2021年上海高考数学选择题压轴题 讲次1 函数（教师版）

备战2021高考黄金30题系列之数学选择题压轴题【上海版】

专题1函数

1.(2021上海市南洋模范中学高三期中)已知函数/。)=/与11无各项均不相等的数列｛%｝满足

|x,.|<|(z=1,2,3,•••,«),令尸(〃)=a+X2+L+X„)-[/(%,)+/(X2)+L+/(x,)](〃eN*).给出下列

三个命题：(1)存在不少于3项的数列｛玉｝,使得F(〃)=0；(2)若数列｛x,J的通项公式为

当=(一g)"(〃eN*)，则/(2幻>°对左eN*恒成立；(3)若数列｛%｝是等差数列，则/(“)2°对〃eN*

恒成立，其中真命题的序号是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【分析】由题意，函数f(x)=x2.sinx是奇函数，只需考查函数在xe0,^的性质，此时y=/,y=sinx

JI

都是增函数，；./(x)=x2-sinx在xw0,彳上也是增函数，即玉+马中0时，

JT7T

(x,+x2).[/(x,)+y(x2)]>0,对于(1),--<x,=-xy<-,x2=Q,即可判断；对于(2),运用等比

数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对于(3),运用等差数列求和公式，及不等式的性质，结

合函数/(X)的单调性，即可判断；

【解析】由题意得/(-x)=(-x)2.sin(-x)=-%2.sinx=1/(x),/(x)=r.sinx是奇函数，只需考查

兀JI

函数在xe0,—的性质，此时y=f,y=sinx都是增函数，.•./(%)=x2.sinx在xe0,—上也是增

函数，即函数y(x)=尤2.sinx在xe-万，万上也是增函数，设e

若无]+%2<。,则％<—工2,，/(玉)</(一%2)=一/(%2)，即/(药)+/(七)<。

若玉+工2>。,则%>一々,；•/(玉)>/(—%2)=—/(x2)，即/(玉)+/(々)>。

二%+x2H0时，(X]+々>"'(%)+/(工2)]>。，

TTTT

X寸于(1),MX--<X,=-x3<—,x2=0,F(3)=(X]+x2+x3)-[f(xt)+/(x2)+f(x3)]=0,故(1)正

确;

对于(2),Qx“=(-/)"(〃wN"),

n

<0

2

、2x2A、2A

+sin

2)2；

Ts唱

、2々2k-\\2k-\

令已fl，则；

2ay=-4sin(+sin=-4sin2a+sina

2)J712

=-8sinacosa+sina=sina(l—8cosa)

又ZeN*，知0<a〈L,则sina>0,cos’Wcosacl,WO-7<l-8coscif<l-8cos-,

444

„7n17t71、71TC.71.71y/2+y/61

Qcos—=cos----cos—cos——I-sin—sin一----->一,

12I34>34344-------8

11

又尸以为工在［引上单减,171即>

o,/.COS—>COS—,4-8-/.1—8cos—<0

4124

/］产1.(评

sin6z(l-8coscr)<0,即一4sin—in—+

+sin<0,则/U24-1)f(x2k)<0,

由人的任意性可知，f(xt)+f(x2)+L+f(x2k)<0,

>O

又M+W+L+x2k<0,F(2k)=(%1+x2+L+X2")・"(X1)+/(X2)+L+/(^2A)1-故(2)正确;

对于（3）,数列｛%｝是等差数列,

若玉+W+…+/=0,则尸（〃）=0：

若为+玉〉0,即玉〉一天，又"X）是奇函数也是增函数有/（不）＞/（一七）=一/（毛），可得

/(X1)+/(x“)>0；同理:

若％+>o,可得)+/(x„.l)>0：

若马+土一2>0,可得/(尤3)+/(%2)>°；

相加可得：若玉+/+L+x.>0,可得/■(X1)+/(X2)+L+/(x.)>0,即F(〃)>0：

同理若X1+4+L+x„<0,可得/G)+/(X2)+L+/(%„)<0,即/(〃)>0,故⑶正确，故选D.

