映射拓扑学的新方向仿紧映射及亚紧映射

映射拓扑学的新方向仿紧映射及亚紧映射

1u3000上的同类性定义利用纤维覆盖的特征来研究和雕刻入侵空间的连续映射，产生了一般入侵科学的新研究方向。例如，完整的映射策略被刻为一组紧密映射，这引起了许多拓荒者的兴趣，并取得了一些重要的结果。Buhagiar和Miwa定义了仿紧映射,次仿紧映射,亚紧映射和集态正规映射,并在一定分离公理条件下给出了这些映射的一些等价刻划.本文进一步拓展他们的结果,利用半开覆盖及内核保持开覆盖给出了仿紧映射和亚紧映射的新的刻划.任意拓扑空间Y,记N(y)为空间Y中的点y的邻域,这里的邻域指的都是开邻域.对空间的子集族U,W及子集A,集族{U∩A:U∈U}记为U∧A;集族{U∩W:U∈U,W∈W}记为U∧W.记(U)A={U∈U:U∩A≠∅};如果A={x},则用(U)x代替(U)A.集族U中元的所有有限并构成的集族记为UF.定义1.1设A,B,U为空间X中的子集,若A∩U,B∩U在U中有互不相交的邻域,则称A,B在U中邻域可分的.定义1.2连续映射f:X→Y被称为是正则映射,如果每一x∈X及X中的任一闭集F使得xue06fF,存在f(x)的一个邻域O使得{x},F在f-1O中邻域可分.定义1.3设f:X→Y是拓扑空间X到Y的连续映射.对y∈Y,X中的子集族称为是y-局部有限的,如果任一x∈f-1y,存在x在X中的邻域Ox使得Ox只与这集族中有限个元相交.如果集族U={Uα:α∈A}是X的y-局部有限开集族,则U在∪x∈f-1yΟx∪x∈f−1yOx中局部有限.特别地,如果f是闭的且U覆盖f-1y,则存在y的一个邻域Oy使f-1Oy被U所覆盖且U在f-1Oy中局部有限.定义1.4连续映射f:X→Y是仿紧的,如果对y∈Y及X中每个覆盖f-1y的开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy有一个开加细在f-1Oy中是y-局部有限开的.定义1.5连续映射f:X→Y是亚紧的,如果对y∈Y及X中每个覆盖f-1y的开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个点有限开细.定义1.6连续映射f:X→Y是可数仿紧的,如果对y∈Y及X中每个覆盖f-1y的可数开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy有一个开加细在f-1Oy中是y-局部有限开的.从定义知,如果映射f是仿紧的,亚紧的或可数仿紧的,那么它是闭的.因此上述定义中y-局部有限可换为局部有限.以下定义详细请参阅文.定义1.7空间X的覆盖U被称为是内核保持的,如果任意U′⊂U,∩U′是开的.集族L称为单调的,如果L上的包含于关系⊂是L上的线性序;如果这个线性序是良序,则称L为严格单调的.L称为定向的,如果对L,L′∈L,K∈L使得L∪L′⊂K.如果L是严格单调的,L′⊂L,则∩L′∈L.所以X的每一严格单调开覆盖是内核保持.显然每一单调集族是定向的;LF及L是定向的当且仅当LF加细L;如果L是空间X的内核保持开(闭包保持闭)覆盖,则LF是X的内核保持开的(闭包保持闭的).定义1.8设U是X的一个覆盖,U被称为是X的半开覆盖,如果对x∈X,St(x,U)是x的一个邻域.K是X的一个覆盖,K称为是L的一个F加细,如果任意N∈K,存在L的有限子族L′使N⊂∪L′;K称为是L的一个点态(局部)W-加细,如果对x∈X,存在有限子族L′⊂L使得对每一N∈(K)x(存在x的某一邻域U使得每一N∈(K)U),存在L∈L′,N⊂L.2价i映射f为了利用局部有限半开加细得到仿紧映射刻划,我们先给出下面这个引理.引理2.1设y∈Y,V是f-1y的一个y-局部有限半开覆盖,则V有一个闭F-加细是y-局部有限的.证明设y∈Y,V是f-1y的一个y-局部有限半开覆盖.对V的任一子族V′,令K(V′)=Cl(∩V′)-Int(∪(V-V′)).若V′是无限的,则K(V′)=∅.对V′⊂V,若x∈K(V′),则xue06fInt(∪(V-V′)).由于x∈Int(∪(V)x),故(V)x∩V′≠∅,即x∈∪V′.所以K(V′)⊂∪V′.对x∈f-1y,x∈K((V)x),由前面知K={K(V′):V′⊂V}是X中的闭集族并且是V的F-加细.往证K是y-局部有限的.对x∈f-1y,由于V是y-局部有限的,故集族V*={V∈V:x∈ˉV}x∈V¯¯¯}是有限的且O=X-Cl(∪(V-V*))为x在X中的开邻域.