2021一轮复习人教97抛物线作业

课时作业47抛物线

一、选择题

1.（2021年吉林省实验中学高二上学期期中）抛物线x2=-y的准

线方程是（）

A.y=一（

1

-

C.X=TZ).X=4

解析：由抛物线方程可知其准线方程为y=g.

答案：A

2.（2021年福建省八县一中高二上学期期末）抛物线C：y=4x2

的焦点坐标为（）

A.（0,1）B.（1,0）

m拉/°）

解析：由所给抛物线的方程可以得出其标准方程为：

x2=^y,所以抛物线的焦点坐标是（0,靠］

答案：C

3.（2021年山东省德州市某中学高二1月月考（理））顶点为原点，

焦点为F（0,—1）的抛物线方程是（）

A.y2=—2xB.y2=—4x

C.x2=-2yD.x2=-4y

答案：D

4.（2021年山西省太原市高三模拟）抛物线y2=8x的焦点为F,

设A,B是抛物线上的两个动点，|AF|+|BF|=¥|AB|,那么NAFB

的最大值为()

Ji3%

A~3BT

5〃2〃

63

解析：设A(xi,yi),B(X2,y2).

二,抛物线y*2=8x的焦点为F

•••F(2,0),

V|AF|+|BF|=^|AB|

「人.e|AF|2+|BF|2-|AB|2

...由余弦定理得cosNAFB"2|AF|•高I

〔|AF|+|BF|〕2-2|AFHBF|-|AB|2

二2|AF|•|BF|

||AB|2-|AB|2||AB|2

=------------------1=—:----------

2|AF|•|BF|2|AF|•|BF|

又：|AF|+|BF|=芈|AB|

.•.|AF|•|BF|W；|ABF,

当且仅当|AF|=|BF|取等号

3ABi2]

/.cosNAFBN----j--------1=-5

2X||AB|2

277

二.ZAFB的最大值为亍.应选D.

答案：D

5.（2021年四川省南充市高三考试）抛物线C：y2=8x的焦点为F,

准线为1,P是1上一点，连接PF并延长交抛物线C于点Q,假设|PF|

4

=§|PQ|,那么|QF|=（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：设Q到1的距离为d,那么由抛物线的定义可得，

IQF|=d,

图1

V|PF|=||PQ|,.,再=4g

直线PF的斜率为一、25：一片=一2般，

VF（2,0）,I.直线PF的方程为y=-2%（x-2）,

与y2=8x联立可得x=3,（由于Q的横坐标大于2）

A|QF|=d=3+2=5,应选：C.

答案：C

6.（2021年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末）抛物

线y2=2px（p〉0）的焦点为F,准线为1,A、B是抛物线上的两个动点，

且满足NAFB=V.设线段AB的中点M在1上的投影为N,那么需

J|AD|

的最大值是（）

2

A.^B.1

C.ID.T

26

解析:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF,

由抛物线定义，得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,

在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.

由余弦定理得，

|AB|2=a2+b2—2abc<?560°=a2+b2—ab,

配方得，|AB|2=(a+b)2—3ab,

(a+bR

又•；abW

3i

:.(a+b)2—3ab2(a+b)2—w(a+b)2=w(a+b)2

得到|AB|>；(a+b).

.|MN||MN|

即

-|AB||AB|B.

答案：B

7.（2021年广东省高三第一次模拟考试）抛物线C：y2=x,M为

x轴负半轴上的动点，MA,MB为抛物线的切线，A,B分别为切

点，那么M入•M色的最小值为（）

11

-

儿

-氏-8

16

1

C.一

~^D.2

解析：设切线MA的方程为x=ty+m,代入抛物线方程得y2-ty

—m=O,由直线与抛物线相切得/=t2+4m=0,y>0时/=云太，根

据导数的几何意义可得禾上=；,t2

XA=W，那么A同理可得

B传,-0,

将点A的坐标代入x=ty+m,得m=一%

AM（一:,o],故MX.通::一：；",一//一点，当1=

疝\•的最小值为一行，应选A.