【名师点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函

数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解

能力，属于难题.

2.(2021上海长宁区•高三二模)在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线y=%2、x轴以及直线％=1

所围成的曲边区域面积S的一种方法：把区间［0,1］平均分成〃份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得

每个矩形的左上端点都在抛物线y=/上(如图)，则当〃―8时，这些小矩形面积之和的极限就是S.已

知F+22+3?+…+〃2=,〃(〃++利用此方法计算出的由曲线y=«、％轴以及直线尤=1所

AV686c2口2

3243

【答案】D

【分析】由于y=«,xe［0,曰与y=f,xe［0,l］互为反函数，画出y=f,xe［0,l］的图象，所求的曲边

区域的面积等于图中阴影部分的面积，再通过对区间［0』进行分割、近似代替、求和、取极限的方法，求

出抛物线y=/、x轴及内线x=l所围成的曲边区域面积S,即可得出阴影部分的面积，即可得出曲线

y=G、%轴及直线x=l所围成的曲边区域的面积.

【解析】由于y=6,xe[0,l]与y=£,xe[o,i[无为反函数，

可知，所求的曲边区域的面积等于下图中阴影部分的面积，

根据题意，抛物线y=/、x轴及直线x=l所围成的曲边区域面积S,

可知这些小矩形的底边长都是上,

高依次为…,

n

.•.S=lim-

S8n

『+22+32+…+—l(n-l)n(2n-l)

=lim---------------——L=lim-5--------------=-，

xfgn18H3

12

・・・阴影部分的面积为：1-5=1--=一，

33

2

即曲线y=4、X轴及直线X=1所围成的曲边区域的面积为：y.

故选D.

【名师点睛】本题考查类比推理和定积分的概念，通过对区间进行分割、近似代替、求和、取极限的方法

求曲边区域的面积，考查化归转化思想和计算能力.

3.（2021徐汇区•上海中学高三期中）给出下列命题：

（1）若|/（X|）+/（X2）同g（5）+g（X2）|对任意王，工2eR恒成立，且y=/（%）是奇函数，则函数y=g（x）

也是奇函数;

（2）若"00—/但）闫g（X1）—g（%2）l对任意XR/CR恒成立，且y=/（x）是周期函数，则函数

y=g（x）也是周期函数；

（3）若"a）-/（X2）|>|g®）-g（X2）l对任意不相等的实数再、z恒成立，且y=/（x）是R上的增函

数，则函数y=/(x)+g(x)与函数y=/(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数；

(4)若|/(%)-f(x2)|>|g(x.)-g(%)|对任意X„X2GR恒成立,且"/(%)在R上有最大值和最小值，

则函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明正确；根据函数单调性的定

义，结合不等式的性质可以证明C；根据己知条件和#x)既有最大值又有最小值的定义，利用不等式的基本

性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值.

【解析】对于(1),取％=x,%2=r，则|/(X)+/(T)闫g(x)+g(-x)|，；丁=/(x)是奇函数，

，/(x)+/(-x)=。，，。21g(x)+g(-X)|，，g(x)+g(-x)=O,，g(x)为奇函数；

对于(2)设段)的周期为7(。>0),取％=X,X2=X+T,则|/(x)-/(x+T)国g(x)-g(x+T)|,；y=/'(x)

以7为周期，二/(》)一/(》+7)=0,二02卜(力一8(%+7)],二8(%)-8(%+7)=0,；.8(%)为以7为

周期；

对于(3)设为<%,y=/(x)是R上的增函数，,|/(玉)一/(々)|>|8(%|)-8(%2)1即

为f\xx)-/(x2)<g(x()-g(x2)<f(x2)-/(%])即为f(xl)-g(xi)<f(x2)-g(x2),

g(X)+/(X)<g(X2)+/(X2)，

:・函数y=/(x)+g(x)与函数y=f(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数：

对于(4)y=/(x)在R上有最大值和最小值，...存在。,方，使得对于任意实数X恒

成立，\g(x)-g(a)|<|/(x)-f(a)\=f(x)-f(a),\g(x)-g(b)f(x)-f(b)\=f(b)-f(x)

即g(x)-g(a)<f(x)-f\d)①，g(x)-g(a)>f(a)-f(x)②，g(x)-g(b)<f(b)-f(x)③，

g(x)-g(b)>f(x)-f(b)④.

