基本面量化系列：中国VIX指数估计方法及择时策略

目录一）言 3、VIX数绍 3、文路 3二）国VIX指编法 4、VIX数式导 4、VIX数制法 7、交加权VIX指编制法 8、义VIX数制法 9三）VIX数质析 10、VIX数广义VIX10、制案验 11、VIX数整性 13、VIX数与ETF率的关性 15四）VIX数期隐动率 16、含动计算 16、VIX数隐波率的关和异分析 19五）于VIX指的ETF择时略 20、证50ETF略测 21、深300ETF策测 22六）结 25七）型险析 25图表目录图表1：文要究路 450VIXiVIX左）&50VIXiVIX对比（） 图表3：上证50义VIX指数中波对图左）&上证50广义VIX指数上证50VIX估计之差右） 12图表4：深300VIX估（左）&深300交加权VIX数右） 12图表5：深300义VIX（左）&深300义VIX与VIX计差） 12图表6：证500VIX估（左）&证500交加权VIX数右） 13图表7：证500义VIX（左）&证500义VIX与VIX计差） 13图表8：VIX指与义VIX数协检结果 14图表9：证50三种VIX数上证50ETF（上）沪深300ETF（中证500ETF（下未收益率的关检结果 15图表证50种VIX数证上沪深中中证500ETF（下未收益率的整检结果 1650ETF左中右）.................................................................................................................................................................1750ETFKS左中右）.................................................................................................................................................................181350ETF左）&300ETF（中）&500ETF（右）.................................................................................................................................................................14：VIX指数与隐含波动率研究思路................................................................................................1915：VIXIV对比–50(左)300(中)500(右201650VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右）.................................................................................................................................................................21图表17：上证50ETF业绩统计标 2118：thres150VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右） 2119：thres250VIX50ETF（左）&50VIX50ETF（右） 2250VIX50VIX50ETF（右） 22300VIX左300VIX右）.................................................................................................................................................................232250VIX300ETF（左）&50VIX300ETF（右）.................................................................................................................................................................23图表23：沪深300ETF择时业统指标 2450VIX50VIX300ETF（右） 2450VIX50VIX300ETF（右） 2450VIX左50VIX300ETF（右） 25一）前言CBOE30VIXVIX这一指标凸显了期权市场的出现如何颠覆了传统的投资认知，使投资者不再仅仅限于对市场涨跌进行判断，而能够通过期权合约的买入或卖出来实现潜在VIX的研究，这一研究可用于辨识市场风险，或者指导期权合约或现货资产的投资决策。、VIX指数介绍（CBOE）（VIX）301993100指数等价期权价格的隐含波对波动率的估算方法2003VIX（标500指数DemeterfiDermanKamal年Britten-Jones年）JiangCBOE50ETF50ETFiVIX指数。VIX指数是对未来风险的预期，通常也被称为恐慌指数。、本文思路VIXVIXVIXVIXVIXVIX50ETFVIXVIX指数的编制方案；VIXVIXVIX指数；VIX指数的相关性质,VIX指数和期权隐含波动率的差异性和相关性；VIX50ETF300ETF择时策略。策略深度报告图表1：本文主要研究思路资料来源：wind、二）中国VIX指数编制方法、VIX指数公式推导本文推导了期权价格与对数收益率的分布矩组合之间的一般关系。我们先用大写的RT表示简单的持有期收益率，用小写的𝑟𝑇表示连续复合收益率（或对数收益率）。它们的写法是：TR=ST−S0TS0

(1)𝑆=[𝑙𝑛(𝑆𝑇)−𝑙𝑛(𝑆0)]=𝑙𝑛(𝑆𝑇) (2)𝑆0其中，S0和ST分别为0和T时刻的资产价格。考虑以ln(ST)的余数为中心对S0进行泰勒展开，我们可以得到：ST−S0

∞

+ S0−1 +ln(ST)=ln(S0)+

+∫ 2(ST−K)S0KsS0K

dK+∫0

K2(K−ST)dK

(3)等价地，带入方程（1）和（2），方程（3）可以重写为：11∞ 11+ +𝑅𝑇−𝑟𝑇=[∫𝑆0

𝐾2(𝑆𝑇−𝐾)

𝑑𝐾+∫0

𝐾2(𝐾−𝑆𝑇)

