恒定电流的磁场

本章将讨论真空中恒定电流激发的不随时间变化的磁场

—

恒定磁场（又叫静磁场）

方法：采用与静电场对比的方法

本章内容：①首先引入描述磁场的基本物理量—磁感应强度；②然后给出求电流磁场的基本实验定律—毕-萨定律；③采用简明的方法得出描述磁场性质的两个定理—高斯定理和安培环路定理；④讨论磁场对电荷和电流的作用。§5.1

磁现象及其与电现象的联系一、磁的基本现象磁场1.

磁现象（1）磁铁有磁极—N

极、S极S

N

S

N

磁单极子？不存在同性磁极相斥，异性磁极相吸（2）电流对磁针有作用（电流的磁效应）

I奥斯特(1777-1851)（HansChristan

Oersted）,丹麦物理学家，在历史上第一次揭示了电现象与磁现象的联系，从而导致了19世纪中叶电磁理论的统一和发展。

（3）磁铁对载流导线有作用（4）载流导线之间有相互作用（5）磁铁对运动电荷有作用（6）载流螺线管相当于磁棒，螺线管的极性与电流成右手螺旋关系。2.

磁场

磁铁和磁铁、磁铁和电流、电流和电流之间都存在相互作用，这些作用是如何实现的？

磁铁和电流都会在其周围空间激发一种能显示磁力的物质

—磁场

磁场磁铁电流磁铁电流磁场对外的重要表现：①

磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；②

载流导体在磁场中移动时，磁场对载流导体作功，表明磁场具有能量。二、物质磁性的起源

磁铁和电流都在周围空间激发磁场，那么，磁性究竟起源于什么？

任何物质的分子中都存在着环形电流，称为分子电流，每个分子电流就相当于一个基元磁体，当这些分子电流作规则排列时，宏观上便显示出磁性。安培分子电流假说：安培分子电流假说揭示了物质磁性的电本质，即轨道圆电流＋自旋圆电流＝分子电流磁相互作用从根本上可以归结为如下图式：电流电流磁场磁力的传递者是磁场磁场与电场一样，是客观存在的特殊形态的物质。一切磁现象都起源于电流三、磁感应强度矢量为了定量地描述磁场，我们引入磁感应强度矢量。

方法：在磁场中引入一个运动试探电荷

通过实验总结出磁场对运动试探电荷的作用力所遵循的规律，并由此来定义磁感应强度矢量。1.磁场对运动电荷的作用力所遵循的规律（1）带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关。磁场中的任一点都存在一个唯一的特定方向，当电荷沿这个方向（或反方向）通过点时不受力，且此特定方向与放在该点小磁针北极指向一致。P*++（2）电荷沿其它方向通过点时，其受力垂直于与该特定方向所组成的平面。（3）当试探电荷沿垂直于特定方向通过

点时受力最大，且，比值与无关。2.

磁感应强度的定义

运动试探电荷（）以任意速度通过场点

,当它沿着处于该点的小磁针

N

极所指方向运动时，所受磁力为零，则定义这个方向为该点的方向；当它沿垂直于小磁针N所指方向运动时，所受磁力最大，则定义比值为该点的大小，即写成矢量式+

的单位：特斯拉（T

）1T=1N·A-1·m-1★

说明①的大小、方向是分别定义的。②是矢量点函数，即在空间形成矢量场。③

有多种定义方法。§5.2

毕奥—萨伐尔定律通过求和或积分通过求和或积分一、毕—萨定律法国物理学家毕奥和萨伐尔于1820年用实验证明了载流长直导线周围的磁场与电流成正比，尔后由拉普拉斯通过数学分析找到了电流元产生磁场的规律，并证明了磁感应强度遵循矢量叠加原理。电流元在空间产生的磁场遵循如下规律：§5.2

毕奥—萨伐尔定律P*称为真空磁导率电流元在空间产生的磁场遵循如下规律：★

说明①

当或时，，即电流元在其延长线上各点产生的磁感应强度为零。②

电流元的磁场具有轴对称性，对称轴就是的延长线。③

该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接验证。二、磁场叠加原理

当有多个电流元或多个闭合电流同时存在时，空间某点的总磁感应强度等于所有电流元或所有闭合电流单独存在时在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即或【例1】判断下列各点磁感强度的方向和大小123456781、5