①+③得2g(x)-g(a)-g(b)<f(b)~于(a),

即g(x)/3fg⑷+g(丝

②+④得2g(x)-g(a)-g(b)>f(a)-f(b),

即g(x)J⑷-叱g⑷+g("

由可知函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；

综上，真命题的个数为4,故选D.

【名师点睛】本题考查命题的真假判定，涉及函数的奇偶性，单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不

等式，属于难题.关键在于将奇偶性、周期性、单调性和最大值最小值的定义与已知不等式相结合，利用

不等式的基本性质进行推导和论证.

20

4.(2021上海市奉贤区曙光中学高三期中)已知/(%)=土二人(丸>0),若对于任意，e(2,4),总存在正

X

数〃？，使得/。一〃2)+/(/+加)=0成立，则实数2的取值范围是()

A.(0,4]B.(0,4)C.(0,16)D.(0,16]

【答案】C

【分析】分析函数/(%)为奇函数，由/("〃?)+/"+相)=。推导出2=/一加2有解，求得,"的取值范

围，进而可求得正实数2的取值范围.

【解析】当4>o时，函数〃尤)=匕2的定义域为卜忖/o},/(_力=匕上2==_/(力，

X-XX

...函数/(X)为奇函数.

•.-/(x)=x-1,则函数〃x)在区间(f,o)和(0,+8)上均为增函数，

/、/、力丸22—x.}

若玉W/且/(玉)=/(/),即玉---=X2----，即玉一元2=--------=----------，

：.2=-X1X2，

对于任意fw(2,4),总存在正数加，使得/(r—m)+/。+加)=0成立，

则/(f+m)=_/(/_，％)=/(m—Z),+>0,

.1.re(2,4),m>0,：.m<t,即有0<，〃<2,

:.A=t2-w2e(0,16),故选C.

【名师点睛】对于函数的新定义的问题，应准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化

为我们熟知的函数的基本性质的问题.

5.(2021上海市建平中学高三月考)对于定义在H上的函数/(X),若存在正常数。、A,使得

/(x+a)W/(x)+Z?对一切xeR均成立，则称/(x)是“控制增长函数在以下四个函数中：①

=+X+1；②〃力=桐；③/(x)=sin(%2)；④〃x)=x-sinx.是“控制增长函数”的有()

个

A.]B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】假设各函数均为“控制增长函数”，根据定义推导,f(x+a)W/(x)+万恒成立的条件，判断出。、h

的存在性即可得出答案.

【解析】对于①，/(x+a)«/(x)+Z?可化为+(x+a)+lMx?+》+1+8，

即2atW一。+人，即%《一"一一"+"对一切xeR恒成立，

2a

由函数y=/(x)的定义域为H可知，不存在满足条件的正常数。、b,

二函数/(x)=f+x+l不是“控制增长函数”；

对于②，若函数/(》)=桐为“控制增长函数”，

则/(x+a)W/(X)+。可化为)|x+a]<+b,

.,.|%+a|<\x\+b2+2久相对一切xeR恒成立，

又|x+a|wW+a,若k|+a<k|+〃+2Z?J同成立，则洞之一1,显然，当。<从时，不等式恒成立，

函数/(x)=洞为“控制增长函数”；

对于③，.../(x+a)-/(x)w2,

当且。为任意正实数时，/(x+a)W/(x)+。恒成立，

二函数/(x)=sin(d)是，，控制增长函数，，；

对于④，若函数/(x)=x,sinx是“控制增长函数”，则(x+a)-sin(x+a)«xsinx+力恒成立，

•J(x+a)-sin(x+a)Wx+a,x+a<xs\nx+b<x+b,即

二函数/(x)=x-sinx是“控制增长函数”.