𝑑𝐾]≥0 (4)即，一份合约多头头寸的回报是持有期回报（𝑅𝑇）的多头头寸和支付T时总回报对数（𝑟𝑇）的空头头寸的策略深度报告KKT非负的期权报酬确保了𝑅𝑇≥。考虑到在无套利条件下，可以从欧式期权的看跌-看涨平价中提取出资产的当前公允价格，即：S0=CT(KA)−PT(KA)+KAe−rT其中，CT(KA)和PT(KA)TE(ST)=erT[CT(KA)−PT(KA)]+KA=S0erTE(R

)=E(ST)−S0=erT−1T S0这就意味着，(4)中预期收益差的公允价值也可以从风险中性的复制期权组合的远期价值中得出：𝐸(𝑅𝑇)−𝐸(𝑟𝑇)=𝑒

∞rT{∫

1𝐶(𝐾)𝑑𝐾+∫2𝐾2

1𝑃(𝐾)𝑑𝐾} (5)2𝐾20为了将方程(5)与矩组合表达式连接起来，我们对𝑅𝑇的指数函数应用泰勒级数,如下所示:(1+𝑅

)=

𝑆𝑇

𝑁1 𝑆𝑇𝑘

𝑆𝑟

𝑁 (6)𝑇 0=𝑒[𝑙𝑛(0]=1+∑𝑘![𝑙𝑛(0]𝑘=1

+𝑜[𝑙𝑛(𝑆0)]然后，对等式(6)两边的期望值进行一些重新排列，𝑟𝑇和𝑟𝑇之间的收益差的期望值等于以下两个矩的线性组合：1 2 1 3 1 4

(7)𝐸(𝑅𝑇)−𝐸(𝑟𝑇)=2𝐸(𝑟𝑇)+6𝐸(𝑟𝑇)+24𝐸(𝑟𝑇)+𝑜[𝐸(𝑟𝑇)]（5）（7）结合起来时，OTM1可以证明这一点：定理1：假设𝐶𝑇(K𝐴)和𝑃𝑇(K𝐴)分别是行使价为K且到期日为T的欧式看涨期权和看跌期权。在不对标的运动过程施加任何结构的情况下，可以从OTM期权组合的市场价格中提取对数收益的事前时刻组合的公允价值，其权重与该期权组合中执行价格的平方成反比：1 2 1 3 1 4

∞4 rT 1

𝑆012𝐸(𝑟𝑇)+6𝐸(𝑟𝑇)+24𝐸(𝑟𝑇)+𝑜[𝐸(𝑟𝑇)]=𝑒

{∫𝑆0

𝐾2𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫0

𝐾2𝑃𝑇(𝐾)𝑑𝐾} (8)1看跌/看涨期权组合策略深度报告的市场价格提取了事前矩（如方差、偏度、峰度等）线性组合的公允价值。其次，我们注意到VIX指数是基于未来方差的公允价值概念得出的，并使用标的资产的远期价格而不是当前价格作为参考点来确定看涨和看跌期权的未来OTM期权报酬。此外，由于在实践中几乎可以肯定没有任何期权合约的执行价格与远期价格完全相等，因此可以选择低于远期价格的第一个执行价格作为参考价格。在推论1中，我们将考虑远期价格来调整期权组合的公允价值。推论1：假设S0是根据ATMPutCall平价确定的相关资产的当前公允价格，则T时间的远期价格F0等于S0erT，其中r是年化无风险利率。此外，假设K0是低于远期价格的第一个执行价格（K0≤F0）。定理1中期权组合的远期价值具有如下等式：𝑒𝑟𝑇

∞1[∫𝐾2𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫

1𝑃(𝐾)𝑑𝐾]2𝐾2𝑆0

0𝑟𝑇

𝐹0

𝐾0

∞1𝑟𝑇1

𝐾01

(9)=[(𝑒

−1)−(𝐾0−1)−𝑙𝑛(𝑆0)]+𝑒

[∫

𝐾2𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫

𝐾2𝑃𝑇(𝐾)𝑑𝐾]0推论1的证明非常简单。利用关于点𝐾0的ln(𝑆𝑇)余数的泰勒展开，我们得到:0𝑆𝑇−𝐾0

∞

+ −1 +𝑙𝑛(𝑆𝑇)=𝑙𝑛(𝐾0)+

+∫𝐾

𝐾2(𝑆𝑇−𝐾)

𝑑𝐾+∫0

𝐾2(𝐾−𝑆𝑇)

