2021年中考数学二轮复习 08 一次函数中的待定系数法求解析式(解析版)

专题08一次函数中的待定系数法求解析式

1、如图直线＞="+左交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,且43=2

(1)求攵的值；

(2)点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线A8运动，过点P作直线A8的垂线交x轴于点Q,

连接。尸，设△PQO的面积为S,点尸运动时间为求S与/的函数关系式，并直接写出/的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当P在AB的延长线上，若。。+48=有(BQ-OP),求此时直线尸。的解析

式.

解：(1)对于直线丫="+&,令y=0,可得x=-l,

・"(-1,0),

：.OA=lf'：AB=2f

AOB=VAB2-OA2=V3^

(2)如图,

：.ZBAO=60°f

u

：PQLABf

，NAPQ=90。,

ZAQP=30°,

：.AQ=2AP=2t,

当0<r<▲时，S=—'OQ>Py=—(1-2/)•返/=-返产+返九

222224

当r>工时，S=—OQ«PV=—(2/-I)•返/=返/2-返r.

222224

(3)'：OQ+AB=y[j(BQ-OP),

：.2t-1+2=<(/7(,73+(21-1)2-J("I't-l)2仔”)1

2f+1=V7*Vt2-t+l，

.•.4,+4计1=7产-7汁7,

；.3产-llr+6=0,

解得r=3或告（舍弃），

o

：.P（《，^5）,Q（5,0）,

22

（13V3

设直线P。的解析式为y=H+6,则有｛22，

5k+b=0

解得］M

|b~

直线PQ的解析式为y=-卓x+毕.

Oo

2、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x、y轴分别相交于点A、B,与直线y=x+2交于点。（3,

m）,直线y=x+2交x轴于点C,交y轴于点E.

（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD,求当|PC-取最大值时，P点的坐标.

（2）在（1）问的条件下，将ACOE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M,则当

△是等腰三角形时，求的长.

备用图

解：(1)当x=3时，m=3+2=5,

：.D(3,5),

把。(3,5)代入y=中，

-3+8=5,

0=8,

：.y=-x+8,

当y=0时，x+2=0,

x=-2,

：.C(-2,0),

如图1,取C关于y轴的对称点C(2,0),Pl是)，轴上一点，连接PC、PC、P\D,则PC=P|C,

图1

V|PiD-PiC\=\PiD-PiC|<CD,

.♦•当P与。、。共线时，IPC-P0有最大值是C7Z

设直线CD的解析式为：y=kx+b,

把C(2,0)和。(3,5)代入得：(2k+b-0,

I3k+b=5

解得:(k=5，

\b=-10

直线CD的解析式为：y=5x-10,

：.P(0,-10)；

(2)分三种情况：

①当4P=AM时，如图2,

由(1)知：8=10,

由勾股定理得：^=782+102=27411

,.•48=8我，

BM=AB+AM=8V2+2V41：

同理得：BM\=2\41-

②当4P=PM时，如图3,过P作PMLA8于N,

VZBNP=9()09/NBP=45。,

•••△3NP是等腰直角三角形，

VPB=18,

；俐=瞪=9圾，

,:AB=8瓜

:.AN=9近-8近=近,

'：AP=PM,PNLAM,

；.4W=2AN=2M，

.•.8根=8扬2a=10&；

③当AM=P”时，如图4,过P作PN_LA8于N,

,:AN=EPN=9瓜

设MN=x,则PM=AN=x+\[2'

由勾股定理得：P用+M1^=PW,

(9^2)2+x2=(X+A/2)2,

解得:x=40圾，

?.8M=48+AN+MN=8A/^^+40a=49&；

综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8M+2/石或-8后或1(/或49M.

3、如图，己知一次函数y=3x+3与y轴交于A,与x轴交于点2,直线AC与正半轴交于点C,且AC=3C.

(1)求直线AC的解析式.

(2)点。为线段AC上一点，点E为线段CQ的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点尸，连接

。产并延长交x轴于点G,求证；AD=BG.

(3)在(2)的条件下，若/AF£>=2N8AO,求点。坐标.

解：(1)当x=0时，y=3,

・"(0,3).

令y=0得：3x+3=O,解得：x=-l,

：.B(-1,0).

设OC=JG贝|JAC=8C=X+1.

在RiZkAOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2=AC2,即3?+/=(x+1)2,解得：x=4,

AC(4,0).

设直线AC的解析式为)=履+从则(b=3,

14k+b=0

2

解得：4,

b=3

2

・•.直线AC的解析式为y=-4X+3.

