球的切接问题之外接球专题讲义高三数学一轮复习

专题球的切接问题之外接球一、基础知识1、外接球：球心到多面体的所有顶点的距离都相等，则称这个球是这个多面体的外接球.2、长方体外接球（球心为体对角线中点）正方体外接球（球心为体对角线中点）方法一：补形法（棱锥补形）（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形，可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等（如正四面体），则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4例1．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π例2．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积是。例3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．例4．（2023·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．方法二：截面法模型一：圆锥截面（正棱锥可画出底面外接圆，与顶点形成圆锥）如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．由图、图可知，或，故，所以．例5．（2023·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.模型二：圆柱截面如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．直棱柱可画出底面外接圆，补为圆柱（直棱锥可补形为直棱柱）如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出。例6．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B．60 C． D．例7．四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()A．12πB．16πC．20πD．32π改变视角后补形模型三：圆台截面如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，高为，其外接球的半径为．（棱台可画出底面外接圆，补为圆台）例8．（2023·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．方法三：定义法（一般用于极特殊模型）例9直角三角形共斜边拼接如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边.设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，故点就是四面体外接球的球心．方法四：坐标法建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．课后作业1．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π2．正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，正四面体的棱长是．2．已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为.3．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．4．如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（

）A．6