点：3、7点：2、4、6、8点：【例2】试比较库仑电场公式与毕—萨定律库仑场强公式：毕奥—萨伐尔定律：相似之处：（1）都是元场源产生场的公式。一个是电荷元（或点电荷）的场强公式，一个是电流元的磁感应强度的公式。（2）和大小都是与场源到场点的距离平方成反比。（3）都是计算和的基本公式，与场叠加原理联合使用，原则上可以求解任意分布电荷的静电场和任意形状恒定电流的磁场。不同之处：（1）库仑场强公式是直接从实验总结出来的,毕奥一萨伐定律是从概括闭合电流磁场的实验数据间接得到的。（2）电荷元的电场强度的方向与方向一致或相反，而电流元的磁感应强度的方向既不是，也不是的方向，而是垂直于与组成的平面，有右手螺旋法则确定。（3）的大小与场源电荷成正比，而的大小不仅与

的大小成正比，而且还三、毕奥-萨伐尔定律应用举例求电流磁场的基本方法有两种：1.

叠加法（1）直接利用毕

—

萨定律通过积分求解与的方向（它与的夹角）。步骤：首先分析的对称性，依据对称性选择合适的坐标系；

任取一电流元，写出及其分量式

；注意：这里的电流元可以是无限小的电流元，也可以是分布已知或易求的载流体，这时的可由已知或易求的结论写出。2.

安培环路定理法对结果作必要的讨论。（2）多个分布已知的载流导体共同激发的磁场，可由磁场叠加原理直接求出。

统一变量或作变量替换，给出正确的积分上、下限并积分；*DC【解】方向均沿轴负方向。1.直长载流导线的磁场*DCPCD

的方向沿轴的负方向式中、分别是入端、出端电流元与它们到场点的矢径间的夹角。讨论，

，则有①

当导线无限长（）时熟记IBIBX②

半无限长载流长直导线，场点位于直导线的一端。*P熟记③

扩展平面电流，平板电流，无限大平面电流，无限大平板电流。圆弧面电流，圆弧体电流，圆柱面电流，圆柱体电流。2.圆形载流导线轴线上的磁场Ip*【解】根据对称性分析有p**讨论①

若线圈有匝，则②若，则的方向不变

(

和

成右手螺旋关系

）③

，熟记圆电流在圆心处的磁场圆电流在圆心处的磁场④

，⑤

扩展:亥姆霍兹线圈RO1RQ1PO2Q2R载流螺线管、平面线圈等磁偶极子⑥

磁偶极子磁矩

若环形电流的面积很小或场点距环形电流很远，则称这样的环形电流为磁偶极子。磁矩式中为线圈法向单位矢，法向与电流方向成右手螺旋关系。例如，圆电流轴线上离圆心很远的地方，磁感应强度可以表示为3.载流螺线管轴线上的磁场设螺线管半径为，导线电流为，单位长度匝数为。++++++++++++++*【解】由圆形电流磁场公式在螺线管上任取一元段对应着匝,相当于电流为一个圆电流，它在点产生的磁场大小为++++++++++++++++++++++++++++++讨论①

点位于管内轴线中点②

无限长的螺线管，，熟记③在半无限长螺线管的有限端④实践中，螺线管长，直径，若，则螺线管内部可视为均匀磁场。⑤

曲线xBO

由图看出，轴线上各点（靠近两端的点除外）有近似相等的值，且此值近似等于端点的值的

2

倍。四、运动电荷的磁场由毕—萨定律

运动电荷的磁场实用条件：++可见，两个等量异号电荷作相反方向运动时，其激发的磁场相同。【例3】标出下列电流的磁场的大小和方向oI（5）*

Ad（4）*o（2R）I+IRo（1）x2R（3）oI++【例4】教材214页5.2.14【解】利用无限长直线电流的磁场叠加求解。方向在

平面内与垂直。

由对称性，点的磁场只有轴分量，即写成矢量式:讨论①

如果，即离板很远处，很小，则与无限长直线电流的磁场相同。②

如果，即离板很近，则

引入面电流密度矢量

，其方向就是电流的方向，其大小等于与电流方向垂直的单位长度上的电流。

均匀载流无限大平面磁场

:式中是平面法向单位矢量，指向场点一侧。均匀载流无限大平面的磁场分布IIIIII×·IIIIII·【例5】有一电介质薄圆盘，其表面均匀带电，总电荷为，盘半径为。圆盘绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，每秒转，求盘心处的磁场（大小）。【解法一】利用圆电流的磁场，通过叠加求解。垂直于盘面向外；垂直于盘面向内。【解法二】利用运动电荷的磁场，通过叠加求解练习习题：5.1.15.2.15.2.2

5.2.35.2.45.2.5

5.2.65.2.75.2.8

5.2.95.2.10§5.3

磁场的高斯定理一、磁感应线（线）1.线的定义①磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度的方向；②场中任一点处的磁感应线密度等于该点磁感应强度的大小。IIISNISNI2.线的特性①磁感应线不会相交（磁场单值性的必然结果）②

