C语言-用六种方法求定积分

描述问题利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式，④梯形公式，⑤simpson公式，⑥Gauss积分公式求解定积分。分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。如下列图：〔图1〕设一元函数,在区间内有定义。将区间分成个小区间。设，取区间中曲线上任意一点记做，作和式：假设记λ为这些小区间中的最长者。当时，假设此和式的极限存在，那么称这个和式是函数在区间上的定积分。记作：其中称为积分下限，为积分上限，为被积函数，为被积式，∫为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。21.2定积分的几何意义[1]它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a，x=b之间的各个局部面积的代数和。在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号。如图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为，即，称之为“步长〞。根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。将积分区间等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，越大，所得结果越精确。以上就是利用复合梯形公式实现定积分的计算的算法思想。复合梯形公式：[2]具体算法如下：算法一1：输入积分区间的端点值和；2：输入区间的等分个数〔要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度〕；3：计算步长；4：对累加和赋初值；5：计算累加和6：算出积分值；7：输出积分近似值，完毕。1.2.2利用Smpson公式实现定积分的计算假设被积函数为，积分区间为，把区间等分成个小区间，各个区间的长度为。在复合梯形公式的根底上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法，它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度。具体算法如下：算法二1：输入积分上限和下限；2：输入区间的等分个数〔要求尽可能大，以保证程序运行结果有较高的精确度〕；3：利用辛甫生公式：[2]，实现对定积分的求解〔其中，均为梯形公式计算所得的结果，由此可见辛甫生公式是以梯形公式为根底的〕；4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。1.2.3利用Guass公式实现定积分计算Guass型求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是-1---+1的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2+(a+b)/2变换到-1到1之间积分。算法三1：输入积分上限和下限；2：利用Guass公式，求定积分4：算出积分值；5：输出积分近似值，完毕。程序的编写3.1程序一〔左矩形公式〕3.1.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;/*步长的计算*/s=f(a)*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+f(a+i*h)*h;}printf("函数f(x)的积分值为s=%10.6f\n",s);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef(doublex){doubley;y=sqrt(4-x*x);return(y);}3.1.2程序一的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.2程序二〔中矩形公式〕3.2.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;/*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数f(x)的积分值为s=%10.6f\n",s);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef(doublex){doubley;y=sqrt(4-x*x);return(y);}3.2.2程序二的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.3程序三〔右矩形公式〕3.3.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;/*步长的计算*/s=f(a+h)*h;for(i=1;i<n-1;i++){s=s+f(a+(i+1*h))*h;}printf("函数f(x)的积分值为s=%10.6f\n",s);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef(doublex){doubley;y=sqrt(4-x*x);return(y);}3.3.2程序三的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.4程序四〔梯形公式〕3.4.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){doublef(doublex);/*f(x)为函数举例，即被积函数*/inti,n;/*n为区间等分的个数，应尽可能大*/doublea,b,h,s;/*a为积分下限，b为积分上限，h为步长*/printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;/*步长的计算*/s=0.5*(f(a)+f(a+h))*h;for(i=1;i<n;i++){s=s+0.5*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))*h;}printf("函数f(x)的积分值为s=%10.6f\n",s);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef(doublex){doubley;y=sqrt(4-x*x);return(y);}3.4.2程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.5程序五〔Simpson公式〕3.5.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>voidmain(){doubleT(doublex,doubley,intz);doublea,b,s;intn;printf("积分下限a:\n");scanf("%lf",&a);printf("积分上限b:\n");scanf("%lf",&b);printf("区间等分个数n:\n");scanf("%d",&n);s=(4*T(a,b,2*n)-T(a,b,n))/3;/*利用辛甫生公式求解定积分*/printf("函数f(x)的积分值为s=%f\n",s);}/*以下为复合梯形公式的定义*/doubleT(doublex,doubley,intz){doubleh,Tn;inti;doublef(doublet);h=(y-x)/z;Tn=(f(x)+f(y))/2;for(i=1;i<z;i++)Tn=Tn+f(x+i*h);Tn=Tn*h;return(Tn);}/*以下为被积函数的定义，即函数举例*/doublef(doublet){doubles;s=sqrt(4-t*t);return(s);}3.5.2程序四的编译运行被积函数为f(x)=sqrt4-(x*x)的情况先编译，再运行，屏幕显示及操作如下：输入0+回车输入2+回车输入1000+回车3.6程序六〔Guass公式〕3.6.1源程序#include<stdio.h>#include<math.h>#defineN3floatgass_integral(float(*)(float),float,float,int);voidmain(){floatfunction_name(float);floata,b;printf("请输入积分上限b\n");scanf("%f",&b);printf("请输入积分下限a\n");scanf("%f",&a);floatans;ans=gass_integral(function_name,a,b,N);printf("ans=%f",ans);}//高斯求积：代数精度为2n-1.-1---+1之间floatgass_integral(float(*func)(floatx),floata,floatb,intn){//高斯点及其求积系数列表-------------------------------------------------------------------------------------------floatx1[1]={0.0};floatA1[1]={2};floatx2[2]={-0.5573503,0.5573503};floatA2[2]={1,1};floatx3[3]={-0.7745967,0.0,0.7745967};floatA3[3]={0.555556,0.888889,0.555556};floatx4[4]={0.3399810,-0.3399810,0.8611363,-0.8611363};floatA4[4]={0.6521452,0.6521452,0.3478548,0.3478548};floatx5[5]={0.0,0.5384693,-0.5384693,0.9061799,-0.9061799};floatA5[5]={0.5688889,0.4786287,0.4786287,0.2369269,0.2369269};//----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------float*p,*t;switch(n){case1:p=x1;t=A1;break;case2:p=x2;t=A2;break;case3:p=x3;t=A3;break;case4:p=x4;t=A4;break;case5:p=x5;t=A5;break;default:printf("intputwrong!");}floatg=0;for(inti=0;i<n;i++){g+=(*func)((b-a)*p[i]/2+(a+b)/2)*t[i];}g*=(b-a)/2;ret