因此，是‘‘控制增长函数”的序号是②③④，故选C.

【名师点睛】本题考查函数新定义的理解，以及函数存在性与恒成立问题，理解题中新定义是解题的关键，

考查推理能力，属了难题.

6.(2021上海青浦区•高三二模)已知函数/(x)=sinx+2卜inx|,关于x的方程广⑸一右=()有

以下结论：

①当a20时，方程/(刀)一6/(x)-1=0在［0,2乃］最多有3个不等实根；

64I—

②当0<a</时，方程尸⑴__1=。在［0,2〃］内有两个不等实根；

③若方程/(£)一G/(x)-1=0在［0,6汨内根的个数为偶数，则所有根之和为15万；

④若方程/⑺一-1=0在［0,6句根的个数为偶数，则所有根之和为36〃.

其中所有正确结论的序号是()

A.②④B.①④C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】先研究/(x)在［0,27］内的图象，求其值域，进而研究方程/2(幻一行/意)一1=。两根的取值范

围，结合图象研究四个命题的正误.

f3sinx,xe［0,^l

【解析】由已知得f(x)=sinx+2|sinx|=.;做出图象如下：

［-sinx,x€(7,21|

令/+河/历显然a.0,.•d.」，t2<0(舍).

22

原方程的根看成y=4与y=f(x)的交点的横坐标.

对于①，如图所示：•••小」，当a=on寸，彳=1,y=，与y=/(x)恰好有三个交点：”】。>0时，分别有

对于③，如图所示，由题意，只能满足：了=:只与丁=/。)在［0,刈，Q不，3汨，［4万，5划上的图象

各有两个交点.

易知这六个零点分别关于x=I，x=苧,犬=等对称，.•.六个根的和为：2xg+2x¥+2x亭=15%.

222222

故③正确，④错误.故正确命题的序号是①③.故选C.

【名师点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力,

属于较难的题目.

7.(2021.上海金山区.高三一模)已知定义在R上的函数“X)是奇函数，且满足/(x+3)=/(x),

〃1)=—3,数列｛叫满足S“=2a,+〃(其中S”为应｝的前〃项和)，则/(%)+/(4)=()

A.-3B.-2C.3D.2

【答案】C

【分析】山S,,=2a“+〃求出%、%的值，再利用函数，(力的奇偶性和周期性的性质可求得结果.

(解析】对任意的“eN*，S“=2a,+n.

当〃=1时，。［=百=24+1,解得4=-1；

当〃N2时，由S“=2a"+”可得S"_|=2a,i+"-1,

上述两式作差得%=2a“-2a,i+l,即=24TT，；•%—1=2(41T—1),

二数列｛4—1｝是首项为4-1=-2为首项，以2为公比的等比数列，

a“一1=—2・2"T=—2",g|la„=1-2",:.a5=-3l,ak=-63,

•••函数/(x)是定义在R上的奇函数，则/(O)=O，

函数/(x)满足〃x+3)=/(x),"1)=—3,

.­./(«5)=/(-31)=-/(31)=-/(1)=3,/(a6)=/(-63)=f(0)=0,

3

因此，/(«5)+/(«6)=-

故选C

【名师点睛】

方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合

在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、

填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；

(1)函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

(2)周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值

的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

(3)周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用

奇偶性和单调性求解.

8.(2021上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)下列函数中既是奇函数，又在区间卜1』上单调递

减的是()

A./(x)=(1)xB./(x)=lg|x|C./(x)=-xD./(x)=g

【答案】C

【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案.