磁感应线是闭合曲线（不存在磁单极的必然结果）。③

磁感应线与电流互相环连时，它们之间的方向服从右手定则。二、磁通量面元：有限曲面：

单位：韦伯（）闭合曲面：

三、磁场的高斯定理

对任意闭合曲面的通量恒等于零。（S

为任意闭合曲面）★说明①

高斯定理说明磁场是无源场。②

磁场的高斯定理对任何磁场都成立。③由高斯定理可得一个重要的推论：

以任一闭曲线为

L边线的所有曲面都有相同的磁通。【例1】如图载流长直导线的电流为I,试求与导线共面的矩形

CDEFC

的磁通量。【解】先求，对变磁场给出后积分求。§5.4

安培环路定理

在恒定电流的磁场中，的环流等于什么？磁场是不是势场？一、安培环路定理

磁感应强度沿任意闭合环路的线积分等于穿过该环路所有电流代数和的倍。【用特例验证】oo①闭合环路包围载流直长导线电流正负的规定：与成右螺旋时，为正；反之为负。若回路绕方向为逆时针时，则oo②

任意形状的闭合环路

与成右螺旋③

电流在回路之外④多电流情况

以上结果对任意形状的闭合电流（伸向无限远的电流）均成立。①

安培环路定理说明磁场不是势场，不是势场的矢量场称为涡旋场。在磁场中不能引入像电势那样的标量势。★说明②是闭合环路上任一点的磁感应强度，它是由空间所有电流共同产生的，只不过环路之外的电流对的环流无贡献，并非对本身无贡献。③只表明环路所包围的电流的代数和为零，只能肯定的环流为零，而不能肯定地说没有包围电流，也不能肯定地说上各点的一定为零。④

安培环路定理对稳恒磁场是普遍成立的。但用它来计算时，要求磁场必须具有对称性，同时，要正确选择积分路径，才可能将提到积分号外，以便进行积分运算。【例1】【解】

问:①是否与回路外电流有关？②若，是否回路上各处?是否回路内无电流穿过？×·【例2】图中有两根“无限长”载流均为的直导线，有一回路，则下述正确的是（A），且环路上任意一点（B），且环路上任意一点（C），且环路上任意一点（D），且环路上任意一点常量二、真空中静磁场的基本方程磁场是无源场磁场是涡旋场静磁场的两个方程各自从一个侧面反映了恒定磁场的性质，两者结合起来才能给出磁场的全部特性。三、安培环路定理的应用安培环路定理可用于具有一定对称性的电流电流分布产生的分布。或.1.

无限长圆柱形均匀载流导线的磁场

由于电流分布是轴对称的，所以磁场分布也是轴对称的，即同轴圆周上各点的大小相等，方向沿圆的切向与成右手螺旋关系。在柱体外（）：在柱体内（）：写成矢量表达式为指向场点的矢径讨论

无限长均匀载流圆柱体的磁场问题可扩展为①载流圆柱面，载流圆筒，多层同轴载流圆筒；②

非均匀载流圆柱体，非均匀载流圆筒，非均匀载流多层同轴圆筒（体）；③补偿法圆柱空腔：电流分布可看作大圆柱电流（）和小圆柱电流（）的叠加；磁场分布为这两部分电流产生磁场的叠加。2.

无限长均匀载流圆柱面的磁场3.无限长载流螺线管的磁场

利用和安培环路定理证明：管内有均匀磁场，方向与轴线平行，大小,管外磁场。由对称性知，管内各点磁场的方向平行于轴线，方向与电流成右手螺旋关系，且距轴线等远处的大小相等。++++++++++++++++++管内任一点的磁场：可见，管内任一点的磁场均与轴线上的磁场相同说明管内是均匀磁场。管外任一点的磁场：++++++++++++++++++可见管外任一点，磁场集中在管内。

螺线管为实验建立一已知的均匀磁场提供了一种方法。4.载流螺绕环（罗兰环）的磁场

密绕在圆环上的螺线形线圈称为罗绕环。由对称性知，环内线为同心圆，环外为零。取以环心为心的中心圆为安培环路。在的条件下，可以认为螺绕环内磁场是均匀的，都等于。5.均匀载流无限大平面的磁场对称性分析磁场分布

取矩形环路如图，长边边长为。§5.5带电粒子在电磁场中的运动

本节将讨论带电粒子在电场和磁场中运动的一些例子，以此来了解电磁学的一些原理在科学技术上的应用。+电场力:磁场力（洛仑兹力）运动电荷在电场和磁场中受的力电场力对粒子加速，磁场力控制粒子运动。一、带电粒子在均匀恒定磁场中的运动1.