𝑑𝐾

(10)将（3）代入（10），利用风险中性期望值，E(RT)=erT−1，就得到了方程（9）。总之，通过对持有期收益率和对数收益率之间关系的数学应用，我们说明了在没有任何扩散假设和模型指定的情况下，与行使价平方值成反比加权的OTM期权组合可以提取事前收益矩线性组合的公允价值。由于波动率指数是根据与(9)相同的期权组合的价格计算出来的，VIX的表述实际上是一个矩组合，而不是一般的波动率度量。和伊藤定理（IL）：𝑑𝑆𝑡=𝜇𝑑𝑡+𝜎𝑑𝑍

(11)𝑡12

(12)𝑑[𝑙𝑛(𝑆𝑡)]=(𝜇−2𝜎)𝑑𝑡+𝜎𝑑𝑍𝑡其中，Zt是维纳过程或布朗运动，μ是固定漂移，σ是恒定波动率。GBM和IL假设资产收益是连续对T其方差可以表示为rT=∫Td[ln(St和∫Tσ2dt，根据方程(11)和(12)可以直接计算出瞬时波动率（方差）如0 0下：1 𝑇2

2 𝑇𝑑𝑆𝑡00𝑣=𝑇∫𝜎00

𝑑𝑡=𝑇[∫

𝑆𝑡

−𝑟𝑇] (13)策略深度报告（13）(1)价值一元的相关资产1TdSt

股的连续再平衡多头rT头寸，(2)支付T时总回报对数的合约空头头寸。在风险中性下，E(∫0

St)=rT,E(RT)=e

−1，由此可以计算出期望波动率：𝐸(𝑣)=𝜎2

2=𝑇

∞𝑟𝑇[∫

1𝐶(𝐾)𝑑𝐾+∫2𝐾2

21𝑃(𝐾)𝑑𝐾]−2𝐾

𝑟𝑇

−1)−𝑟𝑇]} (14)0（14）的第三项用(𝑒𝑟𝑇−1)−𝑟𝑇表示，它捕捉了T期间连续复利收益和单一复利收益之间的差额。将推论1的结果应用于方程(14)，我们就得到了VIX公式：2 2

𝐾0

∞1𝑟𝑇1

𝐾010𝑉𝐼𝑋0

=𝐸(𝑣)=𝑇{𝑟𝑇−(𝐾0−1)−𝑙𝑛(𝑆0)+𝑒

[∫

𝐾2𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫

𝐾2𝑃𝑇(𝐾)𝑑𝐾]} (15)因此，与任何期权定价模型无关，隐含波动率是通过一组价外期权价格、当前资产价格和无风险利率明确计算出来的。此外，应用对数函数的泰勒展开并忽略二阶以上的项，(15)中积分前的项可以重述为：[𝑟𝑇−

𝐾0

𝐹0

𝐹0

12𝐾0−1)−𝑙𝑛(𝑆0)]=[𝑙𝑛(𝐾0)−(𝐾0−1)]≈−2(𝐾0−1)因此，与上证所发布的波动率编制书中所示相同，波动率指数可以在离散框架下计算如下：

(16)^𝑉𝐼𝑋=

2𝑒𝑟𝑇𝑇

1𝑄(𝐾)𝛥𝐾−𝐾2 𝑖 𝐾2 𝑖

1𝑇

−1)2

(17)其中Q(i)是期权买卖差价的中点（如果i>Q，则为看涨期权；如果i<Q，则为看跌期权；如果i=Q，2则为看涨和看跌期权），ΔKi=i+1−Ki−1。远期价格是通过看跌-看涨平价从价内期权计算得出的，因此F0KA+erT[CT(KAPT(KA)]（的两个波动2^VIXVIX（用𝑉𝐼𝑋𝑎表示），如下所示：^ √−𝑁(30) ^2 𝑁(30)−^2 𝑁(365)

(18)𝑉𝐼𝑋𝑎= [[−⋅𝑉𝐼X1)+[𝑁(𝑇2)−⋅𝑉𝐼X2)]](𝑁(30))N(T1)N(T2)（N(30)N(365)30天和一年365天的时间间隔数。、VIX指数编制方法上证50ETF波动率指数展期时间为7天。满足剩余到期天数超过7天的最近到期合约为近月合约，次近到期合约为次近月合约，两者隐含波动率分别为近月与次近月波动率。近月波动率的计算公式如下，次近月算法与之一致:K2 2 RTΔKi 1F 2K=T∑ei

