最小相位系统的Bode图的应用增益裕度

本章知识点频率特性的基本概念(复习)系统频率特性的极坐标图表示方法奈奎斯特稳定理论最小相位与非最小相位系统及其区别系统的稳定裕量的再讨论系统的闭环频率特性1.1频率特性的基本概念(复习)1.2极坐标图的绘制

1.3奈奎斯特稳定理论

1.4系统稳定裕量的再讨论

1.5系统的闭环频率特性

1.6本章小结第一章线性系统的频域分析

系统对正弦输入信号的稳态响应。讨论线性定常系统(包括开环、闭环系统)在正弦输入信号作用下的稳态输出。系统或对象1.1频率特性的基本概念(复习)

为系统的幅频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。称１．频率特性的定义

为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出信号相对输入信号的相移。称定义频率特性的数学描述形式为：

是系统的幅频特性。其中：是系统的相频特性。频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。

输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化

1.1频率特性的基本概念(复习)（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性．（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移．（３）已知系统的传递函数，令，可得系统的频率特性。（４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质．几点说明：1.1频率特性的基本概念(复习)在系统的输入端输入一正弦信号，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性和相频特性。1)解析法2)实验法２．获取系统频率特性的途径1.1频率特性的基本概念(复习)3.

(半)对数坐标图(Bode图)对数相频特性的纵轴是线性分度：对数相频特性的纵轴是线性分度:半对数坐标系1.1频率特性的基本概念(复习)当时，二阶震荡系统的准确的对数幅频特性：幅值误差与关系二阶震荡环节的频率特性是对数幅频特性为当时，二阶震荡系统的近似折线的对数幅频特性：由此得幅值误差与关系1.1频率特性的基本概念(复习)绘制系统开环频率特性伯德图的步骤1）将开环传递函数写成典型环节乘积形式；2）如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置；3）各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；4）修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；5）画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性;1.1频率特性的基本概念(复习)思考题：1、互为倒数的传递函数的BODE图有什么关系？

2、最小相位环节和对应的非最小相位环节的BODE图有什么关系？已知系统的开环传递函数为:1）由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为例1-1系统开环频率特性的绘制解：3）各环节的对数幅频特性叠加；4）修正误差；5）画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性;2）存在交接频率，在ω轴上标出；dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-225º20lgK-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅频特性的绘制1、比例环节2、惯性环节3、震荡环节4、各环节叠加相频特性的绘制1、比例环节2、惯性环节3、震荡环节4、各环节叠加1）由Bode图判断系统的稳定性

稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示．最小相位系统的Bode图的应用增益裕度

—在相角特性等于的频率处的一个数值，剪切频率

—对应于的频率，记为相角裕量

—在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量．为使系统稳定，相角裕量必须为正值．稳定的系统，如果。例1-2解已知某系统的开环传递函数为：(1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。(1)绘制Bode图dBφ(ω)

ω2040-45º-90º20lg10-20dB/dec-60dB/dec2）由Bode图计算参数(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定系统的稳定性因为系统是最小相位的，并且系统稳定3）稳态误差的分析——

系统类型和系统的开环放大倍数系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。

当趋近于零时，回路增益越高，静态误差值就越小。

静态位置误差常数的确定假设系统的开环传递函数为

当γ=0时，由于此时最低频段的幅频特性斜率为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/decω1ω220lgK

静态速度误差常数的确定的起始线段/或其延长线与的直线的交点具有的幅值为定理1：斜率为dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv的起始线段/或其延长线与轴的交点为。定理2：斜率为

静态加速度误差常数的确定的直线的交点具有的起始线段/或其延长线与定理3：斜率为的幅值为的起始线段/或其延长线与轴的交点为。定理4：斜率为

4)由Bode图求GK(S)这里只要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。①根据最低频段的斜率确定系统的类型γ。②根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的焦点是20lgK。Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过，最低频段的幅频特性在通过横轴。③根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。④根据二阶环节的修正情况确定ξ。例1-3dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-20dB/dec-60dB/dec0.5525下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。dBφ(ω)