4

(2)如图1所示：过点。作DH〃无轴，则NHDF=NBGF.

图1

u

：HD//EF//CGfE为CO的中点,

为。G的中点.

:,FG=DF.

;在ABGF和4尸中,

'NHDF=NBGF

,DF=FG，

ZHFD=ZBFG

:.ABGF卷AHDF(ASA).

：.HD=BG.

'：AC=BC,

：.ZCAB=ZABC.

・：HD〃CG,

：.ZAHD=ZABCf

：.ZHAD=ZAHD.

:・AD=DH,

：.AD=BG.

(3)如图2所示：连接AG,过点C作垂足为〃，过。作。MLY轴于M,

在Rs480中，依据勾股定理可知48={]2+32=师,

"：CB=CA,CHLAB,

：.AH-=—AB='^-,ZBCA=2ZACH.

22

RtABC”中，依据勾股定理可知c公斤前=旧-（粤

:ZBAO+ZABO=ZAB0+ZBCHf

：.ZBA0=ZBCH=ZACH,

：.ZBCA=2ZBAO.

又「ZAFD=2ZBAO9

，ZAFD=ZBCA.

又・・・NE4£>=N3AC,

：.AF=DF,

又.：GF=FD,

••.△GAO为直角三角形.

2

：.OG^OC=OAf

9

：.0G=—.

4

9

：.G(-—,0).

4

5

:.AD=BG=±.

4

RSAOC中，0A=3f0C=4,

：.AC=5,

,JDM//OA,

5_

.ADQM

AC"OC即至QM，

百1

0M=\,

当x=l时，y=--x+3=-旦+3=9,

444

g

：.D(1,—).

4

4，

4、如图，直线y=-£x+8与x轴、y轴分别交于点4和点3,M是05的上的一点，若将△A8M沿M折

叠，点B恰好落在x轴上的点夕处.

(1)求A、8两点的坐标；

(2)求直线AM的表达式；

(3)在x轴上是否存在点P,使得以点尸、M、夕为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出

所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)当工=0时，，y=8,

：.B(0,8),

4.

当y=0时，-£"8=0,

3

x=6,

・"(6,0)；

(2)在RtZiAOB中，ZAOB=90°,。4=6,03=8,

：.AB=\09

由折叠得：AB=AB'=]O,

：.08=10-6=4,

设0M=〃，则

由勾股定理得:a2+42=(8-a)2,

a=3,

：.M(0,3),

设AM：y—kx+b,

1

6k+b=0曰

则,解得：｛T,

b=3

b=3

直线AM的解析式为：y=--1.r+3;

(3)在x轴上存在点P,使得以点P、何、房为顶点的三角形是等腰二角形，如图

VM(0,3),B'(-4,0),

：.B'M=5,

当EB'=8'M时,Pi(-9,0),P2(1.0)；

当B'M=P何时,(4,0),

当时,作3M的垂直平分线，交x轴于尸4,交B也与Q,

—即P4B'.I

P4B

易证得△PAB'Q^AMB'O,则0B/,I,

MB'

•pR，―25

・•・Or>PD4=4A--257,

88

7

：.PA（-』，0）,

8

7

综上，P点的坐标为（-9,0）或（1,0）或（4,0）或（-5，0）.

8

5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数〉=米+3的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点A的坐标为（2,

0）.

⑴求化的值;

（2）已知点。在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若AAOB的面积是AAO。面积的2倍，求点。的

解；（1）I,点4（2,0）在一次函数y=H+3上,

：.0=2k+3,得仁-1.5,

即」的值是-1.5；

（2）,:k=-1.5,

一次函数解析式为y=-1.5x+3,

.•.当x=0时，y=3,

即点8的坐标为（2,0）,

.•.03=3,

\,点A(2,0),

：.OA=2,

OA-OB_2X3

.♦.△AOB的面积是―=3,

22

又：/XAOB的面积是^AOQ面积的2倍,

...△AOQ的面积是1.5,

设点。的坐标为(m-4),

1.5=3；a,得。=1.5,

・••点。的坐标为(1.5,-1.5).

6、如图，一次函数yi=x+〃的图象与x轴y轴分别交于点A,点8,函数》=元+"与”=-条的图象交

于第二象限的点C,且点C横坐标为-3.

(1)求:的值;

(2)当0<?</时，直接写出x的取值范围；

⑶在直线竺=-泵上有一动点P,过点P作x轴的平行线交直线》=x+6于点Q，当PQ=¥OC

35

时，求点P的坐标.