【解析】A./(x)=(1)\非奇非偶函数，排除；

B./(-x)=lg|-x|=lg|x|=/(x),函数为偶函数，排除;

c.f(-x)=x=-f\x),函数为奇函数，且单调递减，正确；

D./(-%)=--=-/(%),函数为奇函数，在［-1,0)和(0,1］单调递减，排除，故选C.

X

【名师点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.

9.(2021上海闵行区♦高三一模)若lg2=a,\g3=h,则logsl2等于()

2a+b2b2a+b2b

A.-----B.—aC.-----D.a—

\+a1+a1-a1-a

【答案】C

【分析】利用对数的换底公式可将logs12用a、匕表示.

【解析】

根据对数的换底公式得，

1幅12=*=恒3+怆4Jg3+21g2=2

51g5lgl0-lg2l-lg21-a

【名师点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运

算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5=lgl0-lg2是题目的一个难点和易错点.

10.(2021上海高三一模)设人、。均为实数，关于x的方程x2+MM+c=0在复数集。上给出下列两个

结论：

①存在b、c,使得该方程仅有两个共朝虚根；

②存在匕、C,使得该方程最多有6个互不相等的根.

其中正确的是().

A.①与②均正确B.①正确，②不正确

C.①不正确，②正确D.①与②均不正确

【答案】A

【分析】取匕=O,c=l可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.

【解析】令b=0,c为正实数，则存在两个共轨的虚根，如b=O,c=l,则存在两个共甄虚根，x=±i,

故①正确；

若X为实数，则方程可看做国2+。凶+。=0,只需保证W有两个正解即可，此时方程有四个实根；若X为

虚数，则设x=，"+应，有％2+0国+。=(),等价于加—〃2+2团市+艮而+/+c=0，二

2mn=0,又x为虚数，；.〃/0,则有机=0,即一〃2+司司+。=0,即〃？一同H一。=。最多

有两个根，，方程最多有6个解.

从-4c>0

只需|从+4c>0即可，如8=—3,。=2,方程有一1,一2,1,2四个实根，有-3+S3-皿两个虚

29

b<0

根.故②正确，故选A.

【名师点睛】本题考查复数范围内求解.

易错点睛：(1)根为复数时，设x=%+〃i,代入口•算，可得雁=0；

(2)把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.

11.(2021上海杨浦区.高三期中)设函数/(x)=xlgx满足/(a)/S)/(c)<0(a<人<c),/(力的零点为

则下列选项中一定错误的是()

A.x0G(4Z,c)B.x0C.』€(",<?)D.$w(G+oo)

【答案】C

【分析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.

【解析】由题意，函数/(x)=xlgx的定义域为(0,+8),且/(力的零点为％,即〃/)=0,解得%=1，

又f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c),

可得中，有1个负数、两个正数，或3个都是负数，

若〃a),/S)J(c)中，有1个负数、两个正数，

可得，即0<a<l</?<c,

根据零点的存在定理，可得改)w(。力)或/G(a,c).

若/(a)J(O)J(c)中，3个都是负数，则满足〃可<0,/。)<0,/©<0,

即0<a<b<c<l,此时函数的零点X。G(C,+CO).故选C.

【名师点睛】有关函数零点的判定方法及策略：

(1)直接法：令/(x)=O,有几个解，函数就有几个零点；

⑵零点的存在定理法：要求函数/(%)在区间回上连续不断的曲线，且了(。)〃。)<0,再结合函数

的图象与性质确定零点的个数；

(3)图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数/(力的零点个数.

'|2A-l|,x<2

12.(2021上海黄浦区•格致中学高三期中)设函数/*)=?'，若实数4,4。满足。<。<。且

-x+5,x>2

/(a)=/(。)=/(c),则2"+2"+2’的取值范围为()

A.(5,34)B.(5,37)C.(18,34)D.(18,37)

【答案】C

【分析】画出函数图象可得ce(4,5)且与+2〃=2,则可求出.

