_2(L2m+9tn)+n+n_6x32m+n

6x2y4y

十卷故答案为it

三、解答题

22

19.(2021山东省德州市，19,8)先化简，再求值：(2-工)+(-EL±2_-5n)•(旦+..+2),其中Jro+1

inninnm2n

+(〃-3)2=0.

2222222

【解题环节】一工•旦+4n+4iun

(2-1)5n).(JL+2n+2)=2n-mm+n-5n

IDnmnm2nmmnmn2mn

2

=2nF•m・(nH~2n)=_nrF2n

mn(nrt-2n)(m-2n)2inn2mn

(n-3)2=0.：.m+\=0,〃-3=0,：.m=-\,n=3.二-亚军=-T+2x3=区.

2mn2X(-1)X36

原式的值为1.

6

'.占\4/i/g壬//古Q2—2Q"+"2a2-ah2舟山,„r---

1o8，(2021•遂宁)先化简，冉求值------------：---------------，其中a,b知足(〃—2)~+2J〃+l=0

a-haa+b

(a-b)2a(a-b)2a-h121

---------------------------------x-----—,—----

C.a+b)(a—b)aa+b~a+ba-ba+b-a+b

2

7（a-2）+VF+T=0Aa=21b=-l,...原式=T

17.（2）（2021•泰州，17题，8分）解方程空9+3=生9

x—2x—2

【解题环节】去分母：2x—5+3（x—2）=3x—3,去括号：2x—5+3x—6=3x—3,移项，合同时：2x=8,系数化

为1：x=4,经检验，x=4是原分式方程的解.

222_

21.（2021山东滨州，21,10分）先化简，再求值：（工_一一尸）2苫二J其中x是不等式组

xTx2-1X2-2X+1

'x-3（x-2）44,

'2x-3<5-x的整数解•

3^~2~

【解题环节】

3,22r1、2

解：原式=[,x+xxplxzlL.

(x+1)(x-1)(x+1)(x-l)x(x-l)

—x?.(x-l)2

(x+1)(x-l)x(x-l)

解不等式组，得1WXV3,...........................................................................................7分

那么不等式组的整数解为1,2....................................................................................8分

当x=l时，原式无意义；.............................................9分

当x=2,.•.原式=且................................................10分

3

x+41

17,(2)(2021•温州)

X2+3x3x+X2

x+4-1x+3_x+31

【解题环节】原式=

x2+3xx2+3xx(x+3)x

19.（2021山东威海，19,7）列方程解使用题

小明和小刚商定周末到某体育公园去打羽毛球.他们到体育公园的间隔分不为1200米，300米.小刚骑自行车的

速率是小明步行速率的3倍，如果二人同时到达，那么小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速率.

【解题环节】设小明的速率为x米/分钟，那么小刚的速率为3x米/分钟,

1000,3000

依照题意，得------4=-----

x3x

解得X—50

经检验，得x=50是分式方程的解，

所以,3x=150.

答：小明和小刚两人的速率分不为50x米/分钟，小刚的速率为150米/分钟.

20.(2021山东省青岛市，20,8分)甲、乙两人加工同一种零件，甲天天加工的数量是乙天天加工数量的1,

5倍，两人各加工600个这类零件，甲比乙少用5天.

(1)求甲、乙两人天天各加工几个这类零件

(2)已知甲、乙两人加工这类零件天天的加工费分不为150元和120元，现有3000个这类零件的加工任务，甲

单独加工一段时候后另有放置，剩余任务由乙单独实现.介入总加工费不超过7800元，那么甲加工了几天？

【解题环节】解：(1)设乙天天加工x个零件，那么甲天天加工1.5x个零件，由题意得：—=—+5

x1.5x

化简得600x1.5=600+5x1.5%

解得x=40

.•」.5x=60经检验，x=40是分式方程的解且吻合事实意义.

答：甲天天加工60个零件，乙天天加工，40个零件.

(2)设甲加工了x天，乙加工了y天，那么由题意得

f60x+40y=30000.〜曰_

\，二由①得y=75-I.5x③

[150X+120y„7800@

将③代入②得150x+120(75-1.5x)„7800

解得X..40,

答：甲至少加工了40天.

