2021年中考数学压轴题专项训练11开放探究含解析

开放探究

1.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”.如图1,在AABC中，PA=PB,那

么点P叫做AABC的“中垂心”.

（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有（举一个例子即可）；

（2）应用：如图2；在AABC中，请画出“中垂心"P,使PA=PB=PC.（保存作图痕迹，不写画法）

（3）探究：①如图3,AABC为直角三角形，ZC=90°,ZABC=60°,AC=4百，"中垂心"P在AC边上，

求PA的长.

②如图4,假设PA=PB且“中垂心"P在aABC内部，总有AC+BO2AP,请说明理由.

【解析】解：（1）根据题意，假设点C为△ABC的“中垂心"

可得CA=CB

...△ABC为等腰三角形

故答案为：等腰三角形（答案不唯一）；

12）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P

根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC

•••点P即为所求；

（3）①：NC=90°,ZABC=60°,

AZA=900-ZABC=30"

.\AB=2BC

设BC=x,那么AB=2x

VBC2+AC2=AB2

.,.x2+(46)2=(2x)

解得：x=4或-4（不符合实际，舍去）

.,.BC=4,AB=8

在AC边上，NC=90°

.•.PB>PC,即不存在“中垂心"P,使PB=PC

假设PA=PB,如下列图所示

设PA=PB=a,那么PC=AC-PA=46-a

,/PC2+BC2=BP2

（4\/3—a）2+42=a2

3

即PA=^；

3

假设PA=PC,如下列图所示

那么点P为AC的中点

；.PA=gAC=2百

综上：PA=®1或26；

3

②理由如下

延长AP交BC于D

根据三角形的三边关系可得：AC+CD>AD,DP+DB>PB

；.AC+CD+DP+DB>AD+PB

.\AC+(CD+DB)+DP>PA+DP+PB

AAC+BOPA+PB

,/PA=PB

AAC+BO2AP

2.如图，在八48c中，。为AC的中点，将八钻。绕点。顺时针旋转2°(0<a<360)得到△£「£),连

结BE、CF.

(1)假设AABC为等边三角形，试探究8E与C尸有何数量关系？证明你的结论；

(2)假设AABC为等边三角形，当。的值为多少时，EE//AB?

(3)当AABC不是等边三角形时，(1)中结论是否仍然成立？假设不成立，请添加一个条件，使得结论成

立，并说明理由.

【解析】解(1)BE=CF,证明如下：

：BD为等边AABC的中线，：•BD1AC,即NBDA=NBDC=90°,,；ZEDA=NFDB，；.

/EDA+/BDA=NFDB+NBDC,即NEDB=NCDF,由旋转的性质得到DE=ZM=DC,

BD=FD，：.AEDB三ACDF,：.BE=CF.

(2)a=60或240.

当a=60时，由AABC为等边三角形，得到NA=60。，；.NA=/EDA=60°即〃A3；

当a=240时，ZA-Z£Z)C=60°,：.ED//AB.

(3)不成立，添加的条件为84=3。理由如下：

VBA=BC,DA=DC,：.BD±AC,即NBDC=NBDA=90°J；/EDA=/FDB,：.

NEDA+NBDA=NFDB+NBDC,即NEDB=NCDF.由旋转的性质得到ED，

DA=DC=DE,：.AEDB塾ACDF,：.BE=CF.

3.在中，AB-AC,点〃与点£分别在4?、〃'边上，DEHBC,且此如，点厂与点G分别在8G加边

上，4FDG=\NBDE.

2

(1)如图1,假设N4炉120°,DF1BC,点、G与点、C重合,g1,直接写出册；

(2)如图2,当G在线段用上时，探究线段即EG、bG的数量关系，并给予证明；

(3)如图3,当G在线段四上时，直接写出线段孙；EG、尸G的数量关系：

【解析】(1)VDE#BC,

.-.ZBDE+ZABC=180°,

VZBDE=120°,

/.ZABC=60°,

VDF±BF,

.♦.NBFD=90°,

・・・DF二BF・tan600=1乂6二百，

VZCDF=-ZBDE=60°,ZDFC=90°，

2

CF=DF*tan600==3，

/.BC=BF+CF=l+3=4；

(2)如图2中,结论：FG=BF+EG.