2P(Ki)−i

[TK0

−1]1σ2:近月波动率的平方1NT:近月合约剩余到期时间（以分钟/天计)T：NTN365R:上交所采用的无风险利率S:认购期权价格与认沽期权价格相差最小的执行价F:S+eRT×[认购期权价格(S)一认沽期权价格(S)]K0:小于F且最接近于F的执行价，若无则用最小执行价填充Ki:由小到大的所有执行价(i=1,2,3, )iΔK:第i个执行价所对应的执行价间隔，一般为Ki+1−Ki−1i2P(Ki):若Ki小于K0为Ki对应的认沽期权价格;若Ki大于K0，为Ki对应的认购期权价格;若Ki等于K0，为Ki对应的认沽期权价格与认购期权价格均值完成近月波动率σ2与次近月波动率σ2的计算之后，采用以下公式计算上证50ETF波动率指数:1 2^ √N(T2)−N(30) ^2 N(30)−^2 N(365)VIXa= [[N(T2)−⋅VIX1)+[N(T2)−⋅VIX2)]](N(30))若近月与次近月相隔超过30天，则用近月波动率填充次近月波动率。、成交量加权VIX指数编制方法VIX有着更高的贡献，因此对交易较为频繁的期权赋予更高的权重，可以更好捕捉标的资产的价格波动率，其近月VIX指数一致：σ2=2∗N

∑V∗eRTΔKi

1F−1]22 1 T∗∑ii2

P(K)−[Ki TK0其中，Vi为期权i的成交量，N为带入计算的期权总数。、广义VIX指数编制方法VIX波动率指数是根据（14）所示的无模型波动率期望值推导出来的。推导VIX所需的关键假设是标的资产价格的随机过程是连续的，并且遵循GBM和IL。当股价过程中存在相对较小的跳跃时，这种无模型方法可以很好地近似资产价格对数的风险中性预期四次方变化。但是，如果存在大幅跳跃的明显风险，那么近似2VIX表达式实际上是其基础投资组合对数收益的矩组合。定理2：设VT=E(r2)、WT=E(r3)和XT=E(r4)分别为资产的第二、第三和第四个事前收益率矩。在不对收益的随T T T机过程进行任何建模的情况下，VIX指数等于收益矩的线性组合，即：𝑉𝐼𝑋=1

√[𝑉++𝑋𝑇+

)]−2[(𝑒𝑟𝑇−1)−𝑟𝑇] (19)√𝑇

𝑇 3 12 𝑇𝑙𝑖𝑚[(𝑒𝑟𝑇−1)−𝑟𝑇]=0𝑇→0公式(19)可以直接从定理1、推论1以及公式(14)和(15)中得出。定理2指出了VIX作为波动率指数的无效性，除非收益率分布的高矩数既不存在也不影响收益率的产生过程。因此，VIX与真实波动率的任何近似误差直观上都是由于高收益矩的影响造成的。基于上述发现，本文在下面的定理中提出了对事前收益波动率的直接估计。定理3：假设𝐶𝑇(𝐾)和𝑃𝑇(𝐾)分别是行使价为K、到期日为T的欧式看涨期权和看跌期权。S0是根据ATM看跌期权平价确定的无套利条件下的当前资产价值，S0=CT(KA)−PT(KA)+KAe−rT，远期价格为F0=E(ST)=erT[CT(KA)−PT(KA)]+KA=S0erT，此外，让𝐾0成为低于远期价格y的第一个执行价格。假设存在对数收益分布的有限第一矩和第二矩（分别用𝜇𝑇和𝑉𝑇表示）。在不对收益率的分布形式和/或随机过程做任何说明的情况下，广义波动率指数（GVIX）可以直接用对数收益率标准差的定义表示如下：其中：

𝐺𝑉𝐼𝑋=1√𝑇

−(𝜇𝑇

)2 (20)𝐾0

𝐹0

∞1𝑟𝑇1

𝐾010𝜇𝑇=𝑙𝑛(𝑆0)+(𝐾0−1)−𝑒0

[∫

𝐾2𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫

𝐾2𝑃𝑇(𝐾)𝑑𝐾] (21)𝐾 𝐾 𝐹

∞[1−ln(𝐾)]

