5.2导数的运算教学设计高二上学期数学人教A版选择性

导数的运算课程内容（课名）导数的运算教师姓名选用教材人教A版2019必修二教学课时2课时一、教学设计理念学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支撑。而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念的建立过程有了较多的体会和认识。学生没有极限的概念，而导数的本质就是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括处导数概念的难度。因此，借助GGB使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以降低认识导数就是极限的难度。此外，教学中还应该关注以下几点：1.注重由特殊到一般的思维引导；本节课预设问题激发学生思考、推动课堂教学。问题的设置体现从特殊到一般的认知规律。2.强化数学运算的核心素养；本节课的重点在于理解导数的四则运算和复合函数的求导法则，对学生的逻辑运算能力有很高要求，本节课设置大量练习，通过练习来巩固知识，达到掌握并应用求导公式的水平。3.引导学生借助直观想象理解导数的几何意义，解决切线相关问题。二、学习者分析需求分析如果对每一个函数都直接用定义法求它的导数，往往是及其复杂的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数于运算法则，借助它们来简化导数的计算过程。因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得到解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来。学情分析本节课是在学生学习了导数的概念和几何意义与物理学意义的前提下对导数定义的进一步理解。虽然学生已经学习了导数，并会求函数的导函数，但是学生并没有很好地理解导数的定义，只是按部就班地套用定义法求导函数的步骤。另外，学生对“逼近”的思想理解并不深入，导数是微积分的重要概念之一，如果学生不能很好地理解导数的概念及其思想方法，必然会影响以后的学习。本节课将再次从数值意义、几何意义、物理意义等方面理解导函数的思想方法与内涵。三、学习任务分析新课程标准的内容要求数学抽象：定义法求导数，导数的几何意义和物理意义逻辑推理：从常数的四则运算到导数的四则运算法则数学运算：定义法求简单函数的导数，导数的四则运算，复合函数求导法则数学建模：利用导数求瞬时变化率直观想象：函数某点处的切线，曲线上到给定直线距离最近的点的坐标数据分析：利用基本初等函数求导公式，导数运算法则，复合函数求导法则解决复杂函数求导问题；通过题目给定信息，构建合适的函数模型，利用导数工具分析数据，得出结论本节课包含的教学内容导数的运算基本初等函数的导数导数的四则运算法则简单复合函数的导数教学目标基本初等函数的导数的导数，进一步理解用定义求导数的方法；体会“逼近”思想；2.通过实例进一步理解导数的几何意义与物理意义；3。会求曲线在一点处切线的方程。导数的四则运算法则1.熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数；3.利用定义求函数的导数十分复杂，课本直接给出八个基本初等函数的导数公式表，学生不同推导而直接去求一些简单函数的导数，在练习中加深对知识的掌握程度，达到学以致用。简单复合函数的导数1.运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导；2通过让学生复习回顾函数的求导法则，理解记忆公式，并结合导数四则运算法则，理解复合函数求导法则；3.通过对问题探究，获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心，优化数学思维品质。四、教学重难点重点：求基本初等函数的导数难点：基本初等函数的导数公式的应用重点：熟练掌握基本初等函数的导数公式难点：掌握导数的四则运算法则重点：运用复合函数求导法则求简单函数的过程难点：理解复合函数求导法则的公式结构五、教学策略选择与设计在教学方法上，考虑到高中生的心理特征和现有的知识水平等特征，主要采用类比发现式和探究教学法教学模式，从学生已有知识水平出发，不断提出新的问题，激发学生的求知欲，引导学生积极参与课堂活动。从实际问题出发，注意新旧知识间的联系，减少学生理解上的困难。利用信息辅助教学，从而使学生的思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究，让学生在交流合作、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，逐步将知识内化为自身的认知结构，本课堂倡导以“主动参与、乐于探究、交流合作”为主要特征的学习方式。课程类型新授课章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□教学方法本单元拟采用的教学方法包括讲授法、讨论法、探究法教学媒体课件、几何画板、网络画板六1、教学过程设计（函数的单调性）教学环节1复习回顾，引入新知教师活动1学生活动1我们在必修一中学过初等函数，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行四则运算得到的，那我们是否也能求出基本初等函数的导数，对导数进行四则运算呢？这样就可以求出复杂函数的导数，那我们就沿着这个思路进行本节的教学。