理由：在EA上截取EH,使得EH=BF.

图2

VAB=AC,

AZB-ZC,

VDE//BC,

；.NADE=NB,NAED=NC,

ZADE=ZAED,

ZDEH=ZB,

在△DBF和△1)EH中，

"BF=EH

<ZB=ZDEH,

BD=DE

AADBF^ADEH(SAS),

；.DF=DH,ZBDF=ZEDH,

1

,/ZFDG=-ZBDE,

2

1

ZBDF+ZEDG=ZEDH+ZEDG=ZGDH=-ZBDE,

2

...NGDF=NGDH,

在aDGF和△DGH中，

'DF=DH

<ZGDF=ZGDH,

DG=DG

.,.△DGF^ADGH(SAS),

；.FG=HG,

：HG=EG+HE=EG+BF,

；.FG=BF+EG；

(3)如图3中,结论:FG=BF-EG.

H卜

理由：在射线EA上截取EH,使得E1I=BF.

图3

VAB=AC,

ZB=ZC,

VDE/7BC,

AZADE=ZB,ZAED=ZC,

.\ZADE=ZAED,

AZDEH=ZB,

在△DBF和ADEH中，

'BF=EH

<NB=乙DEH,

BD=DE

.,.△DBF^ADEIl(SAS),

.\DF=DH,/BDF=NEDH,/.ZBDE=ZFDH,

11

ZFDG=-ZBDE=-ZFDH,

22

/.ZGDF=ZGDH,

在ADGF和△DGH中，

DF=DH

<NGDF=NGDH,

DG=DG

.,.△DGF^ADGH(SAS),

.•.FG=HG,

,/HG=HE-GE=BF-EG,

，FG=BF=-EG.

4.如图，点A的坐标为(16,0),点B的坐标为(o,12),将AAOB沿直线CO对折，使点A与点8重合，

直线CO与x轴交于点C与4B交于点D.

(1)求出AB的长度；

12)求AAOC的面积；

(3)在平面上是否存在点P,使得△P4B是等腰直角三角形？假设存在，请求出点尸的坐标，假设不存

在，请说明理由.