如果对V′⊂V满足K(V′)∩O≠∅,则(Cl(∩V′))∩O≠∅,(∩V′)∩O≠∅,从而V′⊂V*.所以O只与K中的有限个元相交.特别地,若又有f是闭映射,则存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被V所覆盖且V∧f-1Oy有一个闭F-加细在f-1Oy中是局部有限的.定理2.2设f:X→Y是连续映射,则下列论述等价(i)映射f是仿紧的;(ii)对y∈Y及X中每一个覆盖f-1y的单调开集族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个局部有限半开加细;(iii)对y∈Y及X中每一个覆盖f-1y的严格单调开集族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个局部有限开加细.证明(i)⇒(ii),(i)⇒(iii)显然.(ii)⇒(i).任意基数κ,P(κ)表示命题:对y∈Y,如果U是势为κ的X中一个覆盖f-1y的开族,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy有一个闭的F-加细在f-1Oy中是局部有限的.当κ为有限基数时,P(κ)显然为真.下面我们利用归纳假设证明P(κ)对任一无限基数都为真.设κ是无限基数使得每个基数α<κ,P(α)真.往证P(κ)真.设U为任一覆盖f-1y的势为κ的开族,不妨设U={Uα:α<γ},γ是对应于基数κ的最小序列数.对α<γ,令Vα=∪β≤αUβVα=∪β≤αUβ,则V={Vα:α<γ}是覆盖f-1y的单调开族.于是存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被V所覆盖且V∧f-1Oy在f-1Oy中有一个局部有限半开加细.由引理2.1,V∧f-1Oy有一个闭的F-加细在f-1Oy中是局部有限的,记为K,即对K∈K,存在V∧f-1Oy的有限子族V′∧f-1Oy使得K⊂∪(V′∧f-1Oy).由于V是单调的,所以存在V∈V使得K⊂V∩f-1Oy.取α(K)<γ使得K⊂Vα(K)∩f-1Oy,则W(K)={f-1Oy-K}∪{Uα:α≤α(K)}为覆盖f-1y的开族且|W(K)|<κ.由假设存在y的一个邻域O*y⊂Oy使得f-1O*y被W(K)所覆盖且W(K)∧f-1O*y有一个闭的F-加细在f-1O*y是局部有限的,记作F(K).对K∈K,F′(K)={F∩K:F∈F(K)}是X中的闭集族且在K∩f-1O*y是局部有限的,由于K是f-1Oy的局部有限闭覆盖,故F=∪{F′(K):K∈K}是X中覆盖f-1O*y的闭集族且在f-1O*y中局部有限.对F′∈F,存在K0∈K及F∈F(K0)使得F′=F∩K0.因为F(K0)是W(K0)∩f-1O*y的F-加细,所以存在有限子族W′(K0)∧f-1O*y⊂W(K0)∧f-1O*y使得F⊂∪(W′(K0)∧f-1O*y),F∩K0⊂∪(W′(K0)∧f-1O*y).由W(K0)的定义,F中的每个元F′都包含在U∧f-1O*y的某有限并内,所以F是U∧f-1O*y的F-加细,从而P(κ)成立.这就证明了对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的开族U={Uα}α∈Γ,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy有一个闭的F-加细H={Hs}s∈S在f-1Oy中是局部有限的.每一x∈f-1Oy,选取f-1Oy中的开邻域Vx仅与H中有限个元相交.则存在y的一个邻域O*y,不妨设O*y=Oy,{Vx}x∈f-1Oy有一个闭F-加细A在f-1Oy中是局部有限的.对s∈S,置Ps=f-1Oy-{A:A∈A,A∩Hs=∅}显然,Ps是f-1Oy中包含Hs的开集.此外,对s∈S,A∈APs∩A≠∅当且仅当Hs∩A≠∅(1)令B={Γ′:Γ′⊂Γ且Γ′是有限的},U(Γ′)={Uα}α∈Γ′.对s∈S,取Γ′(s)∈B使Hs⊂∪(U(Γ′(s))∧f-1Oy)且设Gs={Ps∩Uα∩f-1Oy:α∈Γ′(s)},G=∪{Gs}s∈S是U∧f-1Oy在f-1Oy中的开加细.由于每一x∈f-1Oy具有f-1Oy中的开邻域Vx仅与A中的有限个元相交,而A中的每一元仅与H中的有限个元相交.由(1)式Vx仅与有限个Ps相交.