ω2040-45º-90º-180º-20dB/dec-60dB/dec0.5525解1、系统的类型γ=0。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。因为20lgK=20，所以K=10。3、根据转折频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。4、确定ξ。

由于人们的直觉是建立在时间域中的，所以，工程上提出的指标往往都是时域指标。对于二阶系统来说，时域指标与频域指标之间有着严格的数学关系。对于高阶系统来说，这种关系比较复杂，工程上常常用近似公式来表达它们之间的关系。1、二阶系统性能指标、与开环频域指标、ωc的关系

5）由Bode进行动态分析——瞬态计算（1）与之间的关系开环传递函数幅频特性：令所以相位裕量：当时，与为近似直线关系，如右图中虚线所示，此时:

超调量：与的关系是通过中间参数ξ相联系结论：对于二阶系统来说，越小，越大；反之亦然。为使二阶系统不至于振荡得太厉害以及调节时间太长，一般取：（2）与、之间的关系

因为将代入上式得到：可以看出：ξ确定以后，增益剪切频率ωc大的系统，过渡过程时间短，而且正好是反比关系。2、高阶系统

对于高阶系统，开环频域指标与时域指标之间难以找到准确的关系式。介绍如下两个经验公式：式中可以看出，超调量随相位裕度的减小而增大；过渡过程时间也随的减小而增大，但随ωc的增大而减小。结论由上面对二阶系统和高阶系统的分析可知，系统开环频率特性中频段的两个重要参数

、ωc，反映了闭环系统的时域响应特性。所以可以这样说：

闭环系统的动态性能主要取决于开环对数幅频特性的中频段。解某系统的开环传递函数为：试估算该系统的时域性能指标。开环放大系数K=250，所以20lgK=20lg250=48(db)各环节的转折频率分别为：例1-4图中ωc=12s-1，它是最小相位系统，故相位裕量：

所以，闭环系统的最大超调量σp及过渡过程时间：应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法本节小结频率特性与传递函数具有十分相的形式

一、模型关系二、

频率特性的表示法

对数频率特性曲线对数幅频特性相频特性纵坐标均按线性分度横坐标是角速率10倍频程按分度三、

频率特性的应用

稳定性分析G(S)的获得稳定余量及有关参数的计算γ、ωc、

κ

g

、

ωg

以上内容是同学们在控制工程基础课程中学习过，我们用了两个多学时复习了一下。

现在有这样几个问题，请同学们想一想：1、在BODE图中，幅频特性和相频特性是分别绘制的，可以一起绘制吗？画出来什么样？2、为什么在最小相位系统中，γ>0º系统就是稳定的？如果是非最小相位系统，这个判据还可以用吗？深刻地说，在频率域中线性控制系统稳定理论是怎样的？3、BODE图绘制的系统的开环频率特性，能够绘制闭环频率特性吗？本章下面讲解的目的就是要回答上面的问题。1.2极坐标图的绘制可用幅值和相角组成的向量表示。由零变化到无穷大时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。当输入信号的频率1、积分环节所以，积分环节的极坐标图是负虚轴。积分环节极坐标图2、微分环节所以，微分环节的极坐标图是正虚轴。3、一阶惯性环节一阶惯性环节的极坐标图4、一阶微分环节5、二阶惯性环节的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比ξ有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。

二阶惯性环节的极坐标图思考题：对于二阶微分环节的情况，同学们仿照前面讲过的内容自行绘制。ξ变化对二阶惯性环节极坐标图曲线形状的影响对于

二阶微分环节的极坐标图6、二阶微分环节极坐标图的低频部分为：极坐标图的高频部分为：

考虑下列二阶传递函数：试画出这个传递函数的极坐标图。例1-5解极坐标图的中频部分为：极坐标图7、传递延迟当时，两者存在本质的差别可见，低频时传递延迟与一阶环节的特性相似