答案：A

8.(2021年河南省豫南九校下学期第二次联考)点P是抛物线y2

=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M,点A(2,3),那么|PA|+|PM|

的最小值是()

A.V10+13.回一1

C.V10+2D.V10-2

解析：过点M作抛物线准线的垂线，垂直为N,

那么|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,

当A,P,F三点共线时，|PA|+|PF|最小=|AF|

=y][2—2+[3—Oj2=\[lQ,

所以|PA|+|PM|的最小值是，15A

答案：B

9.(2021年广西南宁市高二下学期期中)抛物线y2=2px与直线ax

+y—4=0交于A,B两点，其中A点的坐标是(1,2).该抛物线的

焦点为F,那么|FA|+|FB|=()

A.7B.3小

C.6D.5

解析：将点A(1,2)的坐标代入抛物线y2=2px与直线ax+y—4

=0,得a=p=2,

所以得抛物线y2=4x与直线2x+y—4=0,

由2，x+y:—4=0,得fx=lr,或|x=4,/

V=4x,[y=2ly=-4

所以得B(4,-4),

又抛物线的准线是x=-l,

再结合抛物线的定义得|FA|十|FB尸”一(-1)]+[4—(-1)]=7,应

选A.

答案：A

10.(2021年广西河池市高级中学高二下学期第二次月考)抛物线

X2

x2=2py和,一y2=l的公切线PQ(P是PQ与抛物线的切点，未必是

PQ与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于Q,F为抛物线的焦点，

假设也|PQ|=S|PF|,那么抛物线的方程是()

图2

A.x2=4yB.x2=2^/3y

C.x2=6yD.x2—2-\[2y

解析：如图3过P作「£，抛物线的准线于E,根据抛物线的定义

可知，PE=PF

图3

、历

\'也|PQ|=S|PF|,在放Z\PQE中，s%NPQE=方,

/.tanZPQE=娘，

即直线PQ的斜率为啦，故设PQ的方程为：

y=V2x+m(m<0)

任一2=1

由《2''消去y得3x2+4&mx+2m2+2=0.

ly=^/2x+m

那么Ni=8m2—24=0,解得m=一切，

即PQ:丫=也*一小

x2=2py,

由‘得x2—2^/2px+2-\/3p=0,

y=\[2x—y[3

[2=8p2—外屈=0,得p=事.

那么抛物线的方程是x2=2小y.应选：B.

答案：B

11.（2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省

实验中学）高三第一次模拟考试）抛物线C：y2=2x,直线1：y=-1x

+b与抛物线C交于A,B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切,

那么b的值是（）

解析：由题意，可设交点A,B的坐标分别为（xi,yi）,（X2,y2）,

F=2x,

联立直线与抛物线方程<1,消去y得；x2—（b+2）x+b2=0,

[y=-]x+b,4

那么xi+x2=4（b+2）,x）X2=4b2,y）+y2=~4,由4ABi=,

即4]+（一甘/4〔b+2〕]2一闻2=2,解得b=一；.应选C.

答案：C

图4

12.（2021年四川省德阳市高三二诊考试）如图4,过抛物线y2=

4x的焦点F作倾斜角为a的直线1,1与抛物线及其准线从上到下依次

IAFIIBCI71

父于A>B、C点，令IRPI=入】,IRPI=入2,那么当a=w时，入i+入2

|Dr||nr|J

的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：设A(xi,yi),B(X2,y2),那么由过抛物线y?=4x的焦点

的直线的性质可得|AB|=xi+x2+2=s)[260。=与，**•X]+X2=^.

又X|X2=%=1,可得X|=3,x2=1,

图5

分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D,那么

|AF|.|AE|3-[-G

|BFL，BD卜〔7〕T

同理可得含=加=2,入i+入2=5应选C

答案：C

二、填空题

13.(2021年陕西省汉中市汉台中学西乡中学高二上学期期末)假

设抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离等于8,那么

焦点到准线的距离是.

解析：由题得6—卜切=8,

/.p=4,所以焦点到准线的距离是p=4.故填4.

答案：4

14.(2021年四川省外国语学校高二下学期入学考试)点A是抛物

线y=32的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点p在抛

物线上且满足|PF|=m|PA|,那么m的最小值为

解析：解法1：F(0,1),A(0,-1),设P(x,y),

由|PF|=m|PA|得

.•.m的最小值为学A/2.

解法2:设直线PA的倾斜角为a,那么sina=m,当m取得最

小值时，最小，此时直线PA与抛物线相切.设直线的方程为y

=kx—1,代入抛物线方程，化简得X2—4kx+4=0,A=16k2—16=0,

k=±l,a=/，故m的最小值为坐.