𝐾01+ln(𝑆0)]𝑉𝑇=ln2(0)+2ln(0)(0−1)+2𝑒𝑟𝑇[∫

𝐶𝑇(𝐾)𝑑𝐾+∫

𝐾𝑃𝑇(𝐾)𝑑𝐾

(22)𝑆0

𝑆0

𝐾0

𝐾0

𝐾2

0 𝐾2T对数收益率的事前平均值μT=E(rT)，可直接由(5)和(9)计算得出，而第二矩量VT=E(r2)，可根据泰勒展开求得。注意，对于任何连续二次微分函数，带余数的泰勒展开式可表示为：f(ST)=f(a)+f′(a)(ST−a)+T∫∞f′′(K)(ST−K)+dK+∫af′′(K)(K−ST)+dK，其中f(a)和f′′(K)分别是在a和K处求得的与S有关的报酬的一a 0S阶导数和二阶导数。为了得出VT，定义f(ST)=ln2(ST)，并让a=K0，那么：S0∞[1−ln(𝐾)]

𝐾 𝑆02𝑆T

2𝐾0

𝐾0

𝑆𝑇−𝐾0

+

0[1+ln(𝐾)] +

(23)ln(𝑆0)=ln(𝑆0)+2ln(𝑆0)(

)+2∫𝐾

𝐾2 (𝑆𝑇−𝐾)

𝑑𝐾+2∫0

𝐾2 (𝐾−𝑆𝑇)

𝑑𝐾𝐾(23)(22)3OTM期权组合中提取事前波动率公允价值的通用机制。实际上，我们的广义波动率指数的计算与VIX的计算一样简单(公(17))GVIX标的资产的无套利远期F0=S0erT和无风险利率（r），使得:𝐾^

𝐹0−1)]−𝑒𝑟𝑇∑1𝑄(𝐾)Δ𝐾𝜇𝑇=[ln(𝑆0)+(𝐾0

i

𝑖 𝑖

(24)^ 2

𝐾0

𝑟𝑇 1 S0𝑉𝑇=[ln(𝑆0)+2ln(𝑆0)(𝐾0−1)]+2𝑒

∑𝐾2[1+)]𝑄(𝐾𝑖)Δ𝐾𝑖

(25)^ 1√^

i 𝑖^2 (26)𝐺𝑉𝐼𝑋=√𝑇

𝑉𝑇−(𝜇𝑇)此外，为了与CBOE的VIX估计一致，我们以30天为基础调整GVIX指数。按照与VIX估计相同的插值程序(见公式(18))，我们首先确定近期和下期的期权合约，分别用𝑇1和𝑇2表示。然后，分别根据𝑇1和GVIX30GVIX^ √𝑁(𝑇2)−𝑁(30)

̃2 𝑁30)−𝑁1

̃2 𝑁365)

(27)𝐺𝑉𝐼𝑋𝑎=

[[𝑁(𝑇2)−𝑁(𝑇1)](𝑇1⋅𝐺𝑉IX1)+[𝑁(𝑇2)−𝑁(𝑇1)](𝑇2⋅𝐺𝑉IX2)]](𝑁(30))三）VIX指数性质分析、VIX指数与广义VIX指数VIXVIX(11)(12)所示,基于布朗运动和伊藤引理的假设，2𝑆T 2

12 2E(ln(𝑆0))=𝜎𝑇+[(𝜇−2𝜎)𝑇]