【解析】解：(1)•••点A的坐标为(16,0),点3的坐标为(0,12),

.*.0A=16,0B=12,

在RtAAOB中，AB^yJO^+OB2

=20,

AAB=20；

(2)如图，连接B如

•••折叠，

.".AC=BC,ZADC=ZBDC=90°,AD=BD=10,

设AC=BC=x,那么0C=16—x,

在Rt△BOC中，OC2+OB2=BC1，

：.(16-X)2+122=X2,

25

解得x二二，

2

.•.在RtAACD中，CD=yjAC2-AD2

•fADcfo.CO

75

=--,

2

75

，△ADC的面积为—；

2

⑶如图1,当点P在第一象限,PB=AB_aZPBA=90°时,

过点P作PELOB交y轴于点E,

那么NPEB=NA0B=90°,

AZPBE+ZBPE=90°,

VZPBA=90°,

.\ZPBE+ZAB0=90°,

・・・NBPE=NAB0,

\'ZPEB=ZAOB,ZBPE=ZAB0,PB=AB,

/.APEB^ABOA,

/.PE=OB=12,BE=0A=16,

.\0E=BE+0B=28,

，点P的坐标为(12,28),

如图2,当点P在第三象限，PB=AB且NPBA=90°时，

过点P作PF1OB交y轴于点F,

那么NPFB=NA0B=90°,

・・・NPBF+NBPF=90°，

VZPBA=90°,

・・・NPBF+NAB0=90°,

：.ZBPF=ZABO,

VZPFB=ZAOB,ZBPF=ZABO,PB=AB,

AAPFB^ABOA,

.・・PF=OB=12,BF=OA=16,

/.0F=BF-0B=4,

・••点P的坐标为(-12,—4),

如图3,当点P在第一象限，PA=AB且NPAB=90°时,

过点P作PGLOA交x轴于点G,

那么NPGA=NA0B=90°,

AZPAG+ZAPG=90°,

VZPAB=90°,

.\ZPAG+ZBAO=90°,

・・・ZAPG=ZBAO,

VZPGA=ZAOB,ZAPG=ZBAO,PA=AB,

AAPAG^AABO,

APG=OA=16,AG=OB=12,

・・・OG=OA+AG=28,

工点P的坐标为(28,16),

如图4,当点P在第四象限，PA=AB且NPAB=90°时,

过点P作PH10A交x轴于点H,

那么NPHA=NA0B=90°,

.'.ZPAH+ZAPG=90°,

VZPAB=90°,

AZPAH+ZBA0=90°,

JZAPH=ZBA0,

VZPHA=ZAOB,ZAPH=ZBA0,PA=AB,

AAPAH^AABO,

APH=0A=16,AH=OB=12,

・・・0H=0A-AH=4,

・••点P的坐标为（4,-16）,

如图5,当点P在第四象限，PA=PB且NAPB=900时，

过点P作PMLOB交y轴于点M,过点A作ANJ_PM,交MP的延长线于点N,

那么NPNA=NPMB=90°,

/.ZPAN+ZAPN=90°,

VZAPB=90°,

/.ZAPN+ZBPM=90°,

AZPAN=ZBPM,

VZPNA=ZPMB,ZPAN=ZBPM,PA=PB,

/.APAN^ABPM,

・・・PM=AN,BM=PN,

设PM=AN=a,

那么PN=BM=12+a,

VMN=0A=16,

.•・a+12+a=16

解得a=2,

，PM=2,0M=AN=2,

・・・点P的坐标为(2,-2),

如图6,当点P在第一象限，PA=PB且NAPB=90°时，

过点P作PIJ_OB交y轴于点I,过点A作AJ_LPL交IP的延长线于点J,

那么NPJA=NPIB=90°,

.\ZPAJ+ZAPJ=90°,

VZAPB=90°,

AZAPJ+ZBPI=90°,

.\ZPAJ=ZBPI,

VZPJA=ZPIB,ZPAJ=ZBPI,PA=PB,

AAPAJ^ABPI,

・・・PI=AJ,BI=PJ,

设PI=AJ=b,

那么PJ=BI=b-12,

VIJ=0A=16,

Ab+b-12=16,

解得b=14,

API=14,0I=AJ=14,

.,.点P的坐标为(14,14),

综上所述，点P的坐标为(12,28),(—12,—4),(28,16),(4,-16),(2,一2),(14,14).

5.n>2,且〃自然数，对I进行如下“分裂"，可分裂成〃个连续奇数的和，如图：

即如下规律：

42=1+3+5+7.....;

(1)按上述分裂要求，52=，1()2可分裂的最大奇数为

(2)按上述分裂要求，/可分裂成连续奇数和的形式是：〃2=；

(3)用上面的规律求：("+1)2—"

【解析】解：(1)通过观察算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有

多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数，

...52=14-3+5+7+9.

又IO?=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

所以1()2可分裂的最大奇数为19；

故答案为52=1+3+5+7+9,19；

(2)由(1)可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1,

可分裂的最大奇数为2n-l,

.•.〃2=1+吩5出+(n-),

故答案为〃2=1+32F54P+(n-)；

(3)由(2)得:

=1+3+5+?-+(2〃-1)+(2〃+1),

rv=1•+吩5短+(n-),

+-〃2=口+3+5+?+(丑-3+(1〃+2]_[+4$§■(?«-=2n+l.

6.如图，△ABC和4CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F.

(1)求证：AACE^ABCD；

(2)探究/CFD的度数；

(3)探究EF、DF、CF之间的关系.

【解析】解：(1)■△ABC和ACDE都为等边三角形,

AZACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,

在4ACE和aBCD中

AC=BC

<ZACE=ZBCD,

CE=CD

.,.△ACE^ABCD；

⑵延长AF到Q,使FQ=DF,连接D延

AACE^ABCD,

ZCAE=ZCBD,

又：ZAEC=ZBEF,

AZAFB=ZACB=60°.