较安.

15.（2021年甘肃省高三第一次高考诊断性考试）抛物线C：y2=

4x的焦点为F,过准线上一点N作NF的垂线交y轴于点M,假设抛

物线C上存在点E,满足2曲=湎+稀，那么△MNF的面积为

解析：由2疵=湎+将可得E为MF的中点，准线方程x=-l,

焦点F（l,0）,

不妨设点N在第三象限，因为NMNF为直角，

所以|NE|=；|MF|=|EF|,

由抛物线的定义得NE〃x轴，那么可求得E（媳，一让），M（0,

—2啦），N（—1,—啦），

即|NF|=&,|MN|=由，所以S^MNF=乎.

故答案为：斗.

较安.^3/2

16.(2021年河北省唐山一中高二下学期期中考试)如图6,抛物

线Ci：y2=2x和圆C2：卜一J+y2=",直线1经过Ci的焦点，依次

交Ci,C2于A,B,C,D四点，那么福-B的值为.

图6

解析：抛物线Ci:y2=2x的焦点为F&0j,

•.•直线1经过Ci的焦点F&0),

设直线1的方程为y=k(x一

联立卜=<一/得k2x2-(k2+2)x+^=0>

ly2=2x,

设A(xi,yi),B(X2,y2),

那么|AB|=|AF|—|BF=xi+g—；=xi,

同理|CD|=X2,

AAfe・CD=|A^|•|CD|•cos〈福,CD>=X!X2=1.

答案：|

三'解答题

17.(2021年广西桂林市高二上学期期末考试)抛物线C：y2=4x

的焦点为F,直线1：y=k(x+2)+l.

(1)假设抛物线C和直线1没有公共点，求k的取值范围；

⑵假设k<0,且抛物线C和直线1只有一个公共点M时、求|MF|

的值.

y2=4x,

解：(1)联立方程_

[y=k[x十2J+1,

整理得ky2-4y+4(2k+1)=0,

由抛物线C和直线1没有公共点，那么/<0,

即一16(2k2+k—1)<0,解得k<—1或k>；.

(2)当抛物线C和直线1只有一个公共点时，记公共点坐标为M(xo,

yo),

由A=0,即一16(2k2+k—1)=0,解得k=—1或k=；,因为k<0,

故k=-1,将y=-x—1代入y2=4x得X?—2x+l=0,解得xo=l,

由抛物线的定义知：|MF|=g+x()=1+1=2.

18.(2021年贵州省贵阳市普通高中高三摸底考试)过抛物线C：

y2=4x的焦点F且斜率为k的直线1交抛物线C于两点A,B,且|AB|

=8.

⑴求1的方程；

(2)假设A关于x轴的对称点为D,求证：直线BD恒过定点并求

出该点的坐标.

解：(1)F的坐标为(1,0),设1的方程为y=k(x-l)代入抛物线

y2=4x得

k2x2—(2k2+4)x+k2=0,

由题意知kWO,且[一(21?+4)]2—4]<2•k2

=16(k2+l)>0,

工,2k?+4

仪A(xi,yi),B(X2,y2),.,.xi+x2=一记一，x)X2=l,

由抛物线的定义知|AB|=XI+X2+2=8,

2k2+4

^2=6,k-=1,即卜=±1,

二.直线1的方程为y=±(x—1).

(2)直线BD的斜率为kBD=*=寰

4~4

4

-y2-yi,

4

直线BD的方程为y+yi=--------(x—X)),

y2-yi

即。2-yi)y+y2yi—y?=4x—4xi,

22

Vy=4x,xix2=l,/.(yiy2)=16x1x2=16,

即yiy2=-4(因为yi,y2异号)，

，BD的方程为4(x+l)+(yi-y2)y=0,恒过(一1,0).

19.(2021年陕西省西安市第一中学高二上学期期中)抛物线C：

2

y=2px(p>0),直线1交此抛物线于不同的两个点A(xi,yi)>B(x2,y2).

(1)当直线1过点M(—p,0)时，证明yi・y2为定值.

(2)当yi•y2=—p时、直线1是否过定点？假设过定点，求出定

点坐标；反之，请说明理由.

(3)记N(p,0),如果直线1过点M(—p,0),设线段AB的中点为

P，,使得点Q到它们的距离相等？假设存在，求