由于H是U∧f-1Oy的F-加细,故Vx仅与G中有限个元相交.从而G在f-1Oy中是局部有限的.这就证明了f是仿紧的.(iii)⇒(i).任意基数κ,P(κ)表示命题:对y∈Y,如果U是X中任一覆盖f-1y势为κ的开族,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个局部有限开加细.类似于上述证明方法,集族V是f-1y的严格单调开覆盖,W是V∧f-1Oy在f-1Oy中的局部有限开加细.对α<γ,令Pα=∪{W∈W:α(W)>α},Pα={Pα}∪{Uβ:β≤α}.由假设存在y的一个邻域O*y⊂Oy使得f-1O*y被Pα所覆盖且Pα∧f-1O*y在f-1O*y中有一个局部有限开加细Lα.对W∈W,令R(W)={W∩Q:Q∈Lα(W)且存在某一α≤α(W),Q⊂Uα}.易见R=∪{˙R(W)R=∪{R˙(W):W∈W}是U∧f-1O*y在f-1O*y中的局部有限开加细.从而P(κ)成立,f是仿紧的.引理2.3设f:X→Y是连续闭映射.对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持开集族U,下列论述等价(i)存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细;(ii)存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个开的内核保持点态星加细;(iii)存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个开的内核保持点态W-加细.证明(i)⇒(iii).设y∈Y,U是X中任一覆盖f-1y的内核保持开族,Oy为y的一个邻域使得f-1Oy被U所覆盖,F为UF∧f-1Oy在f-1Oy中的闭包保持闭加细.对x∈f-1Oy,设W(x)=[∩(U)x]∩[f-1Oy-∪(F-(F)x)].由于U是内核保持的,F是闭包保持的,故W={W(x):x∈f-1Oy}是X中覆盖f-1Oy的内核保持开集族.每一x∈f-1Oy及W(z)∈Wx,由W(x)的定义知存在F0∈(F)z使得x∈F0.根据假设,存在U有限子族U(F0)使得F0⊂∪(U(F0)∧f-1Oy).所以存在U∈U(F0)使得x,z∈U∩f-1Oy,从而W(z)⊂U∩f-1Oy.这就证明了W是U∧f-1Oy在f-1Oy中开的点态W-加细.(iii)⇒(ii).显然,因为U∧f-1Oy在f-1Oy中的任何一个点态W-加细都是UF∧f-1Oy在f-1Oy中的点态星加细.(ii)⇒(i).设y∈Y,Oy是y的一个邻域使得f-1Oy被U所覆盖,V是UF∧f-1Oy在f-1Oy中的一个开的内核保持点态星加细.对U′⊂U,令F(U′)={x∈f-1Oy:St(x,V)⊂∪(U′∧f-1Oy)},F={F(U′):U′⊂U且U′是有限的}.对x∈f-1Oy及z∈∩(V)x,有(V)x⊂(V)z,St(x,V)⊂St(z,V)且若F(U′)∩[∩(V)x]≠∅,有x∈F(U′).易证F是f-1Oy中的闭包保持闭族.由于V是UF∧f-1Oy的点态星加细,又F(U′)⊂∪(U′∧f-1Oy),所以F是UF∧f-1Oy的一个加细.注在上述引理(i)中,若UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细且这覆盖的元的内核覆盖f-1Oy,则相应地(ii),(iii)中“点态”就可改为“局部”.由于点有限开覆盖是其本身的一个内核保持点态W-加细,所以若f:X→Y是连续闭映射,对y∈Y,U是X中一覆盖f-1y的点有限开族,则存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细.从引理2.3的证明中我们容易知道,设y∈Y,U是任一覆盖f-1y的内核保持开族,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个点星开加细当且仅当U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细.定理2.4设f:X→Y是正则映射.