导数的定义我们称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0fx0+∆x-f(x0)∆x为函数y=f(x)在用定义求函数的导数步骤：求平均变化率∆y∆x求平均变化率的极限。导数的几何意义f'(x0)是曲线y=f(x)导数的物理意义位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是加速度。学生思考导数如何进行四则运算，形成问题，带着疑问去进行本节课的学习。学生在老师的带领下回顾求函数导数的方法，为接下来就简单函数的导数提供理论指导。教学环节2实例探究，新知详解教师活动2学生活动2问题1：根据定义，分别求下列函数的导数，并解释其几何意义和物理学意义y=cy=xy=y=y=（教师引导学生按照刚复习的定义求导数，通过对学生作答情况的纠正达到讲授新知的目的）探究1：若y=fx=c(如下图)表示路程关于时间的函数，结合追问：是不是任意常函数求导都为零呢？探究2：求y=fx若y=x表示路程关于时间的函数，则可以怎样解释？（教师根据探究一的回答情况进行适当点拨，以学生回答为主，教师引导为辅）思考：在同一平面直角坐标系中，画出y=2x,y=3x,y=4x的图像从图像上看，它们的导数分别表示什么？这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？（教师点拨：当时，函数递增，值越大，切线斜率越大，函数增长得越快，当时，函数递减，值越小，即值越大，函数减小得越快）探究3：函数fxy=2xy某物体做变速运动，若位移s关于时间t的函数为s=t2,则该物体在时刻t的瞬时速度（教师讲解：如果自变量表示时间,因变量表示路程，观察函数图像，发现路程不随时间均匀变化，说明物体进行变速运动，对函数图像上任意一点求出切线的斜率，则在该时刻瞬时速率为，说明物体进行匀加速运动）学生先使用定义法对这五个函数进行求导，标记自己的疑问点。探究1学生1：如果纵轴表示路程，横轴表示时间，结合图像可以看出路程没有变化，任意时刻速度为0，所以导数为0；导数表示切线的斜率，图像上任意一点斜线与x轴平行，即斜率为0，可知任意一点处导数为0，用定义求导数也是0.学生2：我认为任意常函数求导都为零，因为常数函数的图像都与x轴平行，任意点处切线斜率都为0.探究2：学生3：说明速度一直为1，即物体在进行匀速运动，另外，任意一点处切线的斜率也是1。小组合作用定义法求出y=2x,y=3x,y=4x的导数，画出它们的函数图像，并完成思考题。探究3：学生进行同桌讨论后听教师讲解。说明：用定义法求的导数因为所以用定义法求的导数因为所以用定义法求的导数因为所以教学环节3师生共研，归纳结论学生活动3教师活动3探究4：用定义分别求函数fx=1解：因为，令，得所以在点（1，1）处切线的斜率所以曲线在点（1，1）处切线方程为，即变式1：求曲线y=1解：设切点为，因为，则曲线在点处切线的斜率，所以曲线在点处的切线为，因为切线过点（4，0），带入解得，所以曲线y=1x过点（4，0）的切线方程为，即变式2：曲线y=1x上的点到直线通过观察函数图像，发现曲线某点处切线的斜率与直线x+y=0斜率相等，则该点到直线x+y=0距离最短解：由于，令，得，所以点（1，1）和点（1，1）处切线斜率等于直线x+y=0的斜率，由点到直线距离公式得到点（1，1），（1，1）到直线x+y=0的距离分别为，猜想：由x-1'=-1∙x-2,总结：学生根据定义法尝试求导数，并能描述当时，斜率为负值，并且逐渐增大，直到逼近0，当时，斜率为负值，并且逐渐减小，最后逼近于负无穷。学生认真听老师的解题步骤，总结做题方法。说明：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求导数，找切点(x求斜率k=f'(x写出切线的点斜式方程y=fx求曲线过某点处的切线方程的步骤：设切点(x求斜率k=f'(x写出切线的点斜式方程y=fx0=f'(教学环节4练习巩固，新知应用教师活动4学生活动4例1：求曲线fx解：因为，令，得所以在点（1，1）处切线的斜率所以曲线在点（1，1）处切线方程为，即例2：求曲线fx=解：因为，令，得所以在点（1，1）和（1，1）处切线的斜率所以曲线fx=x3(x>0)上斜率为3的例3：求曲线fx=x3(x>0)解：由于直线的斜率为3，由例二得点（1，1）和（1，1）处切线斜率为3，所以这两点到直线的距离才有可能最近由点到直线距离方程得点（1，1）到直线的距离，点（1，1）到直线的距离，所以曲线fx=x3(x>0)上到直线距离最近的点的坐标为（1，1）教师引导学生应用做题步骤解决例一，并能灵活运用导函数和切点坐标求切线方程学生1：上台展示自己的做题步骤，并讲解自己的做题思路。学生自行练习例二和例三，在这个过程中教师注意引导学生总结做题步骤。，活动意图说明：通过大量的练习，让学生掌握知识并灵活应用知识，学生自行动手练习，将理论知识应用于实际问题中，通过课堂纠错，让学生对知识有清晰的认知，学生在一次次练习中加深知识的掌握程度，业提高了解决问题的自信心，学生形成自我效能感，这对培养学生对学习数学的兴趣大有帮助。教学环节5课堂小结，新知回顾教师活动5学生活动5总结：通过本节课的学习，你有什么收获？（教师要鼓励学生积极发言，营造宽松的课堂气氛，形成师生互动，共同学习的教学效果，充分尊重学生的主体性）知识：基本初等函数的求导公式数学思想：数形结合思想，极限思想。易错点：在曲线某点处的切线方程与过曲线某点处的切线方程在教师的带领下，学生集体回顾本节课所学内容，分享本节课学到的知识，记忆基本初等函数的求导公式，掌握曲线上某点处切线方程的求法。