当时8、极坐标图的一般形状0型系统：起点，是一个位于正实轴的有限值终点,极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。1型系统：的相角是在总的相角中项产生的

极坐标是一条渐近平行于虚轴的直线段。幅值为零，且曲线收敛于原点并与一个坐标轴相切。在总相角中的相角是由项产生的2型系统：高频(ω→∞)区域的极坐标图对于的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。时，轨迹将与实轴或虚轴相切。当思考题：1、互为倒数的传递函数的极坐标图有关系吗？

2、最小相位环节和对应的非最小相位环节的极坐标图有关系吗？本课程只要求最小相位系统的极坐标图的绘制。极坐标图的一般绘制方法(最小相位系统)2、与(负)实轴的交点3、变化过程和范围1、起点和终点γ＝0，起自于实轴G(0)；γ

>0，起自于无穷远，相角＝－90γ。起点终点n=m，终止于实轴G(∞)；n>m，终止于原点，相角＝－90(n-m)。令：得可求得。注意从小到大变化的过程中，各环节在幅相特性变化中的作用。注意分子环节和分母环节的作用是不同的。N.Nyquist

（1889-1976），美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输，通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础。他于1960年获得IEEEMedalof.Honor.1.3奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)

闭环系统

虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。

闭环传递函数为：为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。闭环线性系统稳定的充要条件

在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与

由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析

奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的函数映射基础上的。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。

1.3.1预备知识

可以证明，对于S平面上任意一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。幅角定理

设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则S沿Γ顺时针运动一周时，在F(S)平面上，F(S)闭合曲线ΓF包围原点的圈数：R>0和R<0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R＝0表示不包围F(s)平面的原点。当系统的开环传递函数为则其辅助函数是除奇点和外,在S平面上任取一点,如则S平面与平面的映射关系例1-6分析例1-7试分别用下面两个特殊函数检验幅角定理。F1平面S平面F2平面1.3.2奈奎斯特稳定定理考察可见，的分子是闭环特征多项式，其对应的是闭环极点，与系统的稳定性有关。分母是开环特征多项式。如果我们适当设计，就有可能利用幅角定理分析系统的稳定性。

假设F(S)在S平面的虚轴上没有零极点，在S平面上作一条完整的封闭曲线

s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。注意，这时的极点数P就是系统开环传递函数中的不稳定极点数，而不稳定零点数Z就是我们要求的闭环不稳定极点数。如果能够知道F(S)包围原点的圈数N，那么问题就解决了。曲线对原点的包围，恰等于轨迹对-1+j0点的包围。现在看起来似乎问题已经都解决了，请注意这样一个问题。看包围S右半平面的图，ω的变化范围是(-∞→0→∞),而在绘制极坐标图时，ω的变化范围是(0→∞)。（这个问题请同学们自己想办法来解决办法。）3、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P等于零，这意味着H(s)H(s)必须不包围-1+j0点。2、如果H(s)H(s)在右半s平面内无任何极点，即P不等于零，对于稳定的控制系统，必须R=-P，这意味着H(s)H(s)必须反时针方向包围-1+j0点P次。奈奎斯特稳定判据在右半s平面内的零点数，是对-1+j0点顺时针包围的次数(注意ω的变化范围是(-∞→0→∞))，是在S右半平面的极点数。。式中为这一判据可表示为：1、如果z=0，则系统稳定，Z>0则系统不稳定，且S右半平面上有z个不稳定极点。1.3.3含有位于上极点和/或零点的特殊情况设，显然在S=0处有一个极点，这时奈奎斯特轨迹取为下图形式，于是轨迹没有经过起点。平面sswj¥+0j-0j¥+j¥-j1<<eABCFED当ω从(0ˉ→0→0＋)，从(∞＋→0→∞－)。¥平面GHReIm-¥=w¥=w''',,FED'A'B'C+=0w-=0w在中将有：对于包含因子的开环传递函数，当变量s沿半径为()的半圆运动时，即例如，考虑开环传递函数：在中，当时，有中的设闭环系统的开环传递函数为，分析其稳定性。的轨迹如图所示。在右半s平面内没有任何极点，并且分析例1-8的轨迹不包围的值，该系统都是稳定的。，所以对于任何设系统具有下列开环传递函数:试确定以下两种情况下，系统的稳定性：