12'r-l|,x<2

【解析】画出函数/(x)=f1的图像如图所示：

-x+5,x>2

互不相等的实数。，"c,满足/(a)=/(8)=/(c),

可得ae(T»,0),/?e(O,l),ce(4,5),

•.•，―1|=恸一1|,1，.•.2"+2”=2,

•••4<c<5,.•.16<2'<32，.•.18<2"+2"+2c<34,

则20+2、+2。的取值范围是(18,34),故选C.

【名师点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的应用，解题的关键是画出函数图象，数形结合得出c«4,5)

且2"+2"=2，即可求出结果.

13.(2021上海市进才中学高三期中)关于函数/(x)=sinx+」一，下列观点正确的是

sinx

A.的图象关于直线x=0对称B.“X)的图象关于直线尤=(对称

C./(X)的图象关于直线X='对称D.“X)的图象关于直线X=7对称

【答案】c

【分析】利用“/(a-x)=/(a+%)等价于/(x)的图象关于直线x=。对称”或反例逐项检验后可得正确的

选项.

—2，故/图力/(_。故A错.

［解析］对于A,=1+1==

p,..q兀兀/*(冗5j,(7V卜佃子

对于B,•:f-----=/—=-,7—4-一

U12厂切2，412

故怖4M尹如故B-

对于C,f\x］=cosx+,

12Jcosx

/万.(71)1

f\—+x=sin—+X+---；-----=COSX+

12JI/川cosx12),

故"X)的图象关于直线x=］对称，故C正确.

对于D,/1一1)=2,/(乃+?=_2/Hl，

故D错.

故选C.

【名师点睛】

结论点睛：(1)如果函数/(x)满足〃。一.r)=/(«+%),则/(x)的图象关于直线x=a对称，反之也成

立；⑵如果函数/(x)满足_/(ar)+〃a+x)=&,则/(x)的图象关于点(6。)对称，反之也成立.

14.(2021上海普陀区•高三月考)关于函数，有下列叙述：

①存在函数,f(x)满足，对任意xsR都有/(sin2x)=sinx；

②存在函数/(x)满足，对任意xeR都有/(sin2x)=x2+x；

③存在函数/(x)满足，对任意xwR都有+2x)=|x+l|；

④存在函数/(x)满足，对任意xeR都有/(丁+1)=|%+1|；

其中，叙述正确的是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据函数的定义结合赋值法可得①②④的正误，利用换元法可得③正确.

【解析】①令x=(),则sin2x=0,/(0)=0,令x=g则sin2x=0,，/(0)=1,矛盾，故不存

在；

②令x=0,则sin2x=0,.../(())=0,令*=乃，则sin2x=0,，/(0)=%2+万，矛盾，故不存在；

③令x+1=r,则/(f+2x)=|x+11化为/(r一])=“令/_]=],则工=，•••/(>)=A/X+T,

正确；

④令x=l,得/(2)=2,令彳=一1,得/(2)=0,矛盾，故不存在；

,正确的个数是1个，故选A.

【名师点睛】方法点睛：判断函数的存在性，一般依据函数的定义来判断，注意根据复合函数的形式寻找

合适的赋值方法.

15.(2021上海崇明区•高三月考)关于函数的周期有如下三个命题：

甲：已知函数y=/(x)和y=g(x)定义域均为R,最小正周期分别为汇、T2,如果JeQ,则函数

y=f(x)+g(x)一定是周期函数；

乙：y=/(x)不是周期函数，/(x)l一定不是周期函数；

丙：函数y=/(x)在R上是周期函数，则函数y=/(x)在[0,+8)上也是周期函数.

其中正确的命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据周期的定义，依次判断即可.

【解析】对甲：设U='eQ，eZ,则"(=根(，设7=〃1=加7；,对于任意的xeR,则

12n

f(x+T)+g(x+T)=f(x+nTl)+g(x+nT2)=f(x)+g(x),故甲说法正确;

对乙：f(x)=sin国不是周期函数，但|/(刈=卜诃幻|是周期函数，故乙说法错误；

对丙：函数y=/(x)在R上是周期函数，则存在非零常数T，对任意xeR都有/(x+T)=/(x)，故当

xNO时，也有/(x+T)=/(%),

即“X)仍是周期为T的函数，故丙说法正确，故选C.