24.(2021•衡阳)某商店购进A、8两种商品，采办1个A商品比采办1个B商品多花10元,同时且破费300

元采办A商品和破费100元采办8商品的数量相等.

(1)求采办一个A商品和一个8商品各需几元：

(2)商店筹办采办A、B两种商品共80个，如果A商品的数量非常多于8商品数量的4倍,同时且采办A、

B商品的总破费不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种采办方案？

解：(1)设买一个5商品为x元，那么买一个A商品为(x+10)元，那么生-=他，解得

x=5元.所以买

x+10x

一个4商品为需要15元，买一个8商品需要5元.

（2）设买4商品为y个，那么买B商品（80-y）

y>4(80-y)

由题意得

1000<15y+5(80-y)<1050

解得64<3<65；

所以两种方案：①买A商品64个，8商品16个；②买A商品65个，B商品15个.

20.（2021•黄冈）为了对学生履行革命传统教导，红旗中学开展了“清明节祭扫”运动.全校学生从学校同时出发，

步行4000米到达烈士怀念馆.学校要求九（1）班提前到达企图地，做好运动的筹办任务.行走环节中，九（1）班

步行的平均速率是其他班的1,25倍，结论比其他班提前10分钟到达.分不求九（/）班、其他班步行的平均速

率.

【解题环节】

解：设其他班的平均速度为X米/分，则九（D班的平均速度为L25X米/分，依题意得:

40004000

———^=10,

x1.25x

解得：x=80.

经检险：x=80是所列方程的解.

此时，1.25x=1.25X80=100.

答：九（D班的平均速度为100米/分，其他班的平均速度为80米/分.

1,（2021•自贡）解方

程：—1.

x-1X

解：方程双方乘以X（.L1）得，

x22(x-l)=x(x-l)

解得，x=2.

检验：当x=2时，x(x-l)WO,

；.x=2是原分式方程的解.

原分式方程的解为尸2,

2,(2021•眉山)在我市“青山绿水”举措中，某社区策划对面积为36000?的区域履行绿化，经

投标由甲、乙两个工程队来实现.已知甲队天天能实现绿化的面积是乙队天天能实现绿化面积的

2倍，介入两队各自独立实现面积为6(X)0?区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.

(1)求甲、乙两工程队天天各能实现几面积的绿化；

(2)如果甲队天天绿化破费是1,2万元，乙队天天绿化破费为0.5万元，社区要使此次绿化的

总破费不超过40万元，那么至少应放置乙工程队绿化几天？

解：(1)设乙队天天能实现的绿化面积为xnE那么甲队天天能实现的绿化面积为2xm2,

依照题意，得：--—=6,解得：x=50,经检验，x=50是原方程的解，...ZxEOO.

x2x

答：甲队天天能实现的绿化面积为100m2,乙队天天能实现的绿化面积为50m2-

（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好实现绿化任务.由题意得：100a+50b=3600,那么a=2^=

2

-4+36,依照题意，得：1,2义乌0+0.5bW40,解得：b》32,

22

答：至少应放置乙工程队绿化32天.

X

3,（2021•乐山）似图，点A、B在数轴上，它们对应的数分不为一2,——，且点A、8到原点的间隔

x+1

相等.求X的值.

AB

---------------1-------------------1

“°----------解：依照题意得：--2,

X+1

去分母，得x=2（x+l）,

去括号，得x=2x+2,

解得x=-2

经检验，x=—2是原方程的解.

4,（2021•达州）端午节前后，弓长阿姨两次到超市采办同一种粽子，节前，按标价采办，用了96元；节后，

按标价的6折采办，用了72元，两次一共采办了27个，这类粽子的标价是几？

解：设粽子的标价是x元，那么节后价钞票为（）.6x,

依照题意得：—+—=27

x0.6%,

57,6+72=16,2x,

x=8,

经检验：x=8是原分式方程的解，且吻合题意.

答：这类粽子的标价是8元.

5,(2021•巴中)在“扶贫攻坚”运动中，某单位策划选购甲，乙两种物品慰问贫困窘难户，已知甲物品的单价

比乙物品的单价高10元，如果用500元单独采办甲物品与450元单独采办乙物品的数量同样.

①叨教甲，乙两种物