陕西省安康市重点名校2024届高三上学期10月联考数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省安康市重点名校2024届高三上学期10月联考数学试题（理）一、选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，所以．故选：B．3.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若函数区间上单调递增，则令，，解得，，结合是区间，所以，解得.“”是“”的充分不必要条件,故选：A.4.在数列中，，且数列是等差数列，则（）A.16 B. C.19 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得：，设数列为的公差，则，即，故，解得.故选：B．5.已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，由题意，解得故选:A.6.《中华人民共和国国家综合排放标准》中的一级标准规定企业生产废水中氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L.某企业生产废水中的氨氮含量为225ml/L.现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，为安全起见，要使废水中的氨氮含量不高于国家排放标准值的一半，至少要进行循环的次数为（）（参考数据，）A.3 B.4 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗过滤第一次废水中的氨氮的含量减少，则为；过滤第两次废水中的氨氮的含量减少，则为；过滤第三次废水中的氨氮的含量减少，则为；过滤第n次废水中的氨氮的含量减少，则为；要求废气中该废水中的氨氮的含量不能超过7.5ml/L，则，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤次数至少为9次．故选：D．7.设，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，所以．故选：A．8.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由的图象知，当时，，故，单调递增；当时，，故，当，，故，等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.9.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则（）A.输出的m的值为25 B.输出的n的值为75C.输出的m的值为大僧的人数 D.输出的n的值为大僧的人数〖答案〗D〖解析〗执行程序框图：，继续执行；，继续执行；，继续执行；，继续执行；，继续执行；，退出循环，输出.输出的的值为小僧的人数，输出的的值为大僧的人数.故选：D.10.函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）A. B.或C. D.或〖答案〗D〖解析〗函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.11.在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗连接并延长交于点，则为的中点，因为，则，由重心的性质可得，则，因为，所以，，所以，，所以，，所以，，则为锐角，由余弦定理可得，所以，，因为为锐角三角形，则，即，即，所以，，构造函数，其中，任取、且，则.当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，，故.故选：C.12.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对，因为，即，所以，即；对，又，令，则，所以当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，所以，令，则，所以当时，所以在上单调递增，显然，又，即，即，所以，即.故选：C.二、填空题13.已知等边的重心为O，边长为3，则______.〖答案〗〖解析〗在等边中，延长交于，如图，因为为重心，则，，所以.故〖答案〗为：.14.在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点分别为，若直线的倾斜角为，则______.〖答案〗〖解析〗由题意得，点，，所以直线的斜率，所以，即，所以或者，当时，可得，此时点重合，不合题意，当时，即，可得.故〖答案〗为：.15.设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______.〖答案〗〖解析〗因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以.故〖答案〗为：.16.已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意得，其中，因为是图象的最低点，所以，所以，所以，横坐标缩为原来的得，向左移动1个单位长度得，所以.由的所有根从小到大依次相差3个单位，可知与的相邻交点间的距离相等，所以过曲线的最高点或最低点，或经过所有的对称中心.①当过曲线的最高点或最低点时，每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意；②当过曲线所有的对称中心时，则，所以，所以，所以.故〖答案〗为：.三、解答题17.设函数．（1）求的最小正周期及其图象的对称中心；（2）若且，求的值．解：（1）因为所以的最小正周期为．令，解得，所以的对称中心为（2）因为，即，所以，因为，所以，所以，所以．18.李同学在暑假期间进行一项社会实践活动，随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人，调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式，得到如下数据不完整的列联表：将跑步作为主要锻炼方式不是将跑步作为主要锻炼方式合计男性2020女性30合计80（1）请将列联表补充完整，并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？（2）在被调查的80人中，从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动，再从中选取2人作为代表发言，记2人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望.附：参考公式及数据：，其中.0.400.250.100.0100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.828解：（1）列联表如下：将跑步作为主要锻炼方式不是将跑步作为主要锻炼方式合计男性202040女性103040合计305080，所以没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关.（2）抽取的5人中，男性有人，女性有人，的可能值有0，1，2，，的分布列为012.19.已知中，，D为AB中点，.（1）若，求AC的长度；（2）若，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，，，在中，，所以AC的长度为2.（2）设BC＝x，则AC＝2x，在和中分别利用余弦定理得，解得（负根舍）.因为，所以，在中，由正弦定理得，即.20.已知函数，当时，函数取得极值.（1）若在上为增函数，求实数m取值范围；（2）若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.解：（1）由，则，因为时，取到极值，所以，解得.又当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极值，符合题意.要使在上为增函数，则或，所以或.即实数的取值范围为.（2）令，由（1）得，且，故，，则，当时，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故，而，，故.要使有两个根，则.即实数的取值范围为.21.如图，长方体中，为棱的中点.（1）求直线被长方体的外接球截得的线段长度；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）设的中点为，连结，则为长方体外接球的球心，且平面，由题意知，，所以，所以，设到直线的距离为，则，解得，因为外接球半径，所以直线被此外接球截得的弦长为；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量，因为，则由，得，令，可得，又，设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.22.设函数，，.（1）求在上的单调区间；（2）若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；（3）证明：当时，.（1）解：由函数，可得，当，即时，，此时函数在上单调递增；当，即时，令，解得；令，解得，函数在