则下列论述等价(i)f是仿紧映射;(ii)对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持定向开集族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个内核保持开的局部星加细;(iii)对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持定向开集族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个σ-闭包保持闭加细且这覆盖的元的内核覆盖f-1Oy;(iv)对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的定向开集族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细且这覆盖的元的内核覆盖f-1Oy.证明由于局部有限覆盖是它本身的局部W-加细,由引理2.3及其后的注释知(i)⇒(iv),(iv)⇒(iii)显然.(iii)⇒(ii).假设f满足条件(iii).首先证f是可数仿紧的.设y∈Y,C={Cn:n∈N}是X中任一覆盖f-1y的可数开族.对n∈N,令Dn=n∪k=1Ck,则D={Dn:n∈N}是X中覆盖f-1y的内核保持定向开族.由假设存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy的被D所覆盖且D∧f-1Oy有一个σ-闭包保持闭加细S=∪n∈ΝSn满足{S0:S∈S}覆盖f-1Oy.设R0=∅,对每一n∈Ν,Rn=∪{S∈n∪k=1Sn:S⊂Dn}.易证集族{Cn-Rn-1:n∈N}是C∧f-1Oy的一个开加细且在f-1Oy中是局部有限的.下面我们证明如果F是f-1Oy的一个σ-闭包保持闭子集族使得{F0:F∈F}覆盖f-1Oy,则有一个闭族K是F在f-1Oy中的闭包保持加细且{K0:K∈K}覆盖f-1Oy.设F=∪n∈ΝFn是f-1Oy的闭子集族满足{F0:F∈F}覆盖f-1Oy且Fn是闭包保持的,n∈N.对n∈N,令Cn=∪{F0:F∈Fn},则C={Cn:n∈N}是f-1Oy的可数开覆盖,从而覆盖f-1y.所以C∧f-1Oy有一个开加细P在f-1Oy中是局部有限的.任一P∈P,存在n(P)∈N使得P⊂Cn(P)∩f-1Oy.置K(Ρ)={F∩ˉΡ:F∈Fn(P)},则K=∪{K(P):P∈P}是F在f-1Oy中的一个闭加细.每一P∈P,集族K(P)是闭包保持的.由于P在f-1Oy中是局部有限的,所以K在f-1Oy中是闭包保持的.此外,若x∈f-1Oy,P∈Px,则存在K∈K(P),x∈K0.从而{K0:K∈K}覆盖f-1Oy.综上所述,我们知道每一y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持定向开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy有一个闭包保持闭加细,且这覆盖的元的内核覆盖f-1Oy.由引理2.3的注释知f满足条件(ii).(ii)⇒(i).设f满足条件(ii).根据引理2.3,f也满足(iii).由前面证明知f是可数仿紧的.再根据定理2.2(iii),只需证明每一y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个局部有限开加细.设y∈Y,U是X中任一覆盖f-1y的内核保持开族,则UF为X中覆盖f-1y的内核保持定向开集族.由条件知,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被UF所覆盖且UF∧f-1Oy在f-1Oy中有一个开的内核保持局部星加细.根据引理2.3,U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个开的内核保持局部W-加细U2.如此递推,存在y的邻域序列〈On(y)〉及X中的开集族序列〈Un〉覆盖f-1y使得U1=U,O1(y)=Oy,f-1On(y)被Un所覆盖且对n∈N,On+1(y)⊂On(y),Un+1是Un∧f-1On(y)在f-1On(y)中的局部W-加细.往证U有一个开加细V=∞∪n=2Vn且每一n∈N,Vn在f-1On(y)中是局部有限的.设U={Uα:α<γ},其中γ是某一序数.对U∈∞∪n=1Un,令α(U)为{α:α<γ,U⊂Uα}中的最小序数.如果U′∈∞∪n=1Un使得U⊂U′,那么α(U′)≥α(U)对n∈N,置Wn={U∈Un:任意U′∈Un-1满足U⊂U′,则α(U′)=α(U)}.下面我们证明∞∪n=2Wn覆盖f-1y.