【名师点睛】本题主要考查对周期的定义的运用.

16.(2021上海市控江中学高三月考)已知/(x),g(x)都是定义在R上的函数，下列两个命题：

①若/(X)、g(x)都不是单调函数，则/(g(x))不是增函数.

②若/*)、g(x)都是非奇非偶函数，则/(gW)不是偶函数.

则()

A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误

【答案】D

【分析】举反例即可得答案.

一,xH0

【解析】：当/(x)=g(x)=《x，则/(g(x))=x,故①不正确；

0,x=0

当/(x)=(x+l)2,g(x)=x-l,则f(g(x))=x2,故②不正确.

.♦.①②都错误.故选D.

【名师点睛】本题考查复合函数的单调性与奇偶性.

17.(2021徐汇区•上海中学高三期中)设平行于％轴的直线/分别与函数y=2、与y=2田的图像相交于点

A,B,若函数＞=2',的图像上存在点C,使得AABC为等边三角形，则这样的直线/()

A.不存在B.有且只有一条C.有且只有两条D.有无数条

【答案】B

【分析】设直线/的方程为丁=。（。>0）,求得点A（log2a,a）、B（log2a-l,a）,得到|人却=1,再由

CDLAB,得点C,根据点C在函数y=2'的图象匕得到关于a的方程，即可求解.

【解析】设直线/的方程为y=a（a>0）,由2、=a，得x=log2。，...点A（log24,a）：

由2*+i=a，得x=log2a-l,.,.点5（log2aT,a）,从而|阴=1；

如图，取A3的中点O，连接8,

•；AABC为等边三角形，则CDLAB,

目」A£）|=g,=.,•点Clog2a-y,a—J-

•••点。在函数y=T的图象上，则a—*=210g2a—；=亲,

A

解得a尸，.•.直线/有且只有一条.

2-V2

故选B.

【名师点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以

及根据三角形的性质，合理列出关于实数”的方程是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的

能力，属于常考题型.

18.（2021上海市七宝中学高三月考）已知xeR,符号田表示不超过x的最大整数，若函数

/（x）=@一a（xwO）有且仅有3个零点，则实数4的取值范围是（）

X

3434

A.B.C.D.u

4?53'2j4'53引

【答案】D

【分析】先将函数/(x)=@-a(xwO)有且仅有3个零点转化为g(x)=@(xwO)与>的图像有且

XX

仅有3个不同的交点，再画出函数g(x)=@(xHO)的部分图象，最后求实数。的取值范围.

X

【解析】函数/")=区一a*HO)有且仅有3个零点就是g(x)=L@(xoO)与丁=。的图像有且仅有3

XX

个不同的交点.

当0cx<1时，则［x］=o，此时g(x)=o；

当l«x<2时，则［尤］=1,此时g(x)=L此时，<g(x)Wl；

九2

2?

当2Wx<3时，则国=2,此时g(x)=—，此时、<g(x)«l；

x3

33

当3Kx<4时，则［n=3,此时g(尤)=二，此时z<g(x)Wl；

当4Kx<5时，则［可=4,此时g(x)=±此时［<g(x)«l；

若当一lWx<()时，则国=-1,此时g(x)=-J此时g(x)il；

若当-2Wx<-l时，则国=-2,此时g(x)=--,此时lsg(x)<2；

若当-3Wx<-2时，则国=-3,此时g(x)=一一,此时lWg(x)<a：

若当T«x<—3时，贝ij［x］=T,此时,g(x)=-3,此时l«g(x)<*

画函数g(x)=Lq(xoO)的部分图象如图，

X

易得卜uI)

故选D.

