福建省龙岩市长汀县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

2023-2024年第一学期期中质量抽查九年级数学试题（考试时间：120分钟；满分150分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（）A. B. C. D.3.已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（）A.0 B. C.1 D.－14.一元二次方程根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.无法确定5.将抛物线：向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.6.对于的性质，下列叙述正确的是（）A.顶点坐标为 B.对称轴为直线C.当时，y有最大值2 D.当时，y随x增大而减小7.下列各图象中有可能是函数的图象的是（）A. B. C. D.8.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（）第8题图A. B. C. D.9.如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点在边AC上（不与点A，C重合），则的度数为（）第9题图A. B. C. D.10.【新定义】函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”.【问题解决】抛物线与直线的“向心值”为（）A. B. C.3 D.4二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）11.若点关于原点的对称点，那么______.12.一元二次方程的根是______.13.已知，是方程的两根，则代数式的值为______.14.读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同.诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄.若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______.15.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是______.第15题图16.已知直线与函数的图象至少3个交点，则b取值范围是______.第16题图三、解答题（本大题共9小题，共86分）17.（8分）解下列方程：（1） （2）18.（8分）若、是关于x的方程的两个根，且.求m的值.19.（8分）先化简，再求值：，其中.20.（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，.第20题图（1）将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标；（2）绕原点O逆时针方向旋转得到，按要求作出图形.21.（8分）如图所示，在中，，，将绕点O沿逆时针方向旋转得到.第21题图（1）线段的长是______，的度数是______；（2）连接，求证：四边形是平行四边形.22.（10分）2023年杭州亚运会吉祥物“江南忆”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店售卖“江南忆”玩偶，已知每套玩偶的进价为50元，售价为80元，每周可卖出200套.为拓展销量，该店决定调整价格，发现每降价1元，每周可多卖出10套.假设每套玩偶降价x元，每周的利润为y元，不能因降价而导致亏损.（1）求y与x的函数关系式；（2）每套玩偶的售价定为多少元时，每周获得的利润最大？并求此最大利润.23.（10分）如图，和均为等边三角形，将绕点A旋转（在直线AC的右侧）.（1）求证：；（2）若点C，M，N在同一条直线上，①求的度数；②点M是CN的中点，求证：.24.（12分）一副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒.图1图2（1）当______秒时，；当______秒时，；（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求t的值.25.（14分）已知抛物线和直线，且.（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点，且，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当时，求线段PQ长的最大值.2023-2024学年第一学期期中九年级数学参考答案一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）题号12345678910答案BDBCABCBCA二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）11.112.，13.14.15.16.三、解答题（本大题共9小题，共86分）17.（8分）解：（1）∵，∴，…………1分∴，…………3分∴或…………4分（2）∵，∴，…………6分∴或…………8分（解法二公式法……略）18.（8分）解：∵、是关于x的方程的两个根，∴，，……………1分∵，∴，……………3分，解得：或1，……………5分当时，方程为，，此时方程无解；……………6分当时，方程为，此题方程有解；……………7分综上所述，m的值为1.……………8分19.解：原式…………2分…………3分………5分当时，原式………8分20.解：解：（1）如图，即为所求.……………3分点的坐标为.……………4分（2）如图，即为所求.…………8分21.解：（1）5；；………………4分解：∵，∴；∵是等腰直角三角形，∴，∴.故答案为5，；（2）证明：∵，∴，………………6分又∵，∴四边形是平行四边形.………………8分22.解：（1）当每套玩偶降价x元时，每套玩偶的销售利润为元，每周可卖出套，∴每周的利润，…………3分∴.………………4分又∵为拓展销量，该店决定调整价格，不能因降价而导致亏损，∴，且，…………5分∴，∴y与x的函数关系式为；…………6分（2），…………8分∵，∴当时，y取得最大值，最大值为6250，此时.…………9分答：当每套玩偶的售价定为75元时，每周获得的利润最大，最大利润为6250元.…10分23.（1）证明：∵和是等边三角形，∴，，，……………1分∴，即，……………2分在和中，，∴；……………3分（2）①解：∵为等边三角形，∴，……………4分∵，∴，……………5分∴；……………6分②证明：∵点M是CN的中点，∴，…………7分∵是等边三角形，∴，…………8分∵为等边三角形，∴，……………9分∴MB是AC的垂直平分线，∴.…………10分24.解：（1）3；21如图（1），当时，，∵AF平分，，∴，又∵为的一个外角，∴，∴；如图（2），当时，，∴，∵，∴，∴.故答案为：3；21.图（1）图（2）（2）①如图（3），当时，∵，∴，∴；………………7分②如图（4），当时，∵，，∴，………………8分∴；………………9分图（3）图（4）③如图（5），当时，，∴，………………11分综上所述：当t为6或15或24时，有两个内角相等………………12分图（5）25.解：依题意得：.∴抛物线的顶点坐标为；…3分（2）由抛物线两解析式和直线，得，即，得，即，∵，∴，，∴抛物线与直线有两