设x∈f-1y,对n>1,令αn为{α(U):U∈(Un)x}的上确界.由于Un是U在f-1y中的点态W-加细,故有αn<γ.又每一n∈N,Un+1是Un的加细,所以αn+1≤αn.因而存在β<γ及k≥3使得对每一n≥k-1,αn=β.因为Uk+1是Uk在f-1y中的点态W-加细,所以存在(Uk)x的有限子族˜U使得(Uk+1)x加细˜U.取U∈˜U使得每一U′∈˜U,α(U′)≤α(U).显然αk+1≤α(U).另外,由于U∈Uk,故α(U)≤αk.又αk+1=αk=β,所以α(U)=β.如果U满足U⊂U′,那么α(U)≤α(U′).而αk-1=β,U′∈(Uk-1)x,所以α(U′)≤β,即α(U′)≤α(U).所以α(U)=α(U′)=β,x∈U∈Wk.从而∞∪n=2Wn覆盖f-1y.对n∈N及α<γ,令Vα,n=∪{U∈Wn:α(U)=α},Vn={Vα,n:α＜γ},V=∞∪n=2Vn.显然∪Vn=∪Wn,n∈N且对n∈N及α<γ,Vα,n⊂Uα.所以V是U的开加细.往证Vn在f-1On(y)中是局部有限的.每一n∈N及x∈f-1On(y),存在x在f-1On(y)中的邻域N及Un的有限子族U′使得(Un+1)N加细U′.令A={α(U′):U′∈U′},B={α<γ:N∩Vα,n+1≠∅}.任一β∈B,N∩Vβ,n+1≠∅.所以存在U∈Wn+1使得α(U)=β,U∩N≠∅,则U∈(Un+1)N.于是存在U′⊂U′使得U⊂U′.又U∈Wn+1,所以U⊂U′∈Un且α(U′)=α(U)=β.从而β∈A,B⊂A,即|(Vn+1)N|≤|U′|.所以Vn+1在f-1On(y)中是局部有限的,从而在f-1On+1(y)中是局部有限的.由文的定理3.7知f是仿紧的.以下我们主要给出亚紧映射的一些特征定理.类似于定理2.2的证明方法易证定理2.5f是亚紧映射,当且仅当对y∈Y及X中每一覆盖f-1y的严格单调开集族U,存在y的一个邻域Oy,使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy,在f-1Oy中有一个点有限开加细.不难看到,点有限半开甚至开覆盖并不一定都有点有限半开闭F-加细.但下面这个定理告诉我们,若存在点有限半开加细,则必存在某一开加细,从而得到亚紧映射在点有限半开加细下的刻划.定理2.6f是亚紧映射,当且仅当对y∈Y及X中每一覆盖f-1y的开集族U,存在y的一个邻域Oy,使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy,在f-1Oy中有一个点有限半开加细.证明“⇒”显然.“⇐”设y∈Y,U为X中任一覆盖f-1y的开族,Oy为y的一个邻域使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个点有限的半开加细L,先证明存在一个开族是U∧f-1Oy在f-1Oy中的点态W-加细.对L∈L,存在U(L)∈U使得L⊂U(L)∩f-1Oy.每一x∈f-1Oy,U(x)={U(L)∩f-1Oy:L∈(L)x}为U∧f-1Oy的有限子族.令V(x)=[Int(St(x,L))]∩[∩U(x)].往证V={V(x):x∈f-1Oy}是U∧f-1Oy在f-1Oy中的点态W-加细.对x∈f-1Oy及z∈f-1Oy使x∈V(z),则x∈St(z,L).所以存在L∈L使x∈L,z∈L.对开集U(L),U(L)∩f-1Oy∈U(x)且V(z)⊂U(L)∩f-1Oy.即每一V∈(V)x,存在U∧f-1Oy的有限子族U(x)中的某元U∩f-1Oy使V⊂U∩f-1Oy.所以V是U∧f-1Oy在f-1Oy中的点态W-加细.由文的定理3.4(Vi)可知f是亚紧的.定理2.7设f:X→Y是正则映射.则下列论述等价:(i)f是亚紧映射的;(ii)对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持定向开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy中在f-1Oy中有一个内核保持点星开加细.(iii)对y∈Y及X中任一覆盖f-1y的内核保持定向开族U,存在y的一个邻域Oy使得f-1Oy被U所覆盖且U∧f-1Oy在f-1Oy中有一个闭包保持闭加细.证明(i)⇒(iii)由文的定理3.4直接得出.(iii)⇒(ii)由引理2.3可得.(ii)⇒(i).设条件(ii)成立.要证f是亚紧的,由根据