【名师点睛】

本题考查分段函数的图象、利用函数的零点个数求参数范围，还考查了数形结合的数学思想.

19.(2020上海普陀区.高三二模)定义域均为。的三个函数“X),g(x),/i(x)满足条件：对任意xeO，

点(x,g(x))与点(x,//(%))都关于点(左,〃切对称，则称〃(％)是g(x)关于/(x)的“对称函数已知函

数g(x)=JT^,h⑶=忌,〃(x)是g(x)关于“X)的"对称函数“，记/(X)的定义域为。，若对任

意SGD,都存在teD,使得2/(s)=/+2/+储+。一1成立，则实数。的取值范围是()

A..[-l,0]u[l,2]B..{-1}U[O,2]C..[-2,-l]U[0,l]D..{l}u[-2,0]

【答案】C

【分析】求得了(x)的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到的值域；判断

加”)=产+”+。2+。_1在[0,1]递增，可得其值域，再由题意可得/(X)的值域包含在加(f)的值域内，可

得。的不等式组，解不等式可得所求范围.

【解析】由函数g(x)=Jl—x,h(x)=y/3x,力(x)是g(x)关于/(x)的“对称函数”，

可得/(x)=；(J1-x+,啜！k1,/(x)>0,/'(x)=^(-,

3

可得/'(幻=0的解为尤==，

由7(0)=；，f(1)=—，f(；)=i，

331

且/(x)在。一)递增，(一,1)递减，可得的最小值为5,最大值为1,

442

可得/(幻的值域为七，1],

而〃?Q)=/+2r+/+a-l在[0,1]递增,可得加⑺的值域为d+a-l,a2+a+2],

由题意可得“，2]c[a2+a-l,a2+a+2],

f-2到1

即有。2+。一1(鼓i<2a2+a+2,即为1—»

口国)或a-1

解得01册1或-2融-1,

则a的范围是

故选c.

【名师点睛】

本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考

查化简运算能力.

20.(2021上海市建平中学高三月考)已知函数/(x)=「Fi(xe。)，有下列四个结论：

1-囚

①对任意xe。，〃—x)+/(x)=0恒成立；

②对任意加€(0,1),方程|/(力|="有两个不相等的实数根；

③存在函数g(x)使得g(尤)的图象与/(x)的图象关于直线y=x对称；

④对任意人41,+8),函数g(X)=〃X)-丘在£)上有三个零点.

则上述结论中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①根据解析式计算f(-x)+/(x)=0；②画出函数y=|/(x)|的图象，由图象的交点个数判断实

数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据/(X)=0,求

方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数.

【解析】①函数的定义域是｛x|xx±l｝，/(-x)+/(x)=j-p^+j-^=0,故①正确；

②川小)卜缶1]”,函数的图象如图所示:

1+X

>=加与函数图象有2个交点，故②正确；

③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于V=%的对称点为(y,x)在函数/(x)上，

yr?

则x=1।।,当y>°时，y=-r->当时，y=----，当x=2时，y=一或y=-2，存在一个“

1-IX元+11-x3

对着两个y的值，.•.不存在函数g(x)使得g(x)的图象与“X)的图象关于直线y=x对称，故③不正确;

当x=o时，满足方程，，方程的一个实数根是x=0,

当x00时,，k=%~j—।，3=当4>1时，i__L>o,x=±(l

1一N11kkIk

满足方程g(x)=,f(x)-履=0的有三个实数根据0,函数有3个零点，故④正确.

故正确的个数有3个，故选C.

【名师点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力型.

21.(2021上海市嘉定区第一中学高三月考)已知在R上的减函数y=f(x),若不等式

/(V—3x)V-/(-丁_3y)成立，函数y=/(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称，则当1VxW4时，5的

取值范围是()

A.—1,—B.f-1,—C.(—2,1]D,—2,—

4」I4」L4_

【答案】D

【分析】由对称性得函数是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两

个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线x=l和％=4之间的部分，』

X

表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围.

即得结论.