(28)12E(ln(𝑆0))=(𝜇−2𝜎)𝑇 (29)1

1𝑇𝐺𝑉𝐼𝑋2=𝑇{E(ln2(𝑆))−{E(ln(𝑆))}}=𝜎2=𝑇∫𝜎2𝑑𝑡=E(V)=VIX2 (30)0 0 0因此，如果公式(11)(12)所示的分布条件满足，广义VIX指数与VIX指数恒等。、编制方案检验VIX（Pearsoncorrelation（Pearson（Pearsonproduct-momentcorrelation是一种用于衡量两个连续变量之间线性关系强度和方向的统计指标。它通常用来评估两个变量之间的相关性，其值介于-11之间。皮尔逊相关系数公式如下：∑(X−̅X)(Y−̅Y)r= √∑(X−̅X)2(Y−̅Y)21或-10之间的线性相关性越弱。这使得皮尔逊相关系数成为一种常用的统计工具，用于探索变量之间的关系和依赖。KS（Kolmogorov-Smirnov检验是一种用于检验两个数据样本是否来自同一总体分布的非参数统计检验方法,它的原理是通过比较两个累积分布函数之间的最大差距来判断两个样本是否来自相同的总体分布。KS（D）表示两个分布函数之间的最大差距。KS检验不对数据的分布做出特定的假设，因此是一种非参数检验方法，适用于不满足正态分布等特定分布假设的数据。50ETFVIXKSpVIX50ETFVIX指数通过成交量加权赋予交易行为更活泼的期权更高权重，在波动率上涨的趋势中波峰相比中国波指更高，对于交易者的恐慌心理捕捉更为敏感。图表2：上证50VIX估计与中国波指iVIX对比图（左）&上证50成交量加权VIX与中国波指iVIX对比图（右）资料来源：、VIX指数在计算时考虑到了投资者对于市场行情预期的偏度和峰VIXVIXVIX指数的一种修正。值得注意的是，2015VIXVIX指数出现了显著偏离，VIXVIX2015年的股灾导致投资者对于市场的预期过度悲观。图表3：上证50广义VIX指数与中国波指对比图（左）&上证50广义VIX指数与上证50VIX估计之差（右）资料来源：、基于沪深300ETF期权标的的三种VIX指数走势如下。图表4：沪深300VIX估计（左）&沪深300成交量加权VIX指数（右）资料来源：、50ETF300VIXVIX300ETFVIXVIX5：沪深300广义VIX（左）&沪深300广义VIX与VIX估计之差（右）资料来源：、策略深度报告本文接着绘制基于中证500ETF期权标的的三种VIX指数。图表6：中证500VIX估计（左）&中证500成交量加权VIX指数（右）资料来源：、500ETFVIX50ETF300ETF图表7：中证500广义VIX（左）&中证500广义VIX与VIX估计之差（右）资料来源：、500VIXVIXVIX指数，这可以归因于成交VIXVIXVIX指数出现的偏离均为投资者低500ETF期权市场的积极情绪。、VIX指数协整性VIXVIX波动，但它们在长期内具有某种稳定的关系，可以通过线性组合使它们之间的差异保持在一个有限范围内。协整性通常与协整关系、协整向量等相关概念一起使用，用于建立多个时间序列之间的均衡关系。协整性的经济学含义是，即使两个或多个时间序列在短期内可能出现不稳定的波动，它们在长期内会趋于回归到一个均衡状态。这种均衡状态可能反映了经济中的长期关系或者市场中的均衡条件。协整性的存在使得研究人员能够分析和建立多个相关时间序列之间的长期关系，以便更好地理解它们的相互影响和预测未来走势。协整性的检验通常涉及使用统计方法，如协整检验。其中，最常用的是Engle-Granger协整检验和Johansen协整检验。协整性的数学表示可以通过以下协整关系的一般公式来表示：Yt=α+βXt+εt在这个公式中,Yt表示第一个时间序列,Xt表示第二个时间序列,α和β是常数，分别表示截距和协整关系的系数,εt和Xt的线性组合将是平稳的，而不是随时间变化而发散的。这就意味着两个时间序列虽然可能在短期内有波动，但它们在长期内会维持某种均衡状态。