ZDFQ=60°,

...△DFQ是等边三角形,

AZFDQ=ZFQD=60°,DF=DQ,

；.NCDF=NEDQ,

在ACDF和中

CD=DE

<ZCDF=ZEDQ,

DF=DQ

ACDF^AEDQ,

.,.ZCFD=ZDQF=60°；

(3)VACDF^AEDQ,

；.CF=EQ,

；EQ=DF+FQ=EF+DF,

.,.CF=EF+DF.

7.门)问题发现：如图(1),在△山8和△况》中，OA=OB,OC=OD,ZA0B=NC0D=36°,连接4GBD

AT

交于点M.①——的值为；②N4监的度数为：

BD

(2)类比探究：如图(2),在△的6和4Ol力中，N4仍=/C(M=90°,/28=/%。=30°,连接/G

A(-

交加的延长线于点M.请计算上的值及监的度数.

BD

(3)拓展延伸:在(2)的条件下，将△。而绕点。在平面内旋转，AC,加所在直线交于点M假设加1,

OB二岳,请直接写出当点，与点"重合时〃■的长.

【解析】解：(1)①：NAOB=NCOD=36°,

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

・・・ZCOA=ZDOB,

又,.・OA=OB,OC=OD,

AACOA^ADOB(SAS),

JAOBD,

,AC

••-----

BD

故答案为：1；

②设AO与BD交于点E,

由①知，△COAgaDOB,AZCAO=ZDBO,

VZA0B+ZDB0=ZDE0,

ZAMB+ZCAO=ZDEO,

/.ZAOB=ZAMB=36°，

12)在△OAB和△OCD中,

VZA0B=ZC0D=90°,Z0AB=Z0CD=30°,

_ODOBA/3

Atan30°

~OC~~OA~~i

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

即NDOB=/COA,

.'.△DOB^ACOA,

••・生=£3

BDOD

ZDB0=ZCA0,

VZDB0+Z0EB=90°,ZOEB-ZMEA,

AZCA0+ZMEA=90°，

；.NAMB=90°,

'4①如图3-1,当点M在直线OB左侧时,

在RSOCD中,Z0CD=30°,OD=1,

；.CD=2,

在Rt/XOAB中，ZOAB=3O°，OB=V13.

.,.AB=2V13-

由(2)知，/AMB=90°，且----5/3>

BD

：.设BD=x,那么AC=AM=也x,

在RtAAMB中,

AM2+MB2=AB2,

(0x〕2+(x+2)2=(2713)

解得,Xi=3,Xa=-4(舍去〕,

；.AC=AM=30

②如图3-2,当点M在直线0B右侧时,

在RtAAMB中,

AM2+MB=AB2,

，(&x)2+(X-2)2=(2713)2，

解得，Xi=4,Xz=-3（舍去〕,

D

a

.•.AC=AM=4G，/^M(C)

AgB

图3-2

综上所述，AC的长为3石或.

8.综合与实践

(1)观察理解：如图1,AABC中，NACB=90°,AC=BC,直线/过点C,点A，B在直线/同侧,

BD±l,AE_L/,垂足分别为。，E,由此可得：NAEC=NCD3=90°,所以NC4E+NACE=90°,

又因为NACB=90°,所以N5CD+NACE=90。，所以NC4E=/B8,又因为4C=BC,所以

MEC三NCDB()；卜请填写全等判定的方法)

(2)理解应用：如图2,AE±AB＜且AE=AB,BCLCD,且BC=CD,利用(1)中的结论，请按

照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=_____；

(3)类比探究：如图3,RfA48c中，ZACB=90°,AC=4,将斜边A3绕点A逆时针旋转90°至A2，

连接8C,求AAB'C的面积.