增益K较小增益K较大。小K值时是稳定的大K值时是不稳定的分析例1-8¥平面GHReIm-¥=w¥=w+=0w-=0w1-´000===ZRP¥平面GHReIm-¥=w¥=w+=0w-=0w1-´220===ZRP设一个闭环系统具有下列试确定该闭环系统的稳定性。开环传递函数：表明闭环系统有两个极点在右半s平面，故系统是不稳定的。开环传递函数在s右半平面内有一个极点()，奈奎斯特曲线如图示，轨迹顺时针方向包围点一次,因此分析例1-9根据根轨迹，我们知道：对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，系统可能稳定。一、相对稳定性（b）（a）-11.4系统稳定裕量的再讨论

图(a)和(b)所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围点，由奈氏判据知它们都是稳定的系统，但图(a)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点A距离点较远，图(b)所示系统的频率特性曲线与负实轴的交点B距离点较近。

（b）（a）-1假定系统的开环放大系统由于系统参数的改变比原来增加了50%，则图(a)中的A点移动到点,仍在点右侧，系统还是稳定的；而图(b)中的B点则移到的左侧点，系统便不稳定了。可见前者较能适应系统参数的变化，即它的相对稳定性比后者好。（a）（b）二、稳定裕度

通常用稳定裕度来衡量系统的相对稳定性或系统的稳定程度，其中包括系统的相角裕度和幅值裕度。（一）相角裕度

我们把GH平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率称为幅值穿越频率或剪切频率，它满足：所谓相角裕度是指幅值穿越频率所对应的相移与角的差值，即

对于最小相位系统，如果相角度系统是稳定的(下图)且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度,系统则不稳定(下图右)。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。（二）幅值裕度

把系统的开环频率特性曲线与GH平面负实轴的交点频率称为相位穿越频率，显然它应满足

对于最小相位系统，当幅值裕度Kg>1,系统稳定，且Kg值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果则系统不稳定.

所谓幅值裕度Kg是指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即幅值裕度的含义

使系统到达临界状态时的开环频率特性的幅值增大(对应稳定系统)或缩小(不稳定系统)的倍数。幅值裕度也可以用分贝数来表示。

分贝因此，可根据系统的幅值裕度大于、等于或小于零分贝来判断最小相位系统是稳定、临界稳定或不稳定。这里要指出的是，系统相对稳定性的好坏必须同时考虑相角和幅角裕度。通常要求相角裕度=～,幅值裕度(6分贝)

三、稳定裕度与系统的稳定性

前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。

已知最小相位系统的开环传递函数为:试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。例1-10

该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图(a)(当时)和图(b)(当时)所示。由图(a)可知，当时,系统的相角裕度，由图(b)可知,当时，

系统的相角裕度。解系统的幅频特性和相频特性分别为时，，有,该系统不稳定；

时，，该系统是稳定的。令,则有，故或。对应S平面的坐标原点，舍去。由，求出系统的幅值裕度为¥=gw)()(1¥==gggjHjGKww四、由Bode图判断系统的稳定性

稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由Bode图求系统稳定余量，并判断稳定性的方法。的轨迹越接近于包围点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示．§５－４乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性剪切频率—对应于的频率，记为相角裕量—在剪切频率处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角迟后量．为使系统稳定，相角裕量必须为正值．增益裕度—在相角特性等于的频率处，开环幅频特性的倒数若系统增益Ｋ增大到，则系统达到临界稳定状态。或§５－４乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性稳定的系统，为正．