4

解：(1)将4=-3代入yi=--x,

可得C(-3,4),

再将C点代入yi=x+b9

.'.6=7；

(2)-7<x<-3；

⑶：点P为直线”=一条上一动点,

O

4

设尸(〃，-—a),

o

■P0〃x轴,

44

：.Q(--7,-鼻)，

33

7

••PQ=a，+7|,

VC(-3,4),

・•・OC=5,

：.PQ=—OC=\4,

5

7

・・.勺+7|=14,

，。=3或a=-9,

工尸（3,-4）或尸（-9,12）.

7、如图，在平面直角坐标系中，直线>=丘+6与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点B；直线)=含/6过

点8和点C,且4C_Lr轴.点时从点8出发以每秒2个单位长度的速度沿)，轴向点。运动，同时点N

从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点。时，点M、N同时停止

运动，设点M运动的时间为f(秒)，连接MN.

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；

(2)当MN〃x轴时，求，的值；

(3)MN与AB交于点、D,连接C£>,在点M、N运动过程中，线段C。的长度是否变化？如果变化，请

直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段C。的长度.

解：(1)；ACJ_x轴，点A(5,0),

.♦.点C的横坐标为5,

对于)=&犬+6,当x=5时，，y=—x5+6=10,

55

对于冗=0,y=6,

・•.点C的坐标为(5,10),点8的坐标为(0,6),

直线丁=丘+〃与x轴交于点A(5,0),与y轴交于点8(0,6),

则（5k+b=0

Ib=6

解得,k=T,

b=6

・•・直线y=kx^b的函数表达式为尸--1A+6,

综上所述，直线y=H+/?的函数表达式为)，=点C的坐标为(5,10)；

(2)由题意得,BM=2t,AN=3t,

：.OM=6-2t,

VOM//AN.MN〃x轴，

・・・四边形MOAN为平行四边形，

/.OM=AN,

：.6-2t=3t,

解得，尸区，

5

.•.当MN〃x轴时，f=A；

5

(3)线段CD的长度不变化，

理由如卜：过点。作E尸〃x轴，交OB于E,交AC于凡

"〃x轴，BM//AN,NAOE=90°,

四边形EOAF为矩形，

：.EF=OA=5,EO=FA,

'：BM//AN,

.DE=BM=2

"DFAN丁

:EF=5,

：.DE=2,OF=3,

'.,BM//AN,

:ABDESXADF,

.BE=DE__2

,,FADF丁

•.•BE_2―,

E03

9

：OB=6t

：.EO=FA=^-,

5

：.CF=AC-FA=^-,

5

8、如图，直线y=-2x+8分别交x轴，y轴于点A,B,直线丫=去+3交y轴于点C,两直线相交于点

（1）求点D的坐标;

（2）如图2,过点A作AE〃），轴交直线丫=工产3于点E,连接AC,BE.求证：四边形AC8E是菱形;

2

（3）如图3,在（2）的条件下，点F在线段3C上，点G在线段A3上，连接CG,FG,当CG=FG,

且NCG/=N4BC时，求点G的坐标.

y=-2x+8

解：（1）根据题意可得：1

卜节X+3

解得：卜=2

Iy=4

.•.点。坐标（2,4）

(2)•.•直线y=-2x+8分别交x轴，y轴于点A,B,

.•.点8(0,8),点A(4,0),

直线y=2x+3交y轴于点C,

.•.点C(0,3),

'：AE//y轴交直线y=^x+3于点E,

.•.点E(4,5)

：点8(0,8),点A(4,0),点C(0,3),点E(4,5),

BC=5<A£=5,AC=d[2+32=5,BE—2—5>

：.BC=AE=AC=BE,

四边形AC8E是菱形；

(3)'：BC=AC,

：.ZABC^ZCAB,

'：ZCGF=ABC,ZAGF=ZABC+ZBFG=ZAGC+ZCGF

：.ZAGC^ZBFG,且尸G=CG,ZABC^ZCAB,

.♦.△ACG四△8GF(AAS)

：.BG=AC=5,

设点G(a,-2a+8),

(2+8-8)2+(a-0)2=52,

:点G在线段A8上

点G(泥，8-25/5)

9、如图1,在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0),点8(-4,3).

(1)求直线A8的函数表达式；

(2)点P是线段AB上的一点，当SAAOP：SAAOB=2：3时，求点尸的坐标：

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段AB绕点4顺时针旋转120。，点3落在点C处，连结CP,求△APC

的面积，并直接写出点C的坐标.