(4)拓展提升：如图4,点8,C在NM4N的边AM、AN上，点、E,F在/肠W内部的射线AO上，

Nl、N2分别是AABE、AC4F的外角.AB^AC，Z1=Z2=ZBAC.求证：CF+EF=BE；

【解析】(1)在A4EC和ACDB中，

：.MEC=ACDB(AAS),

故答案为：A4S；

(2)QAE^AB,NEAB=90。,BC=CD,ZBCD=9Q°,

由(1)得：A£E4=AAGB,^BGC=\CHD,

AG=EF=6,AF=BG=3,CG=DH=4,CH=BG=3,

——

S=S梯形EFHO—2sAzJEF—2sAe—~(4+6)xl62x—x6x32x—x4x3—80—18—12=50.

(3)如图3,过8'作B'ELAC于E,

由旋转得：AB=Aff,

NBAB'=90°,AAEB'=\BCA,

AC—B，E=4.SMB.C=^AC-B'E=；x4x4=8；

14)•.•N1=N2=N1R4C,Nl=NBAE+ZABE，ZBAC=ABAE+ZG4F,Z2=ZFG4+ZC4F,

ZABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

在AABE和△C4F中，

.•.AABEMAC4F(ASA)；

;.BE=AF，CF=AE

9.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),0M与丁轴相切于点C,与8轴相交于A、B两

点.

(1)点A、B、。的坐标分别是A(,),B[,),C(,).

[2)设经过A、8两点的抛物线的关系式为y=：(x—5)?+%,它的顶点为E，抛物线的对称轴与X轴

相交于点。，求证：直线£4与OM相切.

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点尸(点尸在x轴的上方)，使AP8C是等腰三角形.如果存在，请求

出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【解析】⑴4(2,0),8(8,0),C(0,4).

提示：连结MC,那么MC垂直于V轴.：点M的坐标是(5,4),M4=MC=5,ME>=4.在

用MW中，AD=JAM2_MD?=3,同理在RrABM。中，BO=3,二4（2,0）,B（8,0）,C（0,4）.

1Qiq(9、

(2)把A(2,0)代入y=；(x—5p+Z,解得％=-彳，y=\(x—5)2—尸［5,—如图2,

连结M4,那么Mb=4+2=至，AF=y/AD2+FD2=—.

444

'：MA=5,：.F^+MA2=-=MF2,NM4F=90°,

16

即M4，AF，，E4与。M相切.

⑶•.•8(8,0),C(0,4),：.OC=4,08=8.在放AQBC中，8c?=。厂+=80.设尸(5,y),

y>0,如图3.

①当CP=CB时，在RfACM《中，Cq2=25+(y—4)2,...25+(y—4)2=80,y=4士底，：y>0,

”=4+屈，二£(5,4+后)；

②当3P=3c时，在RfAB。8中，3石=9+丁2,••.9+y2=8o,》=±历，：y>0,)=历，

巴(5,历)；

③当P3=PC时，P和Af重合，A(5,4).

综上当P(5,4+J方)、(5,历)或(5,4)时，APBC是等腰三角形.

10.如图，四边形4腼，BE、加•分别平分四边形的外角/场7和/.A约，假设N员切=a,ABCD=3

(1)如图1,假设a+B=150°,求乙监d/MT的度数；

(2)如图1,假设班■与分相交于点G,/5修=45°,请写出a、B所满足的等量关系式；

(3)如图2,假设a=6,判断外4•、的位置关系，并说明理由.

