江西省宜春市上高县2024届高三上学期开学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省宜春市上高县2024届高三上学期开学数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，则.故选：B2.下列函数中最小值为4的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．3.已知复数满足：（为虚数单位），则共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，可得.故选：C.4.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为的定义域为，又，所以是奇函数，故BC错误；而，故D错误；由于排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.故选：A.5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（）A.24种 B.60种 C.96种 D.240种〖答案〗B〖解析〗5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，当有两位同学选择了浙江大学时，则这4位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法；当只有A同学选择了浙江大学时，则这4位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法；所以同学选择浙江大学的不同方法共有种.故选：B6.已知函数在处的切线与直线垂直，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数，求导得：，因为在处的切线与直线垂直，所以在处的切线斜率为，解得.故选：D.7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A.13 B.11 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，设，则.在上单调递增.又为奇函数，..故选：B.二､多选题9.若正实数满足，则下列结论中正确的有（）A.的最大值为1 B.的最大值为2C.的最小值为2 D.的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗对于A项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A项正确；对于B项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B项错误；对于C项，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，故C项错误；对于D项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确.故选：AD.10.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量服从正态分布，若，则B.“”是“，”的充分不必要条件C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则D.一组数据，，，的平均值为，则，，，的平均值为.〖答案〗ACD〖解析〗A选项，随机变量服从正态分布，，，.所以，故A正确；B选项，，，，，是，的必要不充分条件，故B错误；C选项，因为随机变量服从二项分布，，，所以，，解得，故C正确；D选项，若数据，，，的平均值为，则，故D正确.故选：ACD11.已知正四棱柱的底面边长为，，则（）A.平面 B.异面直线与所成角的余弦值为C.平面 D.点到平面的距离为〖答案〗ACD〖解析〗根据题意作图如下，A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；C选项：在正四棱柱中，因为，，，所以平面，故C选项正确；D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.故选：ACD.12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（）A.平分B.C.延长交直线于点，则三点共线D.〖答案〗ACD〖解析〗根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，所以，故直线为，即，依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，对于A，，，故，所以，又因为轴，轴，所以，故，所以，则平分，故A正确；对于B，因为，故，故B错误；对于C，易得的方程为，联立，故，又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；对于D，由选项A知，故D正确.故选：ACD..三､填空题13.若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于_________.〖答案〗〖解析〗二项式的展开式的通项为，令，得，所以含项的系数为；令，得，所以含项的系数为．由题意得，整理得，∴，解得．故〖答案〗为：．14.设数列的前项的和为，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，所以当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，所以，所以.故〖答案〗为:.15.已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______.〖答案〗〖解析〗将圆的一般方程化为设圆心为，直线过点，与圆交于，两点，则，半径，设圆心到直线的距离为，则弦长，当直线与所在的直线垂直时最大，此时最小，这时，所以最小的弦长，故〖答案〗为：.16.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗设双曲线的左焦点为，连，因为所以四边形为矩形.不妨设点在双曲线的右支上，设，则由①得：所以，即，所以，所以离心率.故〖答案〗为：四､解答题17.已知函数在区间上的最大值为.（1）求常数的值；（2）求使成立的的取值集合.解：（1）由，得，所以，故当时，的最大值为，故，解得.（2）由（1）得，因为，所以，所以，，得所以的取值集合为18.已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列.（1）求数列的前项和；（2）记，证明：.（1）解：由题意可知，，故，即，解得（舍去）或，.（2）证明：由（1）知，故，又，，，从而得证.19.如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直.（1）若为线段上的一个动点，证明：平面；（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长.（1）证明：由题知，四边形为矩形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，、平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）解：因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.又因为底面为菱形，且，，所以△为等边三角形，且，设，取的中点为，连接，以为坐标原点，分别以,,的方向为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，，则，取，则，，即，设直线与平面所成角为，则化简可得，解得或，故BF的长可为或.20.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.解：（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，其中相互独立又甲队明星队员前四局不出场，故，，所以.（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，由全概率公式知，，因为每名队员上场顺序随机，故，，所以.（3）由（2），.21.已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点.（1）解：易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上，若，，在双曲线上，则，解得，不满足；若，，在双曲线上，则，解得，满足；综上所述：双曲线的方程为.（2）证明：设直线与直线的斜率分别为，如果直线斜率不存在，则，不符合题设，设直线：，，，，联立，整理得，，化简得：.则，，则，整理得，即，化简得：，解得或，当时，直线的方程为，令时，，所以直线过定点，又因为直线不经过点，不合题意；当时，直线的方程为，当时，，所以直线过定点；综上所述：过定点.22.已知函数，.（1）设在处的切线为，在处的切线为，若，求的值；（2）若方程有两个实根，求实数a的取值范围；（3）设，若在内单调递减