•点A(2,0),点B(-4,3),

.j2k+b=0,

I~4k+b=3

g

解得：2,

b=l

直线AB的函数表达式为)，=--j-x+i；

(2)过8作BELc轴于E,过尸作轴于

图1

J.PD//BE,

=

•SAAOP：S^AOB213,

•..-A-P_-2,

AB3

.•点8(-4,3),

\BE=3,

：PD//BE,

.PD=PD__2

*BEVT

：.PD=2,

当y=2时，x=-2,

：.P(-2,2)；

(3)点A(2,0)、点8(-4,3),点尸(-2,2),

则AP=2旄，AB=C4=3&，

过点P作HP1AC交AC的延长线于点H,

△APC的面积=/x4CxPH=/x3&x任=2^1；

设点C(x,y),

贝ijPC2=/7/2+HC2=15+(旄+3泥)2=95=(x+2)2+(y-2)2…①,

CA』45=(x-2)2+)2…②，

联立①②并解得：x=3百+叱尸6后3,

_22

故点c(如Q,比三).

22

10、如图1,直线y=-X+6分别与X轴，y轴交于A(6,0),8两点，过点8的另一直线交x轴的负半轴

于点C,且。B：OC=3：1

(1)求直线3c的解析式；

(2)直线y=ax-a(存0)交AB于点E,交BC于点F,交x轴于点£>,是否存在这样的直线E尸，使SABDE

=SABDF?若存在，求出“的值；若不存在，请说明理由：

(3)如图2,点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角

形△BPQ,连接。4并延长交)，轴于点K.当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它

的坐标；如果会发生变化，请说明理由.

o

图1图2

解：(1)•・•直线y=-x+。分别与x轴交于A(6,0),

:・b=6,

直线AB的解析式是：y=-x+6,

：.B(0,6),

：.OB=6,

VOB：OC=3：1,

：.OC=29

：.C(-2,0)

设BC的解析式是y=kx+hf

.fb=6

I_2k+b=0

解得卜=三

Ib=6

宜线8c的解析式是：y=3x+6；

只需DF=DE,即力为EF中点,

点E为直线AB与EF的交点,

y=ax-a

{y=-x+6

点“普差

点厂为直线3C与EF的交点,

Jy=ax-a

ly=3x+6

点F(粤9g,)

a-3

D为EF中点,

鲁+彗=0，

1+aa-3

Q

a=O舍去，a=q

(3)K点的位置不发生变化.

理由如下:

如图2中，过点。作CQ_Lx轴，设PA=m,

*.*NPOB=ZPCQ=NBPQ=90。,

：.ZOPB+ZQPC=90°,ZQPC+ZPQC=90°,

：./OPB=NPQC,

*：PB=PQ,

：./\BOP^APCQ(AAS),

:.BO=PC=6,OP=CQ=6+m,

.'.AC=QC=6+mf

：.ZQAC=ZOAK=45°t

:・OA=OK=6,

：.K(0,-6).

11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+8与x轴交于点A,与y轴交于点8,过点8的直线交x轴于

点C,且A8=8C.

（1）求直线BC的解析式；

（2）点尸为线段上一点，点Q为线段8c延长线上一点，且AP=CQ,PQ交x轴于N,设点。横

坐标为，小△PB。的面积为S,求S与机的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；

...点B(0,8),点A(-4,0)

."0=4,80=8,

'：AB=BC,BOLAC,

.MO=CO=4,

.,.点C(4,0),

设直线8c解析式为：y=kx+b,

由题意可得：\

|0=4k+b

・,・直线4c解析式为：y=-2x+8；

(2)如图1,过点尸作PGLAC,PE〃8C交AC于E,过点。作HQ1_4C,

'：AB=CB9

:./BAC=/BCA,

丁点Q横坐标为所，

，点Q(fn9-2m+8)

•**HQ=2m-8,CH=m-4,

,:AP=CQ,NBAC=/BCA=NQCH,ZAGP=ZQHC=90°f

.'.AAGP^ACHQ(AAS),

：.AG=HC=m-4,PG=HQ=2m-8,

'JPE//BC,

：.NPEA=NACB,NEPF=ZCQF,

:"PEA=/PAE,

：.AP=PE,且”=CQ,

:.PE=CQ,且NEP〃=NC。尸，ZPFE=ZCFQ1

AAPEF^AQCF(AAS)