【解析】解：(1)在四边形4:沧9中，NBAANABONBCANADC=36Q°,

/力船■N4X-360°-(a+B),

VAMBC+ZABC=180°,ANDC+AADC=180°

:"MBC+/NDC=M°-Z^£>180°-ZJ^=360°-(ZAB&ZADC)=360°-[360°-(a+B)]=

a+B,

Va+0=150°,

:.NMBC+NNDC=\5Q°,

⑵P-a=90°

理由：如图1,连接协，

由(1)有，AMBaZNDC=a+B,

BE、加分别平分四边形的外角乙侬?和NNDC,

11

ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-/NDC,

22

I11,I

4CBm/CDG=-NMBC+-ANDC=-(AMBC+/LNDC}s=-(a+B),

2222

在△&®中，在△/?⑦中，4BDC+NDBC=\80°-ZBCD=180Q-B,

在△初61中，5=45。，

：.4GB步乙GDB^ZBGD=\80°,

:"CBG+/CB//CDG+NBDC+/BGQ\8G,

UCBMNCDG)+[ABDC+ACDB]+Z5G9=180°,

-(a+p)+1800-0+45°=180°,

2

P-a=90°,

(3)平行,

理由：如图2,延长和交加1于〃，

由(1)有，/助盼/AZT=a+B,

•••BE、以分别平分四边形的外角NMBC和NNDC,

11

，ZCBE=-ZMBC,ZCDH=-ZNDC,

22

ZCBE+ZCDH=-/LMBC+-2NDC=-(AMBC+ANDC}[a+B),

2222

'：£BCD=£CDIhADHB,

：.ACDH=ABCD-ADHB=P-ADIIB,

:"CBE+3-NDHB=L(a+B),

2

：a=B,

：.NCBE+5-ADHB=-(B+B)=B,

2

：.ACBE=ADI1B,

：.BE//DF.

11.在平面直角坐标系X。)，中，对于平面中的点P,。和图形M，假设图形〃上存在一点C,使

NPQC=90。，那么称点。为点P关于图形M的“折转点"，称△PC。为点尸关于图形”的“折转三角

形”

⑴点A(4,0),3(2,0)

①在点2(2,2),Q(l，—6)，2(4,-1)中，点。关于点A的“折转点”是；

②点。在直线)'=一％上，假设点。是点。关于线段AB的“折转点”，求点。的横坐标通的取值范围；

12)67的圆心为«,0),半径为3,直线y=x+2与x,y轴分别交于七，E两点，点P为eT上一点，

假设线段所上存在点P关于eT的“折转点”，且对应的“折转三角形"是底边长为2的等腰三角形，直

接写出f的取值范围.

【解析】(1)①根据"折转点”的定义，要使得NOQA=90。的Q才是点0关于点A的“折转点”，

如图，根据各个点的坐标,

0Q=2五,AQ=2叵,0A=4,那么。。:+AQ：=OA?,

N。。A=90°,Q1是点0关于点A的“折转点”，

。。2=2,A0=2石，0A=4,那么OQ??+A。?？=,

NOQ2A=90°,2点0关于点A的“折转点”，

•.•/。4。3=90°,.•.2不是，

故答案是：。1，02：

②如图，点。为点。关于线段A8的折转点，那么在线段A8上存在点C，使得NODC=90。，即。在

以OC为直径的圆上(不含。，C点)，因此，当点C在A8上运动时，所有可能的。点组成的图形为：

以(1,0)为圆心，半径为1的圆，和以(2,0)为圆心，半径为2的圆及其之间的局部，(不含x轴上的点).直

线〉=一%与内圆交于E，与外圆交于尸，线段EF即为直线上。点可能的位置，

过点E作轴于"，连接3E,那么NOEB=90°,因为直线丁=一次,NAQE=45°,因此AQEB

为等腰直角三角形，OE=BE,由三线合一，知OH=HB,〃为(1,0),即E点横坐标为1,

同理可得，尸点横坐标为2,

...点D的横坐标取值范围是14W2；

(2)根据题意，记线段EF上的点是Q,当eT上存在一点C,使NPQC=90°的时候，那么线段EF上存在

点P关于eT的“折转点”，

•..“折转三角形"是等腰直角三角形，

；.Q点一定在线段PC的垂直平分线上，

•..点P、C都是圆上的点，线段PC是eT的弦,

圆心T也在线段PC的垂直平分线上，

AT和Q是共线的，且它们之间的距离是固定的，

•••等腰直角三角形的底是2,

•••Q到线段PC的距离是1,

VeT的半径是3,弦长PC是2,

,根据垂径定理可以算出圆心T到线段PC的距离是2夜，

QT=l+2应,

根据直线y=x+2求出£（—2,0）、F（0,2）,

如图，当点Q在点F的位置上的时候，

①制=2,。（=1+20,根据勾股定理求得0工=55+40，那么［=）5+40；

②同上。7；=75+472，那么f=-75+472；

当点Q在点E的位置上的时候，

③电=1+20,那么r=l+2应-2=20-1；

④以=1+20,那么/=-