通过本章前面几节的介绍，已经了解到系统的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度（即相对稳定性）具有十分重要的意义。本小节将进一步研究系统的闭环频率特性。一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦琐,在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环频率特性。1.5系统的闭环频率特性1.5.1向量作图法如图所示单位负反馈系统，R(s)C(s)G(s)其闭环传递函数：用代入上式，就可得到系统的闭环频率特性表示为：设系统的开环频率特性如下图所示。

是单位负反馈系统的开环频率特性。与闭环频率特性间的关系。描述了系统的闭环频率特性。下面说明

由图可见，当时由此得到时系统的闭环频率特性为：当时，系统闭环频率特性的幅值等于向量与的幅值之比;其相角等于向量与的相角差。这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如下图所示的闭环幅频特性和闭环相频性。

二、等M圆图由向量作图法和上图可看出，对于G平面上任一点A，总有一个闭环幅值与之对应，如果令闭环幅值，那么它在G平面上是一个什么样的图形呢？

设单位反馈系统的开环频率特性为：式中U、V都是角频率ω的实函数,故系统的闭环频率特性为：令即若M=1则,这是在G平面上过点,且平行于虚轴的直线方程。若，则上式可写成：圆方程,圆心坐标为,半径是。当M>1时，圆的半径随M值的增加而减小，圆心位于负实轴点的左侧,且收敛于(-1，j0)点；当M<1时，圆的半径随M值的增加而增大，圆心位于正实轴点的右侧，且收敛于(0，j0)点。由不同的M值在G平面上构成的这簇圆叫做等M圆或等幅值轨迹。由下图可以看出，等M圆在G平面上是以实轴为对称的，它们的圆心均在实轴上。

等M圆图在工程实践中，应用等M圆求闭环幅频特性时，需在透明纸上绘制出系统的开环极坐标图，将它覆盖在同样坐标比例的等M圆上，根据G(jω)曲线与等M圆簇的交点得到对应的M值和ω值,便可绘制出闭环幅频特性A（ω）（如图5-39和图5-40所示）。利用等M圆图求取A(ω)

控制系统闭环幅频特性图用等M圆求取闭环幅频特性得优点：简单方便，等M圆可重复利用。可直接看到当开环频率特性G(jω)的形状发生某种变化时，闭环幅频特性A(ω)将会因之出现那些相应的变化，以及这些变化的趋势。与G(jω)曲线相切的圆所表示的M值就是闭环幅频特性的谐振峰值Mr(如果M>1)，对应的频率值就是谐振频率。谐振峰值Mr和谐振频率是闭环幅频特性的两个重要特征量。它们与闭环系统的控制性能密切相关。三、等N圆图单位反馈系统的开环频率特性可以表示为：则其闭环频率特性是用θ表示闭环频率特性的相角，则有即令:则有:整理后得到:这也是一个标准圆方程，圆心坐标是:半径为。不管N值如何，当U=V=0及U=-1，V=0时，方程总是成立的，即等N圆簇中每个圆都将通过点(-1，j0)和(0，j0）。

改变N或θ的大小，它们在G平面上就构成了如右图所示的一簇圆，这簇圆的圆心都在虚轴左侧与虚轴距离为且平行于虚轴的直线上,我们称这簇圆为等N圆。

等N园图

对于给定的θ值对应的等N值轨迹，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧，这是因为一个角度加上(或的倍数)其正切值相等的缘故。等N圆以实轴为对称，也对称于直线。等N圆是多值的,这些θ值是，它们都满足正切条件N=tgθ。因此,用等N圆来确定闭环系统的相角时，就必须确定适当的θ值。应从对应于的零频率开始，逐渐增加频率直到高频，所得到的闭环相频曲线是连续的。利用等N圆求取闭环相频特性与用等M圆图求取闭环幅频特性A（ω）的方法和步骤完全相同。10利用等N圆图求取控制系统的闭环相频性曲线