带电粒子垂直射入均匀磁场时的匀速率圆周运动运动方程回转半径：回转周期：回转频率：（或）与粒子的速率（或）无关，这是一个重要的结论，它是磁聚焦和回旋加速器的理论依据。例如，、相同的粒子在同一均匀磁场中运动时，速率大的转大圈，速率小的转小圈，但是各自都在相同的时间内跑完一圈，这是一个非常重要的结论。2.

带电粒子以任意角度射入均匀磁场时的螺旋线运动在平行于的方向：粒子作匀速直线运动在垂直于的方向：粒子作匀速率速圆周运动。两个运动的合成，粒子的轨迹是一条螺旋线。螺旋线半径：螺旋线螺距：二、磁聚焦在均匀磁场中某点

A发射一束初速相差不大的带电粒子,它们的与之间的夹角不尽相同，但都较小,这些粒子沿半径不同的螺旋线运动,因螺距近似相等,所以经过距离后又重新汇聚在屏上同一点，这种现象称为磁聚焦。应用电子光学,电子显微镜等。三、回旋加速器

第一台回旋加速器是美国物理学家劳伦斯（E.O.Lawrence,1901-1958)于1932年研制成功的。此加速器可将质子和氘核加速到

1MeV(106eV）的能量。为此，1939年劳伦斯获得诺贝尔物理学奖。

条件：交变电场、恒定磁场共同作用

原理：带电粒子在盒内磁场作用下作圆周运动动，由于周期与速率无关，使得电子在狭缝处被电场加速。高能粒子在科学技术中有广泛应用，例如在核工业、医学、农业、考古学等。

用途：获得高能粒子流。回旋加速器原理图NSBO~N频率与半径无关到半圆盒边缘时

我国于1996年建成的第一台强流质子加速器，可产生数十种中短寿命放射性同位素。四、汤姆逊实验—电子荷质比的测定（1897年）....................+-AA’K+dL..................................................................................................速度选择器

条件：电场、磁场共同作用

原理：电子在狭缝处被电场加速，在速度选择器被虑速。然后，将电场切断，电子束在磁场区沿圆弧运动。电子在正交电磁场中被滤速圆弧半径电子荷质比单独测出电子电荷的任务是12年后密立根在油滴实验中完成的。五、质谱仪

质谱仪是用物理方法分析同位素的仪器，是由英国物理学家和化学家阿斯顿在1919年创制的，当年用它发现了氯和汞的同位素。以后几年又发现了许多种同位素。为此，阿斯顿于1922年获诺贝尔化学奖。...................................................................+-速度选择器照相底片质谱仪的示意图滤速：圆周运动7072737476锗的质谱六、霍耳效应霍耳效应将载流导体薄板（或半导体板）置于与其垂直的磁场中中，板内会出现与电流方向垂直的电场，相应地，板的两侧之间出项一个横向电压，这个效应称为霍尔效应。1.实验规律在磁场不太强时，电势差的大小与电流和磁场成正比，与薄板的厚度（沿磁场方向的厚度）成反比，即式中的比例系数称为霍耳系数，它与材料的物理性质有关。如果撤去磁场或电流，霍耳效应也就随之消失。2.经典解释

霍耳效应的出现是由于导体中的载流子（可正、可负），在磁场中受到洛伦兹力的作用而发生横向偏转的结果。I+++

+

+-----+霍耳电压平衡时：I++++

+

+-----霍耳系数3.

霍耳效应的应用

霍耳效应在科学技术许多领域中得到广泛的应用。①霍尔效应为研究半导体载流子浓度的变化提供了重要方法。I++++---P型半导体+-+++---N型半导体-I+-②判断半导体的类型（电子型（n

型），空穴型（

p

型）③测量磁场④磁流体发电在磁场中的固体载流导体会产生霍尔效应，导电流体在磁场中同样会产生霍尔效应，这就是磁流体发电的根据。【例1】一块半导体样品板在面上，平行轴加一均匀磁场，沿正方向通有电流。正确的答案是（）ABA.

当载流子为空穴，且，则；B.

当载流子为电子，且，则；C.

当载流子为空穴，且，则D.

当载流子为电子，且，则。§5.6

磁场对载流导线的作用一、安培力公式磁场对载流导体的作用力称为安培力

对电流元的作用力1.安培力

对有限长载流导线的作用力2.

安培力的微观解释

安培力实质上是洛伦兹力的宏观表现SS电流元所受洛伦兹力的合力—安培力因为与方向相反，所以上式可改写为

由于自由