协整性的概念在金融、经济学和统计学中都有广泛的应用，特别是在套利交易和风险管理领域。PythonstatsmodelsCointVIX指数与其他指标的协整性。Coint函数的输出包括：协整性检验的统计量：这个统计量用于衡量两个时间序列之间的协整关系的强度。p-值：表示统计量在零假设下的显著性，即两个时间序列之间没有协整关系的概率。若p值小于通常的显著性水平(例如0.05),表明存在协整关系。临界值数组：这个数组包含了在不同显著性水平下的统计量的临界值，通常将统计量的值与这些临界值进行比较，以确定协整性的存在。如果统计量小于这些临界值，那么可以拒绝零假设，表示存在协整关系。图表8：VIX指数与广义VIX指数的协整检验结果资料来源：、VIXVIXVIXVIXVIXETFpVIXVIX(p0.01)。、VIX指数与ETF收益率的相关性VIXETFVIX避险需求：VIX指数通常被称为"恐慌指数"，它测量了市场投资者对未来市场波动性的预期。当市场不稳定，投资者会更加谨慎，寻求避险资产，例如债券和黄金，而减少对股票等风险资产的需求。这会导致股票市场下跌，从而降低ETF的收益率。VIXVIX值则反映市场ETFETF现产生负面影响。VIXETF的表现。反转效应：市场通常呈现出一种反转效应，即在市场底部或悲观情绪达到高点时，股票市场有可能出现反弹。这是因为一旦市场情绪极度悲观，投资者可能会认为市场已经被充分反映，从而寻找投资机会。这可能导致VIX指数下降，同时ETF的收益率上升。图表9：上证50三种VIX指数与上证50ETF（上）沪深300ETF（中）中证500ETF（下）未来收益率的相关性检验结果资料来源：、50ETFVIX50ETF300ETF500ETF135天、10天、15天、20天、25天、30天后的收益率进行相关性分析和协整性分析。图表10：上证50三种VIX指数与上证50ETF（上）沪深300ETF（中）中证500ETF（下）未来收益率的协整性检验结果资料来源：、50ETFVIX50ETF300ETF收益率存在负相关和协整性(p值50ETFVIX500ETF的未来收益率存在协整性但没有明显的相关性。四）VIX指数与期权隐含波动率、隐含波动率计算隐含波动率是金融领域中的一个重要概念，它在期权定价和风险管理中起着关键作用。隐含波动率的经济学意义在于它代表了市场参与者对未来资产价格波动性的预期，而不是历史波动性。它反映了市场对资产价格未来波动性的看法，通常用于期权定价和风险管理中。隐含波动率的高低可以表明市场对未来波动性的不同预期，这对投资者和交易者非常重要。隐含波动率的公式通常基于布莱克-舒尔斯(Black-Scholes-Merton，BSM)期权定价模型，该模型描述了欧式BSM模型的期权定价公式如下(以看涨期权为例)：C=S0N(d1)−Ke−rTN(d2)S0 σ2ln()+(r+ )T= K 2 σ√Td2=d1−σ√T策略深度报告其中，C表示欧式看涨期权的价格,S0是标的资产的当前价格，K是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权的剩余时间，N表示标准正态分布的累积分布函数。隐含波动率是上述公式中的一个参数，因为在正态分布的累积分布函数中，通常通过逆推的数值模拟方式从市场观察到的期权价格中计算得出。这就引入了数值模拟方法，其中牛顿法是常用的一种。本文使用牛顿法对期权的隐含波动率进行数值模拟。当使用牛顿法计算隐含波动率时，需要迭代地更新隐含波动率的估计值，以使计算得到的期权价格逼近市场观察到的期权价格。牛顿法的公式和步骤如下:选择一个初始的隐含波动率估计值σ0(通常可以使用历史波动率或其他合理的估计,本文初始值设为0.2)使用所选的估计值σ0C(σ0)C进行比较计算期权价格误差：f(σ0)=C(σ0C计算隐含波动率估计值的导数，通常用于计算更新步骤：f′(σ0)使用牛顿法迭代公式来更新隐含波动率的估计值：σ1=σ0

