第2章 轴对称图形知识梳理+热考题型原卷版

第2章轴对称图形本章知识综合运用内容预览内容预览有关概念有关概念●●1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.◆轴对称的性质：1.成轴对称的两个图形全等；2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.●●2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.◆轴对称图形与轴对称的区别与联系：●●3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.◆线段的垂直平分线必须满足两个条件：1.经过线段的中点；2.垂直于这条线段.注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.●●4、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.简单的轴对称图形简单的轴对称图形●●1、线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.◆线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.◆线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.●●2、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线是它的对称轴.◆角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.◆角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.●●3、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）所在的直线是它的对称轴.◆等腰三角形性质定理：1.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；2.等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.◆等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).◆直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.●●4、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所在的直线是它的对称轴◆等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°．拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.◆等边三角形判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．尺规作图尺规作图●●1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：一找——找已知图形的关键点；二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；三连——按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.●●2、用尺规作线段的垂直平分线●●3、已知底边及底边上的高作等腰三角形轴对称图形的识别题型一轴对称图形的识别题型一【例题】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（

）A．B．C．D．【变式1】（2023·江苏扬州·二模）垃圾分类标识中的图形是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（

）A．B．C．D．【变式3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A． B． C． D．【变式4】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．

(1)若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有种．(2)请在备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴．轴对称的性质与应用题型二轴对称的性质与应用题型二【例题1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，若△ABC与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023秋·江苏南京·八年级南京市金陵汇文学校校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）将一张长方形纸片按图2所示折叠后，再展开．如果，那么的度数为（

）

A． B． C． D．无法确定【变式1-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．（2）在直线上找一点，使得的周长最小．【例题2】（（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．【变式2-1】（（2023·江苏·八年级假期作业）如图，直线l是一条公路，A、B是两个村庄．欲在l上的某点处修建一个车站，直接向A、B两地提供乘车服务．现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（

）A．B．C． D．【变式2-2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为．线段的轴对称性题型三线段的轴对称性题型三【例题1】(2023·全国·单元测试)如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(

)

A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm【变式1-1】(2023·湖南省·单元测试)如图，等腰△ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值(

)

A.10 B.6 C.4 D.2【变式1-2】（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG=30°，则∠BAC=°．【变式1-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）三个村庄A、B、C（其位置如图所示）准备修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？（写出作法，并保留作图痕迹）【变式1-4】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，且BE=AC．(1)求证：AD⊥BC；(2)若∠C=70°，求∠BAC的度数．【例题2】(2023·陕西省渭南市·模拟题)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：AD垂直平分EF．

【变式2-1】（2022·广西梧州·梧州市第一中学校考三模）将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则线段BE与AC的关系是（）A．AC=BE B．AC⊥BE且AC=BE C．AC⊥BED．AC⊥BE且AC平分【变式2-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=10，求△ADE的周长；（2）设直线DM、EN交于点O①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；②若∠BAC=100°，求∠BOC的度数【例题3】（2023·甘肃陇南·统考二模）今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹．【变式3-1】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知△ABCAB<BC<AC，用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（

）A． B．C． D．【变式3-2】（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．

角的轴对称性题型四角的轴对称性题型四【例题1】（2021·福建泉州·八年级南区中学校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．（1）求证：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．【变式1-1】（2023春·江苏·八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．若AC＝6，AB＝10，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5【变式1-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OBA．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB【例题2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．【变式2-1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（

）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处【变式2-2】（2023春·山东淄博·七年级统考期末）如图，某地有两个村庄M，N，和两条相交的公路OA，OB，现计划在∠AOB内修建一个物资仓库P，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库P的位置．（保留画图痕迹，不写画法）【例题3】（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，，M是EF的中点，只需添加，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．【变式3-1】（2020秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：①点P在∠BAC的角平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．

(1)求证：AE平分∠BAD；(2)判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；(3)若AD=10，CB=8，求S△ADE

等腰三角形的轴对称性题型五等腰三角形的轴对称性题型五【例题1】（2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，则∠CAD的度数为（A．30° B．25° C．22.5° D．21°【变式1-1】（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=50°，点P在线段AC上且不与A、C重合，则∠BPC的度数可能是（

）A．60° B．65° C．80° D．130°【变式1-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在△ABC中，点D,E是边BC上的两点．若AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE；【例题2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式2-1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在AC的垂直平分线DF上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6【变式2-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（

）A．B．C． D．【变式2-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且CD=CF．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)当∠F=______度时，△ABC是等边三角形？请证明你的结论．【变式2-4】（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图△ABC中AB=6cm，AC=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，

(1)求证：△DFC是等腰三角形；(2)求△AEF的周长．【变式2-5】（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，已知线段a，b．求作：等腰△ABC，使得△ABC的底边BC等于a，底边上的高等于b．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）等边三角形的轴对称性题型六等边三角形的轴对称性题型六【例题1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、(1)求证：△AEB≌△CDA；(2)求∠EPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ=7，【变式1-1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为（

）A．30° B．20° C．25° D．15°【变式1-2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，若BD=3，则AB的长为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=2，则DE+DF=．

【例题2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．AB=AC,∠B=60°C．∠A=60°,∠B=60° D．AB=AC，且∠B=∠C【变式2-1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的中点，若∠BAD=30°，BD=2，则△ABC的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【变式2-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，