七1、板书设计基本初等函数的导数一、导数的定义及意义二、探究简单函数的导数三、例题讲解例1列2例3四、练习六2、教学过程设计（导数的运算法则与复合函数的导数）教学环节1问题引入，引发思考教师活动1学生活动1教师在黑板上写出问题：求的导数师：上节课我们从几何角度和物理角度分析了导数的意义，用公式法求解了幂函数的导数，并给出了基本初等函数的导数，你能用所学知识求出黑板上这个函数的导数吗？我们观察并不是基本初等函数，它是基本初等函数进行复合运算得来的，那么由如何求复杂函数的倒数呢？让我们进入今天的课题“导数的四则运算法则和复合函数求导”。学生对老师给出的导数表示疑惑，发现无法用所学知识解答，对学习新知识解决疑问抱有浓厚的兴趣。教学环节2典例探究，学习新知（导数运算法则）教师活动2学生活动2探究1：（函数和、差的求导法则）如何求函数的导数？（定义法）设，由导数的定义，所以追问1：由定义得而，所以.同样地，对于上述函数，.总结：两个函数和的和（或差）的导数法则：探究2：（函数积、商的求导法则）以为例，计算与，它们是否相等？，，因此.追问2：与商的导数是否等于它们导数的商呢？所以，与也不相等.事实上，对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即.思考：三个函数f(x)、g(x)和h(x)的乘积的导数?学生针对探究题进行小组讨论，并汇总答案，教师邀请小组上台作答，根据作答情况进行统一讲解。针对探究1，学生能用定义求出的导数，但是在讨论的过程中部分学生不能区分求导情况的不同。针对探究2，大部分学生能得出，的结论，但有少部分同学混淆乘积的导数与导数的乘积，商的导数与导数的商，在探究时出现的问题较多。说明：从最常见的课本例题出发，通过鼓励学生自主探究和的导数与导数的和的差别，得到导数加减的运算法则，同样采用小组合作探究模式，让学生自主研究导数的积与积的导数，商的导数与导数的商，进而给出导数积和商的运算法则。学生通过自主探究得出结论，亲历知识的发现过程，便于知识内化。小结：导数的四则运算法则；.练习：(1)y=x2sinx；(2)答案(1)y'=2xsin⁡x+x解析(1)y(2)y'(3)∵yf(x)的导函数是f'(x)，若f(答案-解析f(x)=∴f∴f针对练习1，学生能够运用所学知识求复杂函数的导数，但在做题过程中出现不能灵活运用求导法则，基本初等函数求导公式记错等问题，教师要在白板上清晰地展示运算过程，指出易错点，以帮助学生更好地利用导数运算法则求复杂函数的导数。针对练习2，学生对求导有疑问，不理解的意义，教师应针对大家的疑问点进行讲解。说明：在练习的过程中，学生经历了“研究问题——得出结论”的逆向过程，利用结论来解决实际问题，总结不同类型题目的普遍规律，辨析导数的意义，发现新的问题，并在教师的引导下解决问题，形成“使用结论——解决问题——发现新问题——得到经验”的闭环。教学环节3问题讲解，复合函数求导研究教师活动3学生活动3师：我们已经学习了基本初等函数求导公式和导数运算法则，相信大家已经学会求复杂函数的导数，那本节课开头所列函数你会求解吗？在求解过程中又遇见了哪些新问题呢？知识点1：复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．问题1：（1）函数是由哪些函数复合而成的？函数y＝sin2x是由哪些函数复合而成的？函数是由哪些函数复合而成的？问题2：如何求函数y＝sin2x的导数呢？（教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．）预设的答案：追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以表示y对x的导数，表示y对u的导数，表示u对x的导数，那么与及有什么关系呢？（学生先求出和然后找关系．教师完善、讲解．），，又，所以．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．学生发现已有知识无法解决函数求导问题，认真听老师讲解复合函数的概念，从符合函数的角度尝试解决问题。学生1：函数是由和复合而成。学生2：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成．学生3：函数y＝ln（2x1）是由y＝lnu和u＝2x1复合而成．学生在老师的引导下回答问题2，对于不同的答案教师要及时纠错，辨析清楚。设计意图说明：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．教学环节4练习巩固，总结方法教师活动4学生活动4练习1写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则求出函数的导数：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=（5）y=（6）y=方法总结：1．复合函数求导的步骤2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．做题技巧：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.学生1：函数y=x+110的中间变量为学生2：函数y=e2x+1的中间变量为u=2x+1.则函数的导数学生3：函数y=sin(-2x+5)的中间变量为u=-2x+5学生4：函数y=ln(3x-1)的中间变量为u=3x-1学生5：函数y=32x-1的中间变量为u=2x-1学生6：函数y=1(2x-1)2的中间变量为u=2x-1，所以y=y设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．教学环节5总结回顾