−f(σ0)f′(σ0)重复步骤2至步骤5，将新的隐含波动率估计值σ1代入计算期权价格，直到收敛到一个满足预定精度要求的隐含波动率估计值。本文迭代次数设为100,误差容忍阈值设置为1e-6。牛顿法的核心思想是通过不断更新隐含波动率的估计值，使得期权价格误差逼近零，从而找到符合市场观察到的期权价格的隐含波动率。需要注意的是，牛顿法可能会收敛到不止一个根，因此在实际应用中，需要谨慎选择初始估计值以确保收敛到正确的根。此外，牛顿法要求计算隐含波动率的一阶导数（即价格对波动率的差分法来估计。图表11：上证50ETF期权每日平均隐含波动率走势图（左）&沪深300ETF（中）&中证500ETF（右）资料来源：wind、50ETF201529VIX指数对应，沪深策略深度报告300ETF500ETF2023928IV(隐含波动率)IV走势。波动率微笑指同一标的及到期月的期权隐含波动率与行权价格之间的关系。所谓波动率微笑是指虚值期权和实值期权的波动率高于平值期权的波动率，使得波动率曲线呈现出中间低两边高的向上的半月形，形似一个微笑的嘴形，故称为波动率微笑。0.7到1.50.70.70.70.740.74这一组，以此类推。计算IVKS比值的走势图。图表12：上证50ETF期权KS比值分组波动率微笑（左）&沪深300ETF（中）&中证500ETF（右）资料来源：wind、50ETF300ETF500ETF期权上都出现了”波动率微笑”500KS1.3图表13：上证50ETF全体期权多项式拟合曲线（左）&沪深300ETF（中）&中证500ETF（右）资料来源：wind、策略深度报告50ETF300ETF500ETF”波动率微笑”50ETF300500ETF、VIX指数和隐含波动率的相关性和差异性分析图表14：VIX指数与隐含波动率研究思路资料来源：、50ETF300ETF500ETFVIX14所示。同为衡量波动率的指标，VIX指数和期权隐含波动率之间存在差异性和相关性。差异性主要体现在以下四个方面：30500指数的预期波动性。VIX的计算方法基于期权市场上的买卖行为，反映了市场对未来波动性的期望。而隐含波动（Black-Scholes模型）中的期权价格反推出的波动率水平。它是一个具体期权合约的波动率估计，表示市场对该特定标的资产未来波动性的期望。计算方法差异：VIX指数的计算涉及多个期权合约，包括不同的到期日和执行价格，以反映整个市场的波动性预期，而隐含波动率是通过解决期权定价模型中的方程，使用特定期权合约的市场价格来计算的，通常与特定的到期日和执行价格有关。30盖不同的时间跨度，具体取决于选择的期权合约，它可以代表近期波动性或远期波动性。市场参与度差异：VIXETF波动率通常与特定期权合约相关，因此它主要反映了与该期权相关的资产的波动性预期。同为衡量资产波动率和市场情绪的指标，VIX指数和期权隐含波动率也有相关性，具体体现在以下三个方面：市场情绪反映：VIX指数是一个衡量市场情绪的指标，通常与市场恐慌程度相关。当投资者对未来的市场波动性感到担忧时，VIX上升，反映了市场的悲观情绪。这种情绪通常与隐含波动率上升相关，因为期权价格也受到投资者情绪的影响。相互反馈效应：VIXVIX升高，因为市场情绪变得更加悲观。ETFVIX和隐含波动率之间的相关性增加。综合而言，VIX指数和期权隐含波动率都提供了有关市场波动性和情绪的信息，但它们有不同的定义和应用。投资者通常同时考虑这两个指标，以更全面地了解市场状况。VIXETFVIXIV走势对比图并计算相关性系数。50300VIXIV500VIXIV走势有一些偏离，500ETF50VIXIV的相关性系数为0.933300VIX指数与IV的相关性系数为0.873500VIX指数与IV的相关性系数为0.78。图表15：VIX指数与IV对比–上证50(左)沪深300(中)中证500(右)资料来源：wind、五）基于VIX指数的ETF择时策略根据上面的分析，可以发现当VIX快速下降时，市场乐观情绪得以建立，ETF有较大概率迎来一波上涨走势，当VIX快速拉升时，ETF的价格容易出现剧烈波动，市场情绪非常恐慌，此时是良好的出场时机。据此，本文设计了基于VIX指数的ETF择时策略。50ETF策略回测我们在上证50ETF上对上证50VIX择时与上证50广义VIX择时策略进行回测，净值曲线如下：图表16：净值曲线-上证50VIX择时上证50ETF（左）&上证50广义VIX择时上证50ETF（右）资料来源：、VIXVIX20212023年的单边下跌阶段保持空仓。本文接着对策略业绩指标进行计算。图表17：上证50ETF业绩统计指标资料来源：wind、VIXVIX9.49%的夏普比率，策略风险性较小。图表18：thres1敏感性分析-上证50VIX择时上证50ETF（左）&上证50广义VIX择时上证50ETF（右）资料来源：、对thres1,thres2这2个参数进行敏感性测试和分析。thres1阈值设定为0.08到0.115，步长为0.05，thres2阈值设定为0.735到0.77，步长为0.005。图表19：thres2敏感性分析-上证50VIX择时上证50ETF（左）&上证50广义VIX择时上证50ETF（右）资料来源：、tres10.050.1tres2，0.0050.75附近策略表现也没有出现明显波动，可以认为参数设置没有过拟合问题。接下0tick5tick。图表20：滑点分析，上证50VIX指数择时上证50ETF（左）&上证50广义VIX指数择时上证50ETF（右）资料来源：wind、根据滑点分析结果，0-5tick的滑点对两个策略的收益有小幅影响，综合实际交易情况，本文设置交易磨损为双边2tick滑点。综合各方面测试结果，最优策略设置thres1=0.1，thres2=0.75，回测在2tick滑点下进行。300ETF策略回测本文接着在沪深