5APEF=SAQCFf

:ZBQ的面积=四边形BCFP的面积+△CFQ的面积=四边形BCFP的面积+△PEF的面积=四边形

PECB的面积，

•\S=S^ABC~SAEAE=]X8X8---x(2/n-8)x(2m-8)=16/w-2nr；

(3)如图2,连接AM,CM,过点尸作PE,AC

・・・8。是AC的垂直平分线，

：.AM=CMf且AP=CQ,PM=MQ,

丁•△APMdCQM(S5S)

：.ZPAM=ZMCQfZBQM=ZAPM=45°,

9：AM=CM,AB=BC,BM=BM,

：.AABM^/XCBM(SSS)

:・/BAM=/BCM,

：.ZBCM=ZMCQf且/BCM+NMC0=18O°,

ZBCM=ZMCQ=ZPAM=90°,且NAPM=45°,

・・.NAPM=ZAMP=45°f

：.AP=AMf

•・・/PAO+NMAO=90。，NAMO+N4Mo=90。，

・・・NPAO=NAMO,且NPE4=NAOM=90。，AM=APf

：./\APE^/\MAO(AAS)

.\AE=OM,PE=A0=4t

/.2m-8=4,

m=6,

：.Q(6,-4),尸(-2,4)

设直线PQ的解析式为：y="x+c,

，4=6a+c

14=-2a+c

(a=-l

解得:

1c=2

，直线PQ的解析式为：尸-x+2.

12、如图，已知直线），=h+4（后0）经过点（-1,3）,交x轴于点A,y轴于点8,尸为线段A8的中点，

动点C从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿），轴正方向运动，连接尸C,过点尸作直线FC的垂线交

x轴于点。，设点C的运动时间为“少.

（1）当0<f<4时，求证：FC=FD；

（2）连接C。，若△尸DC的面积为S,求出S与♦的函数关系式;

（3）在运动过程中，直线CF交x轴的负半轴于点G,义+4是否为定值？若是，请求出这个定值;

UCUG

x

(1)证明：连接OR如图1所示：

・・•直线y=H+4(原0)经过点(-1,3),

.・.-*+4=3,解得:k=l,

工直线y=x+4,

当y=0时，x=-4；当x=0时，y=4；

・"(-4,0),8(0,4),

，04=08=4,

NAOB=90。，

,・aAOB是等腰直角三角形,

：.ZCBF=45°,

•••尸为线段A8的中点，

OF=—AB=BF,OFLAB,ZDOF=—ZAOB=450=ZCBF,

22

:.NOFB=90。,

■:DFLCF,

ZDFC=90°,

：.NOFD=NBFC,

'NBFC=/OFD

在^BCF和AODF中，BF=OF，

ZCBF=ZDOF

:.ABCFm丛ODF(ASA),

:.FC=FD；

(2)解：①当0Vf<4时，连接OF,如图2所示：

由题意得：OC=t,BC=4-t,

由(1)得：4BCF部/\ODF,

：.BC=OD=4-t,

：.CD2=OD2+OC2=(4-t)2+户=2产-8f+16,

"：FC=FD,ZDFC=90°,

；.△下£>€1是等腰直角三角形，

.,.FC2=—C£>2,

2

的面积2(得尸-什；

:3DCS=A/ZC=-1XACD2=A2/2-8/4-16)24

②当它4时，连接。尸，如图3所示：

由题意得：OC=f,BC=f-4,

由(1)得：bBCFWAODF,

：.BC=OD=t-4,

:.CD。=OD2+OC2=(r-4)2+t2=2t2-8r+16,

,：FC=FD,/DFC=90。,

••.△/DC是等腰直角三角形，

.-.FC2=—CD2,

2

...△FZJC的面积CD*=-^-(2产-8z+16)-2f+4；

22242

综上所述，S与，的函数关系式为5=*1-2/+4：

(3)解：《^+金■为定值4；理由如下：

UCUG2

①当0<y4时，如图4所示：

当设直线CF的解析式为y^ax+t,

VA(-4,0),B(0,4),尸为线段45的中点，

：.F(-2,2),

把点厂(-2,2)代入y=ax+f得：-2a+r=2,

解得：。='^"(，-2),

...直线CF的解析式为尸/(1-2)x+t,

当y=0时，x=W^-,

2-t

：.G0),

2-t

..1,1-1,t-22+t-21

'"0C0Gt2t2t2

②当仑4时，如图5所示：

同①得：

